广西专用高考数学一轮复习考点规范练35基本不等式及其应用含解析新人教A版理

考点规范练35　基本不等式及其应用

基础巩固

1.下列不等式一定成立的是(　　)

A.lg>lg x(x>0) B.sin x+2(x≠kπ,k∈Z)

C.x2+1≥2|x|(x∈R) D>1(x∈R)

答案:C

解析:因为x2+2·x=x,所以lglgx(x>0),故选项A不正确;

当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;

由基本不等式可知选项C正确;

当x=0时,=1,

故选项D不正确.

2.若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是(　　)

A.24 B.28 C.25 D.26

答案:C

解析:∵正数x,y满足=1,

∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.

∴3x+4y的最小值是25.故选C.

3.(2020黑龙江哈尔滨四模)若正实数a,b满足,则ab的最小值为(　　)

A B.2 C.4 D.8

答案:A

解析:正实数a,b满足2,解得ab,

当且仅当时,等号成立,

则ab的最小值为故选A.

4.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A(a>0,b>0) B.a2+b2≥2(a>0,b>0)

C(a>0,b>0) D(a>0,b>0)

答案:D

解析:由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=

又由OC=OB-BC=-b=,OF⊥AB,

得FC2=OC2+OF2=

根据题图知FO≤FC,即,当且仅当a=b时取等号.

5.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为(　　)

A.8 B.9 C.16 D.18

答案:B

解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.

又a>0,b>0,所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,a+b=1,即2a=b=时等号成立,故选B.

6.(2020河南郑州模拟)若对任意正数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.[0,+∞) B C D

答案:B

解析:因为x>0,所以2a+1恒成立.

又因为x+4,当且仅当x=2时取等号,

所以的最大值为,所以2a+1,解得a的取值范围为

7.已知x>0,y>0,且=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.

答案:[-3,2]

解析:因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)=5+5+2=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,即m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].

8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. 

答案:

解析:∵x>1,∴logx9+log27x=2,当且仅当x=时等号成立.

∴logx9+log27x的最小值为

9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转　　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　　万元. 

答案:5　8

解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,所以18-2=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.

10.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:因为正数a,b满足2a2+b2=3,

所以a(2a2+b2+1)=(3+1)=,

当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.

故a的最大值为

11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.

因为2a>0,>0,所以2a+=2a+2-3b≥2=2=2,

当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.

即2a+的最小值为

能力提升

12.若不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤2 B.a≥2 C.a D.a

答案:A

解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,

所以2-a+1≥0.

令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.

由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t,即2t2-at+1≥0在t时恒成立.

由2t2-at+1≥0可得a,即a≤2t+

又2t+2=2,

当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.

13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.

∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,

∴2x+f(y)max=4,

∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;

令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,

∴实数a的最小值为4.

14.已知正实数a,b满足a2-b+4≤0,则u=(　　)

A.有最大值 B.有最小值

C.有最小值3 D.有最大值3

答案:B

解析:∵a2-b+4≤0,∴b≥a2+4.

∴a+b≥a2+a+4.

又a>0,b>0,,

∴--,

∴u==3-3-

=3-3-,

当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.

15.(2020上海浦东新区模拟)若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分曲线(α∈[0,2π))的周长,则的最小值为　　　　　. 

答案:3+2

解析:由题意可得,曲线(α∈[0,2π))对应的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1即圆心为(2,1),半径为1的圆.

直线ax+2by-2=0(a,b>0)经过圆的圆心(2,1),

故有2a+2b-2=0,即a+b=1.

又因为a>0,b>0,所以(a+b)=3+3+2=3+2,当且仅当,a+b=1,即a=-1,b=2-时,等号成立.

高考预测

16.已知函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则的最小值是(　　)

A.10 B.9 C.8 D.3

答案:B

解析:由函数f(x)=ax2+bx,得f'(x)=2ax+b.

因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2.

又因为a>0,b>0,

所以(2a+b)

=

=(10+8)=9,

当且仅当,2a+b=2,

即a=,b=时等号成立.

所以的最小值为9.故选B.