2021龙岩高三下学期高考第三次教学质量检测数学试题扫描版含答案

龙岩市2021年高中毕业班第三次教学质量检测

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

8．D 设曲线上的点，，；

曲线上的点，，；

，

，

12．略解：设圆锥底面半径为

如图，中，

∴∴

侧面    ∴A正确

中，

∴过点平面截此圆锥所得截面面积最大为

∴截max  ∴B错误

设圆锥的内切球半径为，则  

即    ∴∴   ∴C正确

设圆锥的内切球半径为，则   ∴

设棱长为的正四面体的外接球是圆锥的内切球

∴   ∴   ∴D正确

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．      14．     15．      16．

16．简解：每个盒子都有两种可能，所以基本事件有种。符合条件的基本事件有：

①六黑有一种：黑黑黑黑黑黑；

②五黑一白有种：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑；

③四黑二白有种：黑白黑白黑黑，黑白黑黑白黑，黑白黑黑黑白，黑黑白黑黑白，黑黑白黑白黑，黑黑白白黑黑，黑黑黑白白黑，黑黑黑白黑白，黑黑黑黑白白；

④三黑三白有种：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白.

所以，事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17．（本题满分10分）

解：（1）是与的等差中项，，.........................1分

所以当时，由可得，即....................2分

又因为当时，，....................3分

因此满足上式，....................4分

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，....................5分

（2），，

      ............................................10分

18.（本题满分12分）

解：（1）因为，

所以 ...............5分

（2）因为，所以，

所以；             .........................................................7分

选①当时，，

，当且仅当等号成立；

由余弦定理，得到，

所以解得与矛盾，此时不存在。................12分

选②当，则 即，

.......................................................12分

选③当，则 即，

.......................................................12分

19．（本题满分12分）

证明：（1），，，，平面，

平面，又平面，，

又，，得，

，又、平面，，

平面；                     .......................................................6分

（2）以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，过作与直线平行的直线，过作与直线平行的直线，两直线交于点.

由图可知，,,，，

,,,

设平面的法向量为

由,

解得，所以取

设平面的法向量为

由,解得，所以取

又，，，

设二面角的平面角为，则

所以二面角的余弦值为........................................................12分

20.（本题满分12分）

解：（1）因为进行了5场比赛，所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢4场，乙嬴1场；甲赢3场，乙赢2场；甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场．

5场比赛不同的输赢情况有种，即28种．

①若甲赢4场，乙赢1场；甲获得全部奖金8000元；

②若甲赢3场，乙赢2场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得6000元奖金；

③若甲赢2场，乙赢3场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得2000元奖金；

④甲赢1场，乙赢4场.甲没有获得奖金．      ........................................................2分

设甲可能获得的奖金为元，则甲获得奖金的所有可能取值为8000,6000,2000,0，；；

；．

∴甲获得奖金数的分布列：

.......................................................6分

（2）设比赛继续进行场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢

当时，乙以贏，；

当时，乙以贏，；

所以，乙赢得全部奖金的概率为

.......................................................9分

设

因为所以所以在上单调递减，

于是.

故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.

所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金．.......................................................12分

21．（本题满分12分）

解：（1）由题意：，

，解得即   .....................................................4分

（2）由（1）知，曲线，点，

设直线的方程为：，

联立得：，                         

，

设，

，，   .....................................................7分

，

面积，

令，，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.

.....................................................12分

22.（本题满分12分）

解：（1）法一：证明:，

当，则，，，又因为，

所以，所以在单调递增.

当，，

令，,

又因为，所以在单调递减，

所以，所以，即又因为，

所以，所以在单调递减.

又因为 ，所以在区间存在唯一极小值点.........................5分

法二：证明：

当时，

∴①

而

∴

∴在上递增，

∴

∴②

由①②得

∴

∴在上递减，

当时，

∴

∴在上递增，

综上，在上递减，在上递增，且.

故在上存在唯一极小值点.

（2）因为 ， ①，

令，则，所以在递减，

所以，即当.

要证①，只需证       .....................................................7分

法一：令，

，

令，所以，

所以在单调递减，

又因为，，

所以，使，即，，

所以当，，单调递增，

当，，单调递减，

所以，

所以原不等式得证                       ......................................................12分

法二：令，，

∴在单调递减，在单调递增

∴∴，

∵，

∴ ，

∴，即证

∴原命题得证.                             .....................................................12分