2022年四川省广元市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省广元市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若实数的相反数是，则等于

A.  B.  C.  D.

2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是

A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线上，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

5. 某药店在今年月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为元，则列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图是根据南街米粉店今年月日至日每天的用水量单位：吨绘制成的折线统计图．下列结论正确的是

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

7. 如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；为常数其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______．
13. 一个袋中装有个红球，个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是______．
14. 如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为______．
    
     

15. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点，如果的面积为，那么的值是______．
    
     

16. 如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为______．
     

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
19. 如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
    求证：四边形为菱形；
    若，，求的面积．
20. 为丰富学生课余活动，明德中学组建了体育类、美术类、音乐类和其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图如图所示请结合统计图中的信息，解决下列问题：
    八年级班学生总人数是______人，补全条形统计图，扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数为______；
    明德中学共有学生人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
    校园艺术节到了，学校将从符合条件的名社团学生男女各名中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中名男生和名女生的概率．

21. 如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道在点处测得山顶的仰角为，在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度．

22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点点是线段上一点，与的面积比为：．
    求和的值；
    若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到，判断点是否在函数的图象上，并说明理由．

23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
    科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
    为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动文学类图书售价不变：购买科技类图书超过本但不超过本时，每增加本，单价降低元；超过本时，均按购买本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计本，其中科技类图书不少于本，但不超过本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
24. 在中，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

25. 在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
    如图，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为______；
    将线段绕点顺时针旋转时
    在图中依题意补全图形，并求的度数；
    若的平分线交于点，交的延长线于点，连结用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

26. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
    求，满足的关系式及的值；
    当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
    当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：．
根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据单项式乘单项式判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，平方差公式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由图可知，，

，
，
故选：．
根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及互余的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】

【解析】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，
依题意得：，
故选：．
设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意知，
平均数为：，
众数为：、、、、；
中位数为：；
方差为：；
故选：．
根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
故选：．
首先利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据求得的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，，，
，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：把向上平移一个单位到，连接，如图．
则，
．
在中，有，，，
，
故为直角三角形，．
，
．
故选：．
把向上平移一个单位到，连接，则，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以正确；
对称轴为直线，
，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故不正确；
，故正确；
，，，
，故不正确；
当时，函数有最大值，
，
为常数，故正确；
综上所述：正确的结论有，共个，
故选：．
根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】

【解析】解：任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
摸到黄球的概率为，
袋中球的总数为：，
，
，
故答案为：．
根据任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，可知摸到黄球的概率为，从而可以求出袋中球的总数，然后即可计算出和的关系．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出袋中球的总数．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，
根据垂径定理得：，
将沿弦折叠，恰经过圆心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
≌，
阴影部分的面积．
故答案为：．
过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，根据垂径定理得：，根据将沿弦折叠，恰经过圆心，得到，得到，得到，进而证明是等边三角形，得到，在中根据勾股定理求出半径，证明≌，可以将补到上，得到阴影部分的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换折叠问题，在中，根据，得到是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：过作于，

点在反比例函数的图象上，
设，点在第二象限内，
的面积为，
，
，
点是的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
故答案为：．
过作于，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据点是的中点，可得，列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点．

，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
点在射线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
故答案为：
当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点证明，推出平分，推出点在射线上运动，当时，的值最大，最大值为，当点滑动到点时，点运动的路径长为．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定点的运动轨迹是线段是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集为：，
为整数，
的值为，，，，
，，，，
只能取，
当时，
原式．

【解析】小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，再根据分式有意义的条件得到只能取，代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得到只能取是解题的关键．
 

19.【答案】证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
．

【解析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证，可得结论；
由菱形的性质可求，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：八年级班学生总人数是：，
选择的学生有：人，
扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，，
补全的条形统计图如右图所示；
人，
答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有人；
设男生用表示，女生有表示，
树状图如下所示：

由上可得，存在种可能性，其中恰好选中名男生和名女生的可能性有种，
故恰好选中名男生和名女生的概率是．
根据选A的人数和所占的百分比，可以计算出八年级班学生总人数，然后即可计算出选择的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中区域所对应的扇形的圆心角的度数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得恰好选中名男生和名女生的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
在中，，
米，
米，
隧道的长度为米．

【解析】过点作，垂足为，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：函数的图像与函数的图像相交于点，
，，
，；
点不在函数的图像上，理由如下：
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，
点，
，，
与的面积比为：，
，
，
，
即点的纵坐标为，
把代入得：，
，
，
中，当时，，
，
由旋转的性质得：≌，
，

在中，，
点的坐标为，
，
点不在函数的图像上．

【解析】将代入可求出的值；再将代入可求出的值；
过点作轴于，过点作轴于，过作轴于，先求出点的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点的坐标，即可解决问题．
本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
 

23.【答案】解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元．
设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本．
当时，，
，
随的增大而增大，
；
当时，，
，
当时，随的增大而减小，
；
当时，，
，
随的增大而增大，
．
综上，当时，的最小值为．
答：社区至少要准备元购书款．

【解析】设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，根据“购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本，分，及三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可求出的取值范围，取其最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；分，及三种情况，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】证明：连接，，

，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，，根据已知可得，利用等腰三角形的性质可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形斜边上的中线可得，进而可得，然后可得，即可解答；
利用的结论可证∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
 

25.【答案】

【解析】解：在中，，将线段绕点旋转，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；

依题意补全图形如图，

由旋得：，，
，
，，
，，
；
．
证明：过点作，交的延长线于点，

，平分，
垂直平分，
，，
由知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
≌，
，
，
．
根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数；
依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得出垂直平分，求出可得，，证明≌，可得，根据线段的和差即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

26.【答案】解：直线中，当时，，
，
当时，，
，
，
将，代入抛物线中，得，
，
，；
如图，当时，，

，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图，连接交直线于点，
因为点与点关于直线对称，由对称性可知：，
此时的周长最小，所以的周长为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，

设，则，
，
，
当时，有最大值是，
当时，，
综上，点的坐标为时，有最大值是．

【解析】在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答；
连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答；
根据时，可得抛物线的解析式，如图，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，配方后可解答．
本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．