2022内江六中高二下学期第一次月考数学（文科）含详解

内江六中2021—2022学年（下）高23届第1次月考

文科数学试题

第I卷选择题（满分60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（    ）

A．   B．   C．   D．

2．对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则    D．若，则

3．“”是“方程表示椭圆”的（    ）条件

A．充分不必要   B．必要不充分   C．充要   D．既不充分也不必要

4．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则（    ）

A．13   B．16   C．1或13   D．3或16

5．直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为（    ）

A．1   B．   C．1或   D．1或或0

6．均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为．同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为．若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则（    ）

A．8    B．11    C．13    D．16

8．已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

9．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（    ）

A．   B．   C．2   D．

10．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．已知点P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（    ）

A．6    B．7    C．8    D．9

12．已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点．下列结论正确的是（    ）

A．椭圆上的所有点都是“★”点   B．椭圆上仅有有限个点是“★”点

C．椭圆上的所有点都不是“★”点  D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点

第II卷非选择题（满分90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．设命题，，则为______．

14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为4，离心率为，点为双曲线上一点，，则的面积为______．

15．设是抛物线上的一个动点， 是抛物线的焦点，若，则的最小值为______．

16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一．曲线对应的图象如图所示，下列结论正确的是______（填写所有正确结论的编号）．

①直线AB的方程为：；

②曲线与圆有2个交点；

③曲线所围成的“心形”区域的面积大于12；

④曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．

三、解答题（共70分）

17．（本题满分10分）已知，命题，不等式成立，命题，．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为假，为真，求实数的取值范围．

18．（本题满分12分）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（I）求双曲线C的方程．

（II）经过点作直线l交双曲线于，两点，且为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

19．（本题满分12分）如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽16m．为保证安全，要求通过的船的顶部（设为平顶）与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为0．5m．

（1）一条船的顶部宽4m，在正常水位时，要使这条船安全通过，则船在水面以上部分的高度不能超过多少米？

（2）近日因受台风影响水位暴涨27m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一条顶部宽m，在水面以上部分的高度为4m的船，船身应至少降低多少米才能安全通过？

20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，上顶点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点M，N，且，求的值．

21．（本题满分12分）已知椭圆的左顶点为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线AB交椭圆于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．

22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线交椭圆于A、B两点，弦AB的中点为，直线OA与OB的斜率之积为且、记直线与的斜率分别为，，请探究：是否存在正实数，使得，为定值?若存在，请求出及，的值；若不存在，请说明理由．

高23届高二下期第1次月考文科数学解析

1．A【解】等轴双曲线的两条渐近线方程为，这两条渐近线的夹角为．

2．D【解】若，令，，，，，故A错误；若，令，则，故B错误；若，令，，，，，故C错误；∵，故，根据不等式运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确．

3．B【解】要使方程表示椭圆，只需满足，解得且，因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．

4．A【解】由双曲线可得，．因为，所以点在双曲线的左支上，所以，则．

5．C【解】依题意可知直线恒过点，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为．要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以．

6．C【解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：．

7．C【解】解：由抛物线可知，，得到，，

设，，因为AB的中点的纵坐标为5，

所以，则．故选

8．A．【解】由题，，所以

9．A【解】焦点在轴上的椭圆中，，，所以．由题意得，即，即，解得．

10．D【解】如图，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点，过点A作与底面平行的截面，过点作截面，垂足为O，连接OA，则，可得，，∴，∴椭圆的焦距为．

11．D【解】设椭圆上的点为，∵圆的圆心为，半径为1，

∴椭圆上的点到圆心的距离为，将，

即代入中，得

，因为，所以当时，，

∴P，Q两点间的最大距离是，故答案选D．

12．B【解】设点，则，、，

，

，由，

得，即，解得，

此时．所以椭圆C上有且只有4个点是“★”点．

13．【解】，

14．【解】双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，

可得．∴，∴．双曲线C的实轴长为4，可得，则，

．点为双曲线上一点，，设，．由双曲线的定义可得：，则有，①

又由，则有，②联立①②解可得，则的面积．

15．4【解】由抛物线的定义可知等于到准线的距离，

故等于加上到准线的距离，设点在准线上的投影为，

可知当P、B、A三点共线时，距离之和最小，最小距离为，故答案为A．

16．②③【解】对于①，曲线，令，则，

令，则，由图象可知，

所以直线AB的方程为，即，故①不正确；

对于②，曲线与圆联立，

解得或，即曲线与圆的交点为，，有2个，故②正确；

对于③，如图所示，图中五边形ACDEF的面积为，

显然“心形”区域的面积大于五边形ACDEF的面积，故③正确；

对于④，曲线经过的整点有，，，恰有6个，故④错误．故答案为：②③．

17．解：（1）∵，不等式成立，∴在上恒成立．

因为，，在上单调递减，

在上单调递增，且，即；

∴，即为真命题时，实数的取值范围是．

（2）∵，，∴，即命题$q$为真命题时．

∵命题与一真一假，∴p真假或假真．

当真假时，即；当假真时，即

综上所述，命题与一真一假时，实数的取值范围为或．

18．解：（I）由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，

设双曲线方程为，则，

∵，∴，解得，，双曲线方程为．

（II）设，，分别代入双曲线可得，，

两式相减，得，

∵点为AB的中点，可得，，

则，∴，

∴直线的方程为，把代入，

消去得，∴，，，

∴．

19．解：（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行于水面的直线为轴，

以过点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为，将点代入得，

则抛物线的方程为，将代入，

得，，故船在水面以上部分的高度不能超过7m．

（2）将代入方程，得，此时（m），

（m），故船身应至少降低0.2m才能安全通过．

20．（1）由离心率，则．

又上顶点，知，又，

可知，．∴椭圆的方程为；

（2）设直线，设，．

则，整理得：

，即，

∴，

∴，即

，解得：或（舍去），

21．解：解：（1）由已知，，得，

∴，即，∴，∴椭圆的方程为．

（2）当直线AB与x轴重合时，．

当直线AB与轴不重合时，设直线AB的方程为，，，

则，．由，得．

显然，∴，．

∴

，

∴的最大值为，此时，直线的方程为．

综上可知，的最大值为．

联立解得或，

不妨令，，∴，又，

∴．

22．（1）因为离心率为，所以，即．

因为，所以，即①．

因为点在椭圆上，所以②．

联立①②解得，．所以椭圆的标准方程为；

（2）由得．

当时，设，，

则．因为直线与直线的斜率之积为，所以，

即．所以，即

．所以，化简得．

因为弦的中点为，所以，．

又，所以．

假设存在正实数，使得，即对任意的符合条件的k，m恒成立，

则，即，即对任意的符合条件的恒成立．

所以又，所以，．故存在正实数，使得