2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷 题号一二三四总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30分）要使式子有意义，的取值范围是A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是A.  B.  C.  D. 下列二次根式中，可以与合并的二次根式是A.  B.  C.  D. 下面命题都是正确的，它们的逆命题也正确的个数是
平行四边形的两组对角相等．
矩形的四个角都相等．
如果两个角是直角，那么它们相等．
两直线平行，同旁内角互补．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，在▱中，，，，则的周长为
A.  B.  C.  D. 如图，在中，若，分别为，的中点，若，，则的取值范围A.
B.
C.
D. 如图，四边形是正方形，是上的一点，于点，，且交于点，若，，则的长为A.
B.
C.
D. 观察下列式子，，，找出其中规律，用字母表示第个式子正确的是A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，为中点，为上一点，连，，于点若，，则的长是A.
B.
C.
D. 如图，在矩形中，，，为的中点，将沿着对折后得到，延长交于点，连接并延长交于点，连接，若，则下列说法：；四边形是平行四边形；：：，其中正确的是
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）计算______；______；______．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则______度．

  如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为，则正方形、、、的面积之和为______．


  如图，在菱形中，，的坐标是，则，两点间的距离是______．



  如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯顶部处有一滴蜂蜜离杯项点的曲线长度为，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底点处，则蚂蚁从外壁处到处的最短距离为______杯壁厚度不计
  如图，把一个矩形剪成四个部分能够重新拼成个正方形，已知，，则的长为______．
 三、计算题（本大题共1小题，共8分）计算：
；
． 四、解答题（本大题共7小题，共64分）如图，四边形是平行四边形，，分别是，边上的点，，求证：四边形是平行四边形．
如图，货船和快艇分别从码头同时出发．其中，货船沿着北偏西方向以海里小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东方向以海里小时的速度航行．小时后，两船分别到达、点，求、两点之间的距离．
  问题背景若，是一元二次方程的两个根，则利用求根公式得，，其中根据问题背景回答下列问题：
直接写出一元二次方程的两个根______，______．
在的条件下，写出______，______．
在的条件下，求出下列式子的值．
；
．如图，每个小正方形的边长都为．
如图，顶点均在格点上，请直接写出的面积；
在图中，找一格点，使得；
如图，在下方找格一点，用无刻度直尺画出且的面积等于；

若有两条边分别为，，面积为，请直接写出第三边的长度．如图所示，在菱形中，，是等边三角形．
如图，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：；
如图，点是延长线上一点，连．
求证：：
若，，求的长．
如图，四边形是正方形，点是直线边上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点．
如图，若点是边上一点，求证：；
如图，若点为延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点，请问中的结论是否仍然成立，说明理由；
如图，为对角线上一点，为的中点，连，若平分，，直接写出的长度．
在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，．
如图，点是轴上一点，将沿着折叠，使点落在上的处，求点的坐标；
如图，四边形是矩形，是边上一点不与点、重合，将沿直线翻折，使点落在点处．当以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的坐标；
如图，在上一点坐标为，连，点与点关于直线对称，在的条件下，当，，三点共线时，求的长度．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 2.【答案】【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、算术平方根的结果只有一个；
B、被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；
C、根据二次根式的基本性质化简；
D、根据二次根式的基本性质化简．
本题考查了二次根式的加减法、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，二次根式加减法法则的应用是解题关键．
 3.【答案】【解析】解：选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
化简二次根式，根据同类二次根式的概念即可得出答案．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 4.【答案】【解析】解：平行四边形的两组对角相等的逆命题为两组对角相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意．
矩形的四个角都相等的逆命题为四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意．
如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，错误，不符合题意．
两直线平行，同旁内角互补的逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意，
正确的有个，
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 5.【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长，
故选：．
根据平行四边形的性质和三角形的周长公式解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
 6.【答案】【解析】解：，分别为，的中点，，，
，，
，即，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据三角形的三边关系计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 7.【答案】【解析】解：在正方形中，
，，
，
，
根据勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
在直角中，根据勾股定理得，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
故选：．
根据正方形的性质以及勾股定理，可知的长，易证，根据等积法可求出的值，在直角中根据勾股定理可得的值，再证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步即可求出的值．
本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等，本题综合性较强．
 8.【答案】【解析】解：，
，
，
第个式子：；
故选：．
有前面的三个式子总结一般性，等式左边的数字和等式右边的数字与序号有关．
本题主要考查了二次根式的性质与化简、探寻数列规律，掌握二次根式的性质与化简，发现数字规律是解题关键．
 9.【答案】【解析】解：，，为中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线可得，由，得，则，由可得，由得，可得，则，利用勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练的运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
 10.【答案】【解析】解：是的中点，
，
沿折叠后得到，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
将沿直线折叠后得到，是的中点，
，，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确，
设，则，，
在中，，
解得，
：：：，故正确，
故选：．
由是的中点，沿折叠后得到，证明≌，可得，判断正确；根据，，可得，可判断正确，设，在中，，解得，可判断正确．
本题考查了矩形中的翻折的问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
 11.【答案】   【解析】解：；
；
．
故答案为：；；．
应用二次根式的性质与化简进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简进行求解是解决本题的关键．
 12.【答案】【解析】解：是等边三角形；故，
，
又有，
故；
故答案为．
由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小．
主要考查了正方形基本性质：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；四个角都是；对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．
 13.【答案】【解析】解：如图，设正方形，，，，，的边长分别为，，，，，，

该图形是由直角三角形和正方形构成，
由勾股定理可得，，，
，
正方形、、、的面积之和为，
故答案为：．
设正方形，，，，，的边长分别为，，，，，，由勾股定理可得，，，即可求解．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用．
 14.【答案】【解析】解：连接，相交于点，

四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据勾股定理得出，进而利用菱形的性质和勾股定理得出即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理得出解答．
 15.【答案】【解析】解：如图，
将杯子侧面展开，连接，则即为最短距离，
．
答：蚂蚁从外壁处到处的最短距离为．
故答案为：．
将杯子侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 16.【答案】【解析】解：如图：

由矩形得：，，，，，，
由正方形得：，，
，，，
，，
，，，
∽∽，
，即，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由正方形得，
．
故答案为：．
根据图形可得，，，证明∽∽，可得，证出四边形是平行四边形，则，由正方形得，即可得．
考查了图形的剪拼，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
 17.【答案】解：

；


．【解析】先去括号，然后合并同类二次根式即可；
先去括号，然后合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，
，
四边形是平行四边形．【解析】根据平行四边形的性质证明，即可．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，属于中考基础题．
 19.【答案】解：由题意可得：，海里，海里，
则海里，
答：、两点之间的距离为海里．【解析】根据方向角得出的度数，再利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出，的长是解题关键．
 20.【答案】      【解析】解：，
，
，
，
所以，；
故答案为：；；
；
；
故答案为：，；
原式；
原式．
利用配方法解方程即可；
计算与的和、积即可；
利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算；
先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了解一元二次方程．
 21.【答案】解：；
如图中，点即为所求；
如图中，即为所求；
如图备用图中，即为所求，．
 【解析】把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
利用数形结合的思想解决问题即可；
利用数形结合的思想解决问题即可；
利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 22.【答案】证明：如图，连接，

四边形为菱形，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
和为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌．
；
证明：和为等边三角形，
，，，
，
≌，
，
又，，
；
解：过点作于点，连接，

，
，
，
，
．【解析】证明、为等边三角形，得出，，可证明≌，即可求得．
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
过点作于点，连接，由勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 23.【答案】证明：在边取一点，使，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
即，
，，
，，
，
，平分，
，
，
≌，
；
解：中结论仍然成立，

延长到，使，连接，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：连接，作的延长线于，延长交于，

由知，，
，，
≌，
，
，，
，平分，
，，，
，，
∽，
，
，
，
．【解析】在边取一点，使，连接，利用证明≌，可得结论；
延长到，使，连接，则是等腰直角三角形，同理利用证明≌，可得结论；
连接，作的延长线于，延长交于，首先利用证明≌，得，再证明∽，得，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 24.【答案】解：如图，设，
由折叠得，，
，
，，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
设，过点作于点，则，，
四边形是矩形，
，
如图，是等腰三角形，且，
由折叠得，
，
，
解得，
，
；
如图，是等腰三角形，且，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或．
如图，连接、、、、，作于点，于点，此时点在上，
由折叠得，，
，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
设，
，
，，，
，
解得，
，，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
的长度为．【解析】设，由折叠得，，由，，得，由，可以列方程，解方程求出的值即可；
设，过点作于点，则，，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形分两种情况，一是，由折叠得，根据，可列方程，解方程求得，则，即可得到此时点的坐标；二是，则，根据勾股定理求得，即可得到此时点的坐标；
连接、、、、，作于点，于点，此时点在上，先根据勾股定理求得的长为，再求得四边形的面积为，即可列方程，求得，设，根据勾股定理列方程，求得，则，所以，设，则，根据列方程求得的值为，则，即可根据勾股定理求出的长．
此题考查轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、图形与坐标、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．