专题02 式与方程-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题02 式与方程

数与代数式、方程的衔接
小学阶段，学生所接触到的数都是从生活中来的。在他们的印象中，数是一个具体的、能代表多少的表示符号，而在初中“有理数”知识中，引进了“式”的概念，从而研究式的运算。这是从“数”到“一段抽象的含字母的代数式的过渡”，是学生在学习数学上的一大转折点，实现从具体到一般、到抽象的飞跃，也是对刚入初中学生思维的一次飞跃。其实数与式的主要变化就是从数字的具体运算到代数式的形式化运算的转变。为了顺利完成这一转变，可以在小学高年级阶段尝试运用“半代数式运算”的方法进行教学渗透。
各版本的小学数学教材都安排了解方程的内容。小学生所接触的方程比较简单，加上受算术思维的影响，列出的这些方程，思维方式实质上还是算术的。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。

1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律
1）用字母表示数和数量关系
（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人；
（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克
（3）路程＝速度×时间，用字母表示为s＝vt；
（4）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y＝k（一定）。
2）用字母表示计算公式及运算定理
长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh。
加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc
注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。
2．等式与方程
1）等式与方程的意义及关系

意义
关系
等式
表示相等关系的式子叫作等式
所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程
方程
含有未知数的等式叫作方程
2）等式的性质
（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
3）解方程
（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。
（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。
（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

【题型一】 字母表示数
【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。
2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。
【典题1】（2022·全国·六年级期末）冬冬今年12岁，爸爸今年36岁，如果用a表示冬冬某一年的年龄，那么用（       ）表示这一年爸爸的年龄最合适。
A．a＋12 B．a＋24 C．a＋36 D．3a
【典题2】（2021·福建·浦城县荣华实验学校六年级期末）餐厅规定：一张桌子每边坐一人，可坐4人。当客人超过4人时，将多张桌子拼成一张长桌，如下图：第n张桌子可座( )人。（用含有字母n的算式表示）

【变式练习】
1．（2022·江苏宿迁·五年级期中）甲袋有千克大米，如果从甲袋倒出6千克装入乙袋，那么两袋的大米同样重。原来乙袋有( )千克大米。
2．（2022·山东·宁阳金桥学校四年级期末）两个式子结果相同的一组是（       ）。
A．和 B．和 C．和 D．和
3.（2021·江苏淮安·六年级期末）某养殖场鸡有x只，鸭的只数比鸡的5倍少20只。鸭有( )只，鸭比鸡多( )只。
4．（2021·湖南株洲·小升初真题）如图所示，学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行最多能坐6人，则（≥1，且为整数）张方桌拼成一行最多能坐______人。（用含有的式子表示）


【题型二】等量代换
【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。．如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。
【典题1】（2021·上海·五年级单元测试）若2a＋2b＋1＝6，则5（a＋b）－4的结果是（       ）
A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．12.5
【典题2】（2020·湖北十堰·小升初真题）〇、口、△各代表一个数，根据〇＋△＝50，口＋△＝63，〇＋口＝77，求得〇＝( )。
【变式练习】
1．（2020·浙江·小升初真题）若，则的值是( )。
2．（2021·湖北十堰·小升初真题）已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。
3．（2022·云南·河口县教研室五年级期末）已知a＋b＋c＝180，如果b＝a＋c，a＝2c；那么6a＋4b＝( )；2c＋2b＝( )。
4．（2021·河南·淮滨县实验小学五年级期末）已知a与b为两个自然数，a的恰好等于b的；如果a减去3，b加上3，那么两数相等。a与b的和是( )。
5．（2022·江苏省淮安市淮阴区淮阴师范学院第二附属小学五年级期末）张老师买了3个足球和4个排球，花了390元。王老师买了同样的6个足球和2个排球，花了420元。现在体育组要再买同样的18个足球和12个排球，共需( )元。

【题型三】等式与方程的概念辨析
【解题技巧】
1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。
2）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等
3）注意：方程一定是等式，等式不一定是方程。
【典题1】（2022·湖北武汉·五年级期末）下列图中表示的关系正确的是（       ）。
A． B． C．
【典题2】（2022·河南·郏县教育局教研室五年级期中）在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有( )，方程有( )。（填序号）
【变式练习】
1．（2022·浙江嘉兴·五年级期末）下列式子中，（       ）是方程。
A．3a＝18 B．5＋x C．1.7－a＞2 D．4.5÷5＝0.9
2．（2021·江苏盐城·五年级期末）我们可以用这样的图表示一些数学知识的包含关系，下列四个图中，（ ）表示的关系不正确。
A． B． C． D．
3．（2022·福建宁德·五年级期中）在①、②、③、④中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号）

【题型四】等式的性质及其运用
【解题技巧】等式的性质
（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
【典题1】（2021·四川眉山·五年级期末）如果，那么下列等式正确的是（       ）。
A． B． C．
【典题2】（2022·江苏·五年级单元测试）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝( )；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝( )。
【变式练习】
1．（2022·浙江台州·五年级期末）如果，下面说法正确的是（       ）。
A． B． C． D．
2．（2022·福建宁德·五年级期中）如果，那么x（       ）y。
A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于
3．（2022·山东·成武县实验小学五年级期末）运用等式的性质进行变形，正确的是（       ）。
A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么
4．（2022·河南周口·五年级期末）如果，那么根据等式的性质：( )；2m×d＝（n＋3）×( )。
5．（2022·河北·唐县教育局教研室五年级期末）观察下图：如果每个梨一样重，要使天平保持平衡，右边托盘应该添加一个（       ）。

A．桃 B．苹果 C．梨 D．无法确定

【题型五】方程的解及其运用
【解题技巧】1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。
【典题1】（2021·湖南张家界·五年级期末）下列方程的解不是x＝5的是（       ）。
A．3x＋25x＝140 B．13.8－x＝8.8 C．1.3（x＋5）＝26
【典题2】（2021·江苏·六年级单元测试）方程ax－4＝4的解是x＝2，则a－1＝（       ）。
A．10 B．16 C．15 D．7
【变式练习】
1．（2022·四川乐山·五年级期末）是下列（       ）方程的解。
A． B． C． D．
2．（2022·河南周口·五年级阶段练习）方程6.5x＝0没有解。( )判断题
3．（2021·山东济南·六年级期末）方程x－0.25＝的解是（       ）。
A． B． C．
4．（2022·江苏徐州·五年级期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，则a的值为（       ）。
A．4 B．7 C．10

【题型六】解方程
【解题技巧】。1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。
2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。
【典题1】（2022·辽宁·六年级期末）解方程。
                       4.2＝16.8                             



【典题2】（2021·黑龙江哈尔滨·六年级期末）解方程。
                              



【变式练习】
1．（2022·江苏常州·五年级期中）由x－3.8＝6.2得x＝10。这个过程叫作（       ）。
A．方程 B．解方程 C．方程的解
2．（2022·全国·五年级专题练习）解方程。
（1）                 （2）                 （3）



3．（2022·山东·禹城市教育和体育局六年级期中）解方程或比例。
2x－40%x＝0.8                      



4．（2022·广东省深圳市龙华中心小学六年级期中）解方程，要写出过程。
5x－＝                   8x－5.5x＝1 ＝                      x∶＝0.36∶



【题型七】找等量关系与列方程
【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
【典题1】（2022·浙江嘉兴·五年级期末）王阿姨买了2.4千克苹果和3.8千克梨，总共付了92.6元。已知梨每千克13元，苹果每千克多少元？下列数量关系中错误的是（       ）。
A．苹果的单价×苹果的数量十梨的单价×梨的数量＝总价
B．（苹果的单价＋梨的单价）×（苹果的数量＋梨的数量）＝总价
C．总价－苹果的单价×苹果的数量＝梨的单价×梨的数量
D．总价－梨的单价×梨的数量＝苹果的单价×苹果的数量
【典题2】（2022·辽宁·五年级期末）妈妈在商场买了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的价钱是面膜的一半，洗面奶和面膜的价钱分别是多少元？
方法1：洗面奶的价钱是面膜的一半，也就是( )的价钱( )的价钱×。
解：设面膜的价钱是元



方法2：也可以想面膜的价钱是洗面奶的( )倍。解：设洗面奶的价钱是元。


【变式练习】
1．（2022·福建宁德·五年级期中）按要求写出等量关系，并列方程。（不用解答）
兴趣小组共有36人，其中女生人数是男生3倍。
等量关系式：______________________________＝总共人数。
如果设男生x人，列方程是( )。
2．（2022·福建宁德·五年级期中）按要求写出等量关系，并列方程。（不用解答）
一堆煤26吨，每天用0.5吨，用去若干天后，还剩下12吨。
等量关系式：______________________________＝这堆煤的吨数。
如果设用去x天，列方程是( )。
3．（2022·河南周口·五年级期中）硕望小学为拓宽学生视野，新运来1580本图书，由A、B两名图书管理员整理。A管理员整理了3天，每天整理312本，剩下的B管理员整理了2天正好整理完，B管理员平均每天整理多少本？
题中的等量关系式为( )，解：设B管理员平均每天整理x本，可列方程为( )。
4．（2021·山东威海·四年级期末）一个足球比一个篮球贵42元，一个足球的价格是篮球的1.6倍。足球和篮球各多少钱？（列方程解答）
等量关系式：（       ）






















1．（2021·北京·小升初模拟）x＝4是下列方程（       ）的解。
A．5x－2x＝120 B．2x＋4x＝24 C．2.5x＋1.5x＝10
2．（2022·全国·六年级课时练习）如果方程ax＋8＝42的解是x＝4，那么a＋1的值是（       ）。
A．5 B．34 C．9.5
3．（2022·江苏·五年级单元测试）使方程左右两边相等的未知数的值叫做（       ）。
A．解方程 B．方程 C．方程的解
4．（2022·山西·大同市新荣区教育局教研室五年级阶段练习）与方程x＋0.8x＝36有相同解的是（       ）。
A．1.68＋x＝3.98 B．x÷35＝6.8 C．12x÷16＝4.32 D．43－x＝23
5．（2022·山东·四年级单元测试）甲袋有m千克大米，乙袋有n千克大米。如果从甲袋倒出10千克装入乙袋，那么两袋大米同样重。下面的等式有（       ）个符合题意。
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·福建宁德·五年级期中）小丽有a张邮票，小冬有b张邮票，如果小冬送给小丽10张，那么两人邮票就样多。下面（       ）符合题意。
A． B． C． D．
7．（2022·福建宁德·五年级期中）表示等式与方程的关系，下图正确的是（       ）。
A． B． C． D．
8．（2022·江苏淮安·五年级阶段练习）甲乙两筐苹果，甲筐x千克，乙筐32千克。从乙筐拿4千克放入甲筐，两筐苹果就一样重。下列方程正确的是（       ）。
A．32－x＝4 B．x＋4＝32 C．x－8＝32 D．x＋4＝32－4
9．（2022·重庆·五年级期末）根据等式4a＝5b（a、b均不为0），下列等式不成立的是（       ）。
A．4a×4＝5b×4 B．4a＋8a＝5b＋8a C．4a×4＝5b×5 D．4a÷2＝5b÷2
10．（2022·湖南常德·六年级期末）甲数的和乙数的相等，甲数和乙数相比（       ）。
A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法比较
11．（2022·山东菏泽·五年级期末）如果，那么( )。
12．（2022·福建三明·五年级期末）如果a＝b，那么a－3＝b－( )，5a＝b＋( )。
13．（2022·江苏·五年级单元测试）下面是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号）
①x－12＝5     ②40×2－80       ③9＋y       ④5b＜4.5          ⑤40x＝600       ⑥x＋4＝7.5     ⑦70＋2689
15．（2021·江苏连云港·六年级期中）○×△＝36，○÷△＝4，○＝( )，△＝( )。
16．（2022·江苏泰州·五年级期中）要使方程口＋x＝18的解是x＝8，口里应该填( )，
17．（2022·四川乐山·六年级期末）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴那么摆第八个图形需( )根火柴，摆个图形需要( )根火柴。

18．（2022·全国·五年级）A×B是两个小数相乘。小明将小数A个位的6错看成了9，小红将小数A十分位的7错看成了2，他俩计算的结果相差了27.3。那么小数B等于( )。
19．（2022·江苏·北京东路小学六年级期末）如图，A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分与空白部分的面积比是( )。

20．（2021·浙江杭州·六年级期末）已知☆＋□＋□＝35，□÷☆＝3，那么☆＝（       ）。在下面方框里写出思考过程。

21．（2021·江苏·六年级课时练习）小球的体积是多少立方厘米？大球的体积是多少立方厘米？



22．（2021·河北·五年级专题练习）甲、乙两人加工零件，若甲做4小时，乙做6小时，则一共加工零件196个；若甲做7小时，乙做3小时，则一共加工零件208个。甲每小时加工零件多少个？


23．（2021·山东济南·六年级期末）解方程或解比例。
                          


24．（2021·江苏扬州·六年级期末）解方程。
x－x＝18            ＝1            7.5∶x＝∶12


25．（2022·四川广元·六年级期末）解比例或解方程。
∶＝1.75∶2                            12÷（50%－1）＝8


26．（2022·辽宁·四年级期末）4名老师带着15名学生去科技馆，一共花了400元，学生门票每张16元，老师的门票每张多少元？（先写出等量关系式，再列方程解答）