2021四川省仁寿一中校南校区高三下学期6月高考仿真（二）数学文试题含答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试（仿真高考二）

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1、已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合（ D  ）

A．     B．      C．      D．

2、复数满足，则（  C ）

A． B． C． D．

3、某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司2011年﹣2020年研发投入（单位：百万）和研发投入占年利润的比，并制成如图所示的统计图．下列说法正确的是（　D　）

A．2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势 

B．2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大 

C．2011年开始，该公司的年利润逐年增加 

D．2011年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势

4、古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，右图为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　D　）

A． 

B． 

C． 

D．

5、设等比数列前项和，且为的等差中项，则（  B ）

A． B． C． D．

6、若则      B

A． B． C． D．

7、设是两个不同平面，是两条不同直线，下列命题中正确的是(   C   )

A．如果，那么   

B．如果，那么

C．如果，那么 

D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么

8、函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，

当时，函数的零点个数为   D   

A． B． C． D．

9、已知函数的最大值与最小值的差为

，其图像与轴的交点坐标为，且图像的两个相邻的对称中心间距离为，则

（   C  ）

A． B． C． D．

10、正方体的棱长为，分别为的中点．则下列

说法错误的是（  B　　）

A．直线与平面平行

B．直线与直线垂直

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．平面截正方体所得的截面面积为

11、已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得，则  C   

A．                   B．                C．            D．  

12、已知，若，则，，的大小关系为（   D  ）

A． B． C． D．                                                                                                                                                       

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.   

13、已知向量，若，则       

14、            

15、已知椭圆的右焦点在圆外，过点作圆的

切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为　　      

16、锐角三角形中，,平分线交于点，则        

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分。

17、已知数列的前项和为，且满足.

（1）求证：为等比数列

（2）设，数列的前项和为，求证：

18、某地盛产优品质橙子，但橙子的品质和产量都与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数λ越高，橙子品质和产量越高，售价同时也会越高，某合作社统计了近10年的当地的气象相关指数λ，得到了如下频率分布直方图．

（1）求a的值；

（2）求近10年气象相关指数的中位数；

（3）根据往年数据，该合作社的利润（单位：千元）与每亩地的投入（单位：千元）和气象相关指数入的关系如下：，试估计对于任意的，该合作社都不亏损的概率．

解：（1）由频率分布直方图可知，0.1×（1+1+a+5）＝1，解得a＝3；..............2分

（2）由频率分布直方图可知，因为[0.9，1]的频率为5×0.1＝0.5，

故近10年的气象相关指数λ的中位数为0.9；..............5分

（3）要使对任意的x∈[4，8]（千元）时，该合作社不亏损，即有y≥0，..............6分

变形可得在x∈[4，8]上恒成立，..............7分

又，

设，故，

令f'（x）＝0，解得x＝±，

所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，..............9分

故f（x）max＝{f（4），f（8）}，因为f（4）＝21＜f（8）＝22.5，..............10分

所以25λ≥22.5，解得λ≥0.9，

故当λ满足λ∈[0.9，1]时，该合作社才能不亏损，

由频率分布直方图可知，该合作社部亏损的概率为0.5．..............12分

19、如图，在三棱柱中，，

是棱的中点，在棱上，且.

（1）求三棱锥的体积

（2）在棱上是否存在点，满足，若存在，求出的值

解：（1）

................................6分

（2）由（1）知

在上取点，使连接，所以，

在上取点，使连接，所以，

.........................12分

20、已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点（与左右顶点不重合），已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的方程

（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值

21、已知函

（1）讨论的单调性

（2）若存在两个极值点证明：

解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，.................1分

设g（x）＝x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，

此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，     .................2分

当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，

①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，

此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，       ................3分

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

                                                       .................4分  

综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，

则（，）上是增函数．         .................5分

（2）由（1）知a＞2，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，.................6分

则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

则＝﹣2+，.................7分

则问题转为证明＜1即可，

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

则lnx1﹣ln＞x1﹣，

即lnx1+lnx1＞x1﹣，

即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，.................8分

设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，.................9分

求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，.................10分

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，.................11分

故2lnx＞x﹣，

则＜a﹣2成立．.................12分

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变成曲线.

（1）求曲线的参数方程

（2）设，点是上的动点，求面积的最大值，及此时的坐标

（1）由伸缩变换得到①

将①代入得到②.............................2分

所以的参数方程为.............................4分

（2）设，直线.............................5分

所以到直线的距离为

                         .............................6分

所以.............................8分

当时，的面积的最大值为2

此时的坐标为或.............................10分

23、[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）求函数的取值范围；

（2）若的最小值为，且，求证：

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