2022年河南省中考数学试卷（含解析）

这是一份2022年河南省中考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，共30分）
−12的相反数是( )
A. 12B. 2C. −2D. −12
2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合⋅人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 合B. 同C. 心D. 人
如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 26°
B. 36°
C. 44°
D. 54°
下列运算正确的是( )
A. 23−3=2B. (a+1)2=a2+1
C. (a2)3=a5D. 2a2⋅a=2a3
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
一元二次方程x2+x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分5分)，则所打分数的众数为( )
A. 5分
B. 4分
C. 3分
D. 45%
《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿．则1兆等于( )
A. 108B. 1012C. 1016D. 1024
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为( )
A. (3,−1)B. (−1,−3)C. (−3,−1)D. (1,3)
呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1)，R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图2)，血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A. 呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B. 当K=0时，R1的阻值为100
C. 当K=10时，该驾驶员为非酒驾状态
D. 当R1=20时，该驾驶员为醉驾状态
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式：______．
不等式组x−3≤0,x2>1的解集为______．
为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O=90°，OA=2，则阴影部分的面积为______．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
(1)计算：327−(13)0+2−1；
(2)化简：x2−1x÷(1−1x).
2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下：
a.成绩频数分布表：
b.成绩在70≤x<80这一组的是(单位：分)：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．
(2)这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD.求证：CD//AB．
开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC+∠BAD=90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD=35.已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；
②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的相反数是：12．
故选：A．
直接利用相反数的定义得出即可．
此题主要考查了相反数的概念，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，
故选：D．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠1+∠COE+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1−∠COE=180°−54°−90°=36°．
故选：B．
首先利用垂直的定义得到∠COE=90°，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和互补角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
4.【答案】D
【解析】解：A、23−3=3，故A不符合题意；
B、(a+1)2=a2+2a+1，故B不符合题意；
C、(a2)3=a6，故C不符合题意；
D、2a2⋅a=2a3，故D符合题意．
故选：D．
利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE=3，点E为线段CD的中点，
∴CD=2OE=6．
∴C菱形ABCD=4CD=4×6=24．
故选：C．
由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD=6．
6.【答案】A
【解析】解：在一元二次方程x2+x−1=0中，
a=1，b=1，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=1+4=5>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据根的判别式进行判断即可．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ<0时，原方程没有实数根；当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根．
7.【答案】B
【解析】解：由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的45%，人数最多，
所以所打分数的众数为4分，
故选：B．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
8.【答案】C
【解析】解：1亿=104×104
=108，
1兆=104×104×108
=104+4+8
=1016，
故选：C．
根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握am⋅an=am+n是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA=AB=2，∠BAO=60°，
∵AB//x轴，
∴∠APO=90°，
∴∠AOP=30°，
∴AP=1，OP=3，
∴A(1,3)，
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，

由360°÷90°=4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4=505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2(−1,−3)，
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为(−1,−3)，
故选：B．
由正六边形的性质可得A(1,3)，再根据由360°÷90°=4可知，每4次为一个循环，由2022÷4=505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．
本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
由图2知，K=0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；
由图3知，当K=10时，M=2200×10×10−3=22(mg/100mL)，
∴当K=10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
由图2知，当R1=20时，K=40，
∴M=2200×40×10−3=88(mg/100mL)，
∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：C．
观察图2可直接判断A、B，由K=10可算出M的值，从而判断C，观察图2可得R1=20时K的值，从而算出M的值，即可判断D．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
11.【答案】答案不唯一，如y=x
【解析】解：例如：y=x，或y=x+2等，答案不唯一．
根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．
此题比较简单，考查的是一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小．
12.【答案】2【解析】解：x−3≤0①x2>1②，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x>2，
∴该不等式组的解集是2故答案为：2先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如下：

共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，
∴恰好选中甲和丙的概率为212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】π3+32
【解析】解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT．

∵OT=OB，OO′=O′B′，
∴OT=2OO′，
∵∠OO′T=90°，
∴∠O′TO=30°，∠TOO′=60°，
∴S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)
=90⋅π×22360−(60⋅π⋅22360−12×1×3)
=π3+32．
故答案为：π3+32．
如图，设O′A′交AB于点T，连接OT.首先证明∠OTO′=30°，根据S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)求解即可．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
15.【答案】5或13
【解析】解：如图：

∵∠ACB=90°，AC=BC=22，
∴AB=2AC=4，
∵点D为AB的中点，
∴CD=AD=12AB=2，∠ADC=90°，
∵∠ADQ=90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ=CD−CQ=1，
∴AQ=AD2+DQ2=22+12=5，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=3，
∴AQ′=AD2+DQ′2=22+32=13，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为5或13，
故答案为：5或13．
分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3−1+12
=52；
(2)原式=(x+1)(x−1)x÷x−1x
=(x+1)(x−1)x⋅xx−1
=x+1．
【解析】(1)先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；
(2)先通分，把除化为乘，再分解因式约分．
本题考查实数运算和分式化简，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
17.【答案】78.5 44%
【解析】解：(1)这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78+792=78.5(分)，
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为16+650×100%=44%，
故答案为：78.5，44%；
(2)不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
(3)测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好(答案不唯一，合理均可)．
(1)根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；
(2)根据中位数的意义求解即可；
(3)答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
18.【答案】(1)解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,4)，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)解：如图，直线m即为所求．

(3)证明：∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC=∠BAC，
∵直线m垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠OAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠BAC，
∴CD//AB．
【解析】(1)直接把点A的坐标代入求出k即可；
(2)利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；
(3)证明∠DCA=∠BAC，可得结论．
本题考查作图−基本作图，反比例函数的性质，线段长垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：延长EF交DC于点H，

由题意得：
∠DHF=90°，EF=AB=15米，CH=BF=AE=1.5米，
设FH=x米，
∴EH=EF+FH=(15+x)米，
在Rt△DFH中，∠DFH=45°，
∴DH=FH⋅tan45°=x(米)，
在Rt△DHE中，∠DEH=34°，
∴tan34°=DHEH=xx+15≈0.67，
∴x≈30.1，
经检验：x≈30.1是原方程的根，
∴DC=DH+CH=30.1+1.5≈32(米)，
∴拂云阁DC的高度约为32米．
【解析】延长EF交DC于点H，根据题意可得：∠DHF=90°，EF=AB=15米，CH=BF=AE=1.5米，设FH=x米，在Rt△DFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在Rt△DHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：300x=30054x+3，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100−m，
解得m≤50，
设本次购买花费w元，
∴w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，
∵−9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴m=50时，w取最小值，最小值为−9×50+2700=2250(元)，
答：本次购买最少花费2250元．
【解析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，得m≤50，设本次购买花费w元，有w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
21.【答案】解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，
设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，将(0,0.7)代入得：
0.7=25a+3.2，
解得a=−110，
∴y=−110(x−5)2+3.2=−110x2+x+710，
答：抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
(2)当y=1.6时，−110x2+x+710=1.6，
解得x=1或x=9，
∴她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)或9−3=6(m)，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．
【解析】(1)由抛物线顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
(2)当y=1.6时，−110x2+x+710=1.6，解得x=1或x=9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
22.【答案】( 1)证明：方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F．

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵EF//CD，
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°．
∴∠OBF+∠ABE=90°，
∴∠OBF=90°．
∴∠OBF+∠ABE=90°，
∴∠OBF=∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD=90°；
方法2：如图2，延长OB交CD于点M．

∵CD与⊙О相切于点C，
∴∠OCM=90°，
∴∠BOC+∠BMC=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABM=90°．
∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD=180°．
∵∠BMC+∠BMD=180°，
∴∠BMC=∠BAD．
∴∠BOC+∠BAD=90°；
方法3：如图3，过点B作BN//AD，

∴∠NBA=∠BAD．
∵CD与⊙О相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∴AD//OC，
∴BN//OC，
∴∠NBO=∠BOC．
∵AB为OO的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠NBO+∠NBA=90°，
∴∠BOC+∠BAD=90°．
(2)解：如图1，在Rt△ABE中，

∵AB=75，cs∠BAD=35，
∴AE=45．
由(1)知，∠OBF=∠BAD，
∴cs∠OBF=35，
在Rt△OBF中，
∵OB=25，
∴BF=15，
∴OF=20．
∵OC=25，
∴CF=5．
∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴DE=CF=5，
∴AD=AE+ED=50cm．
【解析】(1)本小题难度不大，方法颇多，方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F.首先证明∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°；再根据B是切点得出∠OBA=90°.后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M.因为AB为⊙O的切线，所以根据切线性质得到，∠OBA=90°，∠ABM=90°.再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点B作BN//AD，根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；
(2)利用(1)中图1的辅助线即可解答．首先根据条件AB=75，cs∠BAD=35，得到AE=45.再利用(1)证明出的，∠OBF=∠BAD，能得到四边形CDEF为矩形，所以DE=CF=5，从而得到AD=AE+ED=50cm．
本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．
23.【答案】∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠CBM(任写一个即可) 15 15
【解析】解：(1)∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，
∵sin∠BME=BEBM=12，
∴∠EMB=30°，
∴∠ABM=60°，
∴∠CBM=∠ABP=∠CBM=30°，
故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠CBM(任写一个即可)；
(2)①由(1)可知∠CBM=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠C=90°，
由折叠可得：AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，
∴∠BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，
又∵BQ=BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，
∴∠CBQ=∠MBQ=15°，
故答案为：15，15；
②∠MBQ=∠CBQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠C=90°，
由折叠可得：AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，
∴∠BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，
又∵BQ=BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，
∴∠CBQ=∠MBQ；
(3)由折叠的性质可得DF=CF=4cm，AP=PQ，
∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，
∴CQ=MQ，
当点Q在线段CF上时，∵FQ=1cm，
∴MQ=CQ=3cm，DQ=5cm，
∵PQ2=PD2+DQ2，
∴(AP+3)2=(8−AP)2+25，
∴AP=4011，
当点Q在线段DF上时，∵FQ=1cm，
∴MQ=CQ=5cm，DQ=3cm，
∵PQ2=PD2+DQ2，
∴(AP+5)2=(8−AP)2+9，
∴AP=2413，
综上所述：AP的长为4011cm或2413cm．
(1)由折叠的性质可得AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，AB=BM，∠ABP=∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB=30°，即可求解；
(2)①由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ=∠MBQ=15°；
②由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ=∠MBQ；
(3)分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分
成绩x(分)
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6