2019-2020学年广东省茂名地区高一上学期期末考试数学试题 PDF版

2019—2020学年度第一学期期末考试

高一数学参考答案

一、选择题

1．解析：根据公式T＝可知函数y＝cos() 的最小正周期是T＝＝π.故选D

2．解析：r＝ ＝5，由任意角的三角函数的定义可得cos α＝－.故选B

3.解析：对于A，－2×6－4×3≠0；对于B，1×14－7×(－2)≠0；对于C，2×2－3×3≠0；对于D，－3×(－4)－6×2＝0.所以a4与b4共线，其余三组不共线．故选B

4.解析：由已知cos(π＋α)＝－cos α＝－，得cos α＝.故选A

5.解析：因为α是第二象限角，所以sin α＝

＝＝，所以tan α＝＝＝－.故选D

6．解析:由题意可得，，所以．故选C．

7.解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，

f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

所以f(0)·f(1)<0.故函数的一个零点在(0，1)内．故选C

8．解析法1 如图所示，

．故选A．

法2  ．故选A．

9.解析：由两边平方得，，即，则

，故选A．

10.解析　由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，

∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝，又α为锐角，易求得tan α＝.故选A

11.解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1

上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．

当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，

有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.

12.解析：对于①，是任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故③正确．对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确．故选

二、填空题

13．因为，所以，解得．故填

14．解析：由题意，所以．故填

15.解析：(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1，4).

(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，当x<λ时，x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，

1<λ≤3或λ>4. 故(1)填(1，4)　(2)填(1，3]∪(4，＋∞)

16.解析：对于①，若是第一象限角，且，可令α=390°，=30°，则

sin α=sin ，所以①错误；对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．故填②③

三、解答题

17．解：(1)由已知得(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)…………1分

=(－3，－4)－(3，－1)=(－6，－3)，…………2分

∴=3(5，－5)+2(－6，－3)=(3,  －21)…………4分

(2)∵=(－2，4)－(－3，－4)=(1,  8)…………5分

且＝(5，－5)，=(－6，－3)，

且mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)=＝(5，－5)，…………6分

所以…………8分解得…………10分

18.解析：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，

所以错误！未指定书签。=(0，1)-(1，0)=(-1，1)，…………1分

错误！未指定书签。=(2，5)-(1，0)=(1，5)，…………2分

所以2错误！未指定书签。+错误！未指定书签。=2(-1，1)+(1，5)=(-1，7)，…………3分

所以|2错误！未指定书签。+错误！未指定书签。|=错误！未指定书签。.…………4分

(2)由(1)知错误！未指定书签。=(-1，1)，错误！未指定书签。=(1，5)，…………5分

所以cosθ=错误！未指定书签。…………7分

=错误！未指定书签。.…………8分

(3)由(2)知向量错误！未指定书签。与错误！未指定书签。的夹角的余弦为cosθ=错误！未指定书签。，…………9分

而|错误！未指定书签。|=错误！未指定书签。，…………10分

所以向量错误！未指定书签。在错误！未指定书签。上的投影为|错误！未指定书签。|cosθ=错误！未指定书签。×错误！未指定书签。=错误！未指定书签。.…………12分

19.解：由已知条件可知  tanα=2

（1）∴ …………1分

=…………3分

（2）sinαcosα=…………5分

= …………7分

（3） ∵  tanα=2  ∴  sinα=2cosα    ①   …………8分

   代入sin2α+cos2α=1中可得4cos2α+cos2α=1 …………9分

 ∴ cos2α=   cosα= …………10分

又∵ α是第三象限角，∴cosα=…………11分

代入①式得 sinα=2×()=…………12分

20.解析:（1）设X=2x+错误！未指定书签。，则X=2x+错误！未指定书签。在R内是单调递增函数…………1分

y=sinX的单调递减区间为[2kπ+错误！未指定书签。,  2kπ+错误！未指定书签。]，…………2分

由2kπ+错误！未指定书签。≤X≤2kπ+错误！未指定书签。，即2kπ+错误！未指定书签。≤2x+错误！未指定书签。≤2kπ+错误！未指定书签。，…………3分

得kπ+错误！未指定书签。≤x≤kπ+错误！未指定书签。，k∈Z，…………4分

所以f(x)=sin错误！未指定书签。+1的单调递减区间为错误！未指定书签。，k∈Z.……6分

（2）当x∈［０，］时，2x+错误！未指定书签。∈［，］错误！未指定书签。…………7分

所以当2x+错误！未指定书签。=错误！未指定书签。，即x=错误！未指定书签。时，sin错误！未指定书签。取得最大值为1，错误！未指定书签。…………8分

所以，函数f(x)的最大值为2.错误！未指定书签。…………9分

当２ｘ＋＝，即ｘ＝时sin错误！未指定书签。取得最小值为错误！未指定书签。…………10分

所以函数f(x)的最小值为错误！未指定书签。…………11分

综上可知函数f(x)的值域为［，2］错误！未指定书签。…………12分

21.解析:(1)由函数图象可知函数的最大值为A+b=4，最小值为-A+b=-2错误！未指定书签。……1分

所以b=1，A=3，错误！未指定书签。…………2分

因为错误！未指定书签。T=12-4=8，所以函数的周期T=错误！未指定书签。.错误！未指定书签。…………3分

由错误！未指定书签。=错误！未指定书签。得，ω=错误！未指定书签。，所以y=3sin错误！未指定书签。（）+1，错误！未指定书签。………4分

因为(12，4)在函数图象上，所以4=3sin错误！未指定书签。+1，

即sin错误！未指定书签。=1,所以错误！未指定书签。+φ=错误！未指定书签。+2kπ,k∈Z，得φ= - 错误！未指定书签。+2kπ,k∈Z

因为0<φ<2π，所以φ=错误！未指定书签。，错误！未指定书签。…………5分

所以函数解析式为y=3sin错误！未指定书签。+1.错误！未指定书签。…………6分

(2)    因为f(x)>错误！未指定书签。，所以3sin错误！未指定书签。+1>错误！未指定书签。.解得x∈错误！未指定书签。(k∈Z)

…………错误！未指定书签。…7分

所以f(x)>错误！未指定书签。的x的集合为(-错误！未指定书签。+错误！未指定书签。k，错误！未指定书签。+错误！未指定书签。k)(k∈Z).错误！未指定书签。…………8分

(3)先将函数y=sinx的图象向左平移错误！未指定书签。个单位错误！未指定书签。…………9分

然后将所得图象横坐标伸长到原来的错误！未指定书签。倍，错误！未指定书签。…………10分

然后，再将所得图象纵坐标伸长到原来的3倍，错误！未指定书签。…………11分

然后，再将所得函数图象上所有各点图象向上平移1个单位，即得所求函数的图象.错误！未指定书签。…………12分

22.解：当(1)a=1，b=－3时，f(x)=x2－2x－4，设x0为不动点，因此x02－2x0－4=x0…1分

解得：x0=－1或x0=4，所以－1、4为f(x)的不动点.…………3分

（2）因为f(x)恒有两个不动点

即f(x)=ax2+(b+1)x+(b－1)=x恒有两个不等实根

整理为：ax2+bx+(b－1)=0   ∴△=b2－4a(b－1)>0 恒成立…………4分

即对于任意b∈R, b2－4ab+4a>0 恒成立…………5分

令g(b)=b2-4ab+4a,则g(b)min=g(2a)=(2a)2－4a×2a+4a>0…………6分

解之得0<a<1…………7分

（3）∵f(x1)+x2=x1+x2=-=，…………8分

∴ b=…………9分

==(a+1)+-2…………10分

∵０＜ａ＜１　∴　　２＜(a+1)+＜  …………11分

∴  0＜(a+1)+－２＜      ∴0＜b＜  …………12分