江苏省徐州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题及参考答案

2021~2022学年度第二学期期末抽测

高二年级数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.

【详解】由，则，即，

有，

所以，

所以，则

故选：D

2. 对于数据、、、、、、、，四位同学得出了下列结论，甲：平均数为；乙：没有众数；丙：中位数是；丁：百分位数是，正确的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将数据由小到大排列，根据平均数公式、众数、中位数和百分位数的定义判断可得出结论.

【详解】将数据由小到大排列为：、、、、、、、，

平均数为，甲对，

该组数据的众数为、、，乙错，

该组数据的中位数为，丙错，

，故该组数据的百分位数是，丁对.

故选：B.

3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】9个球中不放回地依次取2个数，基本事件总数可以计数为：，分别求事件A与事件A、B同时发生的概率根据条件概率公式计算即可．

【详解】解：由题意得，，

．

故选：D．

4. 若，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法，分别令和得到相应的等式，相加可得答案.

【详解】令，则 ，

令，则，

将以上两式相加得：0，

故选:B

5. 除以10的余数是（    ）

A. 9 B. 3 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】对变形为，故，故除以10的余数是9.

【详解】，

所以

故除以10的余数是9.

故选：A

6. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量和直线的方向向量的关系，利用点到直线的距离公式求距离．

【详解】解：点，直线过点，且一个方向向量为，

，

所以直线的一个单位方向向量，

点到直线的距离为．

故选：．

7. 某班将6名同学分配到甲､乙､丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学的方法共有（    ）

A. 105种 B. 150种 C. 210种 D. 660种

【答案】C

【解析】

【分析】先选出2名同学安排到甲社区，再把剩下的4名同学分成两组，分配到其他两个社区即可.

【详解】先选出2名同学安排到甲社区，再把剩下的3名同学分成两组，分配到其他两个社区：

．

故选：C

8. 已知，若，，且，记随机变量，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法找出古典概型的所有基本事件个数，再利用古典概型的概率公式求值即可.

【详解】由题意，中的元素有：

（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（0，2，0），

（0，2，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），

（1，2，0），（1，2，1），共计12个，

记以上的各点为

其中有个，

满足的共有24个，所以满足的有108个，

所以.

故选：C

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．

【详解】解：已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则，或，或，

故选：ABC．

10. 房地产市场与城市经济发展密切相关，更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图，则下列结论中正确的是（    ）

A. 这七个楼盘中，每个楼盘的成交均价都在[88.8，120.0]内

B. 这七个楼盘中，楼盘2的成交总额最大

C. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200

D. 这七个楼盘，成交面积与成交均价呈负相关

【答案】BD

【解析】

【分析】根据拆线统计图，逐一判断可得选项.

【详解】对于A：由楼盘的楼盘的成交均价低于88.8，故A错误；

对于B：楼盘1的成交总额为：万元，

楼盘2的成交总额为：万元，

楼盘3的成交总额为：万元，

楼盘4的成交总额为：万元，

楼盘5的成交总额为：万元，

楼盘6的成交总额为：万元，

楼盘7的成交总额为：万元，所以这七个楼盘中，楼盘2的成交总额最大，故B正确；

对于C：成交面积的均值，故C错误；

对于D：个楼盘整体呈现均价越低，则成交面积越大的趋势，D正确.

故选：BD.

11. 如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着苦干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】设，则，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．

【详解】解：设，依题意，，

所以，故A正确；

，

,则成立，故B成立，

，故C不正确；

，故D正确．

故选：ABD．

12. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段上一个动点，则（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 存在点G，使平面平面

C. 当时，直线EG与所成角的余弦值为

D. 三棱锥的外接球体积的最大值为

【答案】AD

【解析】

【分析】选项A求三棱锥体积判断；选项B用反证法判断；选项C建立空间坐标系，用向量法求直线与直线所成角的余弦值来断；选项D求外接球心，用方程求解判断．

【详解】解：对于A，，所以A正确；

对于B，若存在线段，使平面平面线段，因为平面交平面与平面分别为与，

于是，应在的延长线上，所以B错误；

对于C，以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当时，则，

则，2，，，0，

，2，，，2，，所以，2，，，0，，

所以，，

所以直线与所成角的余弦值为，所以C错误；

对于D，当在点时，三棱锥外接球半径最大，连接交于点，则为的中点，因为三角形为直角三角形，所以外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，与交于，设球心为，

如平面展开图，

设半径，因为，，所以，

所以，，

由，可得，解得，

故体积的最大值为，所以D正确，

故选：AD．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据全概率公式进行求解

【详解】由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：

故答案为：

14. 袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和4个红球.从袋中任取3个球，则至少有1个红球的概率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先确定从8个小球中任取3个的基本事件总数，以及其中所取的3个球没有任何一个红球所包含的基本事件个数为，从而利用古典概型概率计算公式及对立事件的概率即可求出所求概率.

【详解】解：从8个小球中任取3个的基本事件总数为：，

记“所取3个球中没有红球”为事件A，则事件A的基本事件总数为：，

所以，

则至少有1个红球的概率为.

故答案为：．

15. 由1，2，3，4，5，6组成各位数字既不全相同，也不两两互异的四位数，要求，则这样的四位数的个数为___________.

【答案】105

【解析】

【分析】由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用2个数字，（2）使用3个不同的数字；有四位数，满足，即注意位数大小，分别分析求解即可求得答案．

【详解】解：由题意可知：

只用2个不同数字这样的数字组合有，按照位数要求，每种数字符合的四位数有3个，比如数字1和2，可以构成的数字有：1222，1122，1112，这类组合共个符合要求的四位数；

只用3个不同数字这样的数字组合有，按照位数要求，每种数字符合的四位数有3个，比如数字1、2、3，可以构成的数字有：1123，1223，1233，这类组合共个符合要求的四位数；

故符合要求的四位数总共有个.

故答案为：105.

16. 在长方体中，已知，，若线段上存在点P，使得，则长方体的体积的最大值为___________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后利用已知条件，列出相应的方程，利用判别式，得到长方体的高取最大值时，有长方体的体积最大，进而计算求解，可得答案.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，设，可得，，，，，，，，，则，因为在线段上，可得，，与共线，进而得到，，，得到，则，，，由，得到，，化简得，，利用，进而得到，所以，，因此，当取最大值2时，有长方体的体积的最大值为.

故答案为：4

四､解答题：本题6小题，共70分，解答应写出文字明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求点A到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用线面垂直，证明面面垂直即可；

（2）根据题意，利用等体积法，，即可计算得到点A到平面的距离.

【小问1详解】

在正三棱柱中，平面ABC，

又因为平面ABC，所以.

在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以，

又因为，，平面，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

【小问2详解】

由（1）可知，平面，又因为平面，

所以，

在正三角形ABC中，，

在正三棱柱中，平面ABC，

又因为平面ABC，所以，所以，

因为，

所以点A到平面ACD的距离.

18. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为5∶2.

（1）求f（x）展开式中的常数项；

（2）若的展开式中含项的系数为20，求a的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二项式系数比求得，再结合二项式定理求常数项即可；

（2）通过二项式定理求特定项的系数即可.

【小问1详解】

因，即，

解得或（舍），

所以f（x）展开式中的常数项为.

【小问2详解】

的展开式中含项的系数为

，

解得.

19. 下表所示是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）.

（1）由数据可知，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量.

附：，，，.相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）答案见解析   

（2），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约3亿吨

【解析】

【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可.

（2）根据题意，列方程计算出回归方程，进而代入预测值，即可求解.

【小问1详解】

由表中数据和附注中数据可得：，，

所以.

因为y与t的相关系数近似为0.999，说明y与t的线性相关相当高，

从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

【小问2详解】

由（1）得，

.

所以y关于t的回归方程为：.

将2023代入回归方程得：.

所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约3亿吨.

20. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性.因其独有的新鲜性､刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.为调查C系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前､00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回，经统计，得到如下2×2列联表.

（1）是否有99%把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？

（2）已知C系列盲盒共有10个款式，每个盲盒随机装有1个款式.甲同学已经买到2个不同款，乙､丙同学分别已经买到5个不同款.他们各自新购买一个盲盒，相互之间不受影响.设X表示三个同学中各自买到自己不同款的总人数，求X的概率分布和数学期望.

附：（其中）

【答案】（1）有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关；   

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】（1）列出列联表，计算出然后判断；

（2）分析的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望．

【小问1详解】

解：提出假设：是否购买该系列盲盒与年龄没有关系.

根据列联表中的数据，可以求得

，

因为当成立时，的概率约为0.01，

所以有99%把握认为购买该系列盲盒与年龄有关.

【小问2详解】

解：甲､乙､丙各自买到不同款的概率分别为，，.

X的所有可能为0，1，2，3，

所以，

，

，

，

所以X的概率分布为

数学期望.

21. 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，.

（1）求证：平面AEG；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面SCD的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案;

（3）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为,利用向量的夹角公式计算，可得答案.

【小问1详解】

证明：连接FG，在中，F，G分别为SD，SB的中点，

所以，

又因为平面AEG，平面AEG，

所以平面AEG.

【小问2详解】

因为平面ABCD，AB，平面ABCD，

所以，，又，所以，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,，

，，

设平面SCD的法向量为，

则 ,即

令，得，，

所以平面SCD的一个法向量为，

又平面ESD的一个法向量为，

所以，

由图形可知，二面角的余弦值为.

【小问3详解】

存在，理由如下：

假设存在点H，设，

则,

由（2）知，平面SCD的一个法向量为，

则，

即，所以，则，

故存在满足题意的点H，此时.

22. 为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，在车辆出厂前抽取100辆M款汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在220千米到470千米之间的概率；

（3）为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个.方格图上标有第0格､第1格､第2格､…､第20格.汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次.若掷出1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出5，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送汽车模型）时游戏结束.设汽车模型移到第格的概率为.

（i）求；

（ii）若有6人玩该游戏，每人一局，求这6人获得优惠券总金额的期望（结果精确到1万元）.

附：若随机变量X服从正态分布，则，，.

【答案】（1）（千米）   

（2）   

（3）（i）；（ii）（万元）

【解析】

【分析】（1）利用直方图求平均值的公式即得；

（2）利用正态分布的性质求解即可；

（3）由题可得，利用定义证明为等比数列，结合迭代法得出的表达式，由此得到；设玩游戏的6人中有X人获得优惠券，由题意可得，而6人获得优惠券总金额为随机变量2X，然后利用二项分布的性质求出期望即可．

【小问1详解】

解：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：

（千米）

【小问2详解】

解：因为X服从正态分布，

所以.

【小问3详解】

由题意知，，.汽车模型移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：

①汽车模型先到第格，又掷出5，6点，其概率为；

②汽车模型先到第格，又掷出1，2，3，4点，其概率为.

所以，

则，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，.

所以

，.

所以.

设玩游戏的6人中有X人获得优惠券，则，

所以这6人获得优惠券总金额为随机变量2X，故其期望值为：（万元）.