03选择题中档题和提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

03选择题中档题和提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

一．二次函数的性质（共1小题）

1．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：

①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；

②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；

③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；

④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．

其中，正确的有（　　）

A．②③ B．①④ C．①③ D．②④

二．三角形的重心（共1小题）

2．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）

A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 

B．点P是△ABC三条内角平分线的交点 

C．点P是△ABC三条高的交点 

D．点P是△ABC三条中线的交点

三．矩形的性质（共1小题）

3．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（　　）

A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形

四．圆周角定理（共1小题）

4．（2020•无锡）如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠D的度数为60°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

五．切线的性质（共1小题）

5．（2022•无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°

六．圆锥的计算（共1小题）

6．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　）

A．12π B．15π C．20π D．24π

七．翻折变换（折叠问题）（共2小题）

7．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（　　）

A． B． C． D．

8．（2020•无锡）▱ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD交于点E，DE＝1，则m的值为（　　）

A．+1或﹣1 B．﹣1或+1 C．﹣1或﹣1 D．+1或+1

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）

9．（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：

①CP与QD可能相等；

②△AQD与△BCP可能相似；

③四边形PCDQ面积的最大值为；

④四边形PCDQ周长的最小值为3+．

其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

参考答案与试题解析

一．二次函数的性质（共1小题）

1．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：

①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；

②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；

③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；

④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．

其中，正确的有（　　）

A．②③ B．①④ C．①③ D．②④

【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；

②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；

③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；

④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；

∴正确的有②③，

故选：A．

二．三角形的重心（共1小题）

2．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）

A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 

B．点P是△ABC三条内角平分线的交点 

C．点P是△ABC三条高的交点 

D．点P是△ABC三条中线的交点

【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：

∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，

∴四边形AEPD是矩形，

设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，

Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，

Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，

Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，

∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2

＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100

＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，

∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，

此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，

∵∠A＝90°，PD⊥AC，

∴PD∥AB，

∴＝，即＝，

∴AM＝3，

∴AM＝AB，即M是AB的中点，

同理可得AN＝AC，N为AC中点，

∴P是△ABC三条中线的交点，

故选：D．

三．矩形的性质（共1小题）

3．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（　　）

A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形

【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

四．圆周角定理（共1小题）

4．（2020•无锡）如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠D的度数为60°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【解答】解：∵弦DE∥AO，∠D的度数为60°，

∴∠AOD＝∠D＝60°，

∴∠C＝∠AOD＝30°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），

故选：B．

五．切线的性质（共1小题）

5．（2022•无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°

【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，

∴∠OAD＝∠ODA＝25°．

∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．

故选项D不符合题意；

∵∠OAD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，即AE∥OD，故选B不符合题意；

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE．

∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；

如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，

∴OF＝DE．

在直角△AFO中，OA＞OF．

∵OD＝OA，

∴DE＜OD．

故选项C符合题意．

故选：C．

六．圆锥的计算（共1小题）

6．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　）

A．12π B．15π C．20π D．24π

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝＝5，

由已知得，母线长l＝5，半径r为4，

∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×4×π＝20π．

故选：C．

七．翻折变换（折叠问题）（共2小题）

7．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，

设MN＝x，

∵tan∠AED＝，

∴＝，

∴NE＝2x，

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，

∴∠CAB＝30°，

∴AC＝2，

由翻折可知：

∠EAC＝30°，

∴AM＝2MN＝2x，

∴AN＝MN＝3x，

∵AE＝AB＝3，

∴5x＝3，

∴x＝，

∴AN＝，MN＝，AM＝，

∵AC＝2，

∴CM＝AC﹣AM＝，

∵MN＝，NE＝2x＝，

∴EM＝＝，

∵∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴CD∥AB，

∴∠DCA＝30°，

由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，

∴∠ECD＝30°，

∴CD是∠ECM的角平分线，

∴＝＝，

∴＝，

解得，ED＝．

方法二：

如图，过点D作DM⊥CE，

由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，

∴AE∥DM，

∴∠AED＝∠EDM，

∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，

∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，

设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB＝，

∴CM＝﹣m，

由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，

∴∠ECD＝30°，

∴tan∠ECD＝＝，

∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，

∴tan∠EDM＝＝，

即＝

解得，m＝，

∴DM＝，EM＝，

在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，

解得，DE＝．

故选：B．

8．（2020•无锡）▱ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD交于点E，DE＝1，则m的值为（　　）

A．+1或﹣1 B．﹣1或+1 C．﹣1或﹣1 D．+1或+1

【解答】解：如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝4，AB∥CD，

∴∠FDH＝∠BAD＝60°，

∴DF＝CF＝CD＝2，

∴DH＝DF•cos60°＝1，FH＝DF•sin60°＝，

∵DE＝1，

∴EH＝DE+DH＝2，

∴AE＝EF＝＝＝，

∴m＝AD＝AE+DE＝+1．

如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，同法可得DH＝1，此时点E与H重合，AE＝FH＝，AD＝AE﹣DE＝﹣1．

综上所述，满足条件的AD的值为+1或﹣1．

故选：A．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）

9．（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：

①CP与QD可能相等；

②△AQD与△BCP可能相似；

③四边形PCDQ面积的最大值为；

④四边形PCDQ周长的最小值为3+．

其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．

②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，

∵∠A＝∠B＝60°，

∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，

即或＝，解得x＝1或或，

∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确

③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，

∵x的最大值为3﹣＝，

∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，

如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．

由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，

∴CH＝CJ+HJ＝，

∴CF＝＝＝，

∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，

故选：D．