2021鹰潭高三下学期3月第一次模拟考试数学（理）试题含答案

鹰潭市2021届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

2．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A．     B．        C．       D．

4．下列说法中正确的是（　　）

①不等式的解集是

②命题“”的否定是

③已知随机变量X服从正态分布且，则

A．②③         B．①②            C．③④            D．①②③

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔

裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征。函数的图象可能为（    ）

A.

6．已知双曲线的两个焦点分别为，过点的直线

与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．        B．            C．           D．

7．若，且，，则（     ）

A． B． C． D．

8．如图是某四面体水平放置时的三视图，图中网格纸的小正

方形的边长为1，则四面体外接球的体积为（    ）

A． B． 

C． D．

9．已知随机变量服从二项分布，其期望，当时，目标函数的最小值为，则的展开式中各项系数之和为（    ）

A．0              B．1             C．              D．

10．已知O为内的一点，满足，且的面积与的面积之比为3：1，若在内任取一点，则该点取自的概率为（    ）

A．            B．         C．             D．

11．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知奇函数的定义域为，其导函数是。当时，，则关于的不等式的解集为（    ）

A．       B． 

C．           D．

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．

13．若复数，则     

14．小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件为“4个人去的景点互不相同”，事件为“只有小赵去了龙虎山景点”，则       

15．设抛物线的焦点为F，过F的两条直线，分别交抛物线于点A，B，C，D，且，的斜率，满足，则的最小值为     

16．已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为________．

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

已知正项等差数列满足：，是数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求

18．（本小题满分12分）

习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词。某地一研究团队统计了该地区位居民的日行步数，得到如下表格：

（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过千步为标准进行分层抽样，从上述位居民中抽取人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有％的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；

（2）以这位居民日行步数超过千步的频率代替该地区位居民日行步数超过千的概率，每位居民日行步数是否超过千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了位居民，其中日行步数超过千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?

附：

，其中.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，，

，且

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角

的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，

如果不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）若，求曲线在点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若对任意，，求整数的最小值。

21．（本小题满分12分）

如图：已知抛物线：与椭圆：有相同焦点，为抛物线与椭圆在第一象限的公共点，且，

过抛物线准线上一点作直线，与抛物线分

别相切于，两点，直线交椭圆于，两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积的最小值。

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在极坐标系下有许多美丽的曲线，如贝努利双纽线的形状是一个横8字，和谐、对称、优美．以极点为原点，极轴为轴的正半轴的直角坐标系下，曲线的参数方程（为参数）。

（1）求曲线的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程；

（2）若，将曲线向左平移2个单位得到曲线，曲线与贝努利双纽线交于两点，求的极坐标。

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数，.

（1）若，解不等式；

（2）如果任意，都存在，使得，求实数的取值范围。

鹰潭市2021届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)参考答案

1-5  ADCAD  6-10 ACCBB  11-12 BD

13. 14.  15.  16.

17.解：（1）因为

时，；时，，

联立得：即

解得，所以公差所以；┈┈┈┈┈6分

(2)

┈┈┈┈┈12分

18.（1）人中，步数不超过千步的有400人，超过千步有600人，

按分层抽样，抽取的人数中不超过千步的有80人，超过千步的有120人，列联表如下：

故有％的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关.┈┈┈┈┈6分

（2）每位居民步数超过千的概率为，┈┈┈┈┈7分

设步数超过千的最有可能是位居民，

则，

∵∴，即最有可能是12位居民.┈┈┈┈┈12分

19.（1）如图，四边形ABCD是直角梯形，

由可得,

∴是等腰直角三角形，即，

∵平面ABCD，∵，

则

┈┈┈┈┈5分

（2）假设存在符合条件的点，且

如图建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，则

取，取平面的法向量┈┈┈┈┈10分

则，即

设与平面所成的角为，则┈┈┈┈┈12分

20.解：（1）若，则函数，定义域为，可得，

则，故曲线在点的切线方程为

设切线与轴分别交于A,B两点，

令得，令得，即,

所以┈┈┈┈┈4分

（2）由， ，

设，，则，

当时，，

设，则，所以在上单调递增.

又，，

，使得，即，.┈┈┈┈┈9分

当时，，；当时，，，

函数在内单调递增，在内单调递减，

，

函数在时单调递增，

，

对任意的恒成立，又，

的最小值是.┈┈┈┈┈12分

21.解：（1）∵，∴，∴，.

∵为抛物线与椭圆在第一象限的公共点，∴且，

∴，∴：.┈┈┈┈┈4分

（2）由已知得直线斜率存在，设为

设，，，则由抛物线：知，

∴直线：，：，

∴

设直线的方程为：

联立得，即，

∴┈┈┈┈┈7分

设，

由，

，

∴，

┈┈┈┈┈10分

∴，∴.

令，∴，∴，

∴当，即时，取最小值3.┈┈┈┈┈12分

22.解（Ⅰ）直线的普通方程为．

由，得，

∴贝努利双纽线的直角坐标方程为┈┈┈┈┈5分．

（Ⅱ）曲线向左平移2个单位得到曲线，当时，其极坐标方程为，联立得，

．┈┈┈┈┈10分

23.解：（1）①当时，，解得；

②当时，，解得方程无解；

③当时，，解得；

综上，原不等式的解集为┈┈┈┈┈5分

（2）由任意，都存在，使得得：

又因为

所以

所以或．┈┈┈┈┈10分