2021-2022学年下学期高一数学暑假巩固练习2 数列（一）

一、单选题．

1．对于数列，“”是“数列为等差数列”的（    ）

A．充分非必要条件  B．必要非充分条件

C．充要条件  D．既非充分又非必要条件

2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（    ）

A． B． C． D．

3．一张报纸，其厚度为，面积为，现将报纸对折次，这时报纸的厚度和面积分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

4．下列命题中，正确的是（    ）

A．公比的等比数列满足，（，）

B．公比的等比数列满足，（，）

C．常数列既是等差数列又是等比数列

D．数列是等差数列

5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最大1份为（    ）

A．35 B． C． D．40

6．在等比数列中，，为方程的两根，则（    ）

A． B．2 C． D．

7．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．12 B．10 C．8 D．

8．设等差数列和等比数列的首项都是1，公差与公比都是2，则（    ）

A．54 B．56 C．58 D．57

9．设有四个数的数列为，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为k；后三个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零．对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足（    ）

A．  B．

C．  D．其他条件

10．在数列中，若，，，则等于（    ）

A．6 B． C．3 D．

二、填空题．

11．若，，，依次成等差数列，则实数a的值为_________．

12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且，则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．

13．已知正项等比数列满足，则其公比为__________．

14．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的．按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为___________．

15．在数列中，，，，则________；的前2022项和为________．

三、解答题．

16．在等比数列中，

（1），，求；

（2），，若，求n的值．

17．已知数列是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项．

18．已知在数列中，，，数列满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．

19．已知数列的通项公式为．

（1）判断是不是数列中的项；

（2）判断数列中的项是否都在区间内；

（3）判断在区间内有没有数列中的项．

一、单选题．

1．【答案】C

【解析】若数列的通项公式为，

则(为常数)，

由等差数列的定义可得数列为等差数列；

若数列为等差数列，设首项为，公差为，

则通项公式为，

令，则数列的通项公式可写为，为常数，，

所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件，

故选C．

2．【答案】C

【解析】结合图形可知，第一个“金鱼”图需要火柴棒的根数为8根，后面每个“金鱼”图需要的火柴棒的根数依次比前一个多6根，

故第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为，故选C．

3．【答案】A

【解析】每对折一次，厚度变为原来的倍，则对折次后的报纸厚度为；

每对折一次，面积变为原来的，则对折5次后的报纸面积为，

故选A．

4．【答案】D

【解析】若首项为负数，当时，显然；时，显然，

故A、B错误；

当时，此时数列为等差数列但不是等比数列，故C错误；

令，则，

所以，所以数列是等差数列，故D正确，

故选D．

5．【答案】C

【解析】根据题意设每人所得面包为，成等差数列且依次增大，

则有，

所以，可得，

化简得，

设公差为，所以，所以，，

，故选C．

6．【答案】A

【解析】依题意知，故，同为负值，

所以数列的所有奇数项均为负值，所以．

又，所以，所以，

故选A．

7．【答案】B

【解析】为等比数列，则，

故选B．

8．【答案】D

【解析】由题意知，等差数列的首项是1，公差是2，

所以，

等比数列的首项是1，公比是2，所以，

所以，

故选D．

9．【答案】D

【解析】设，，所成等比数列的公比为，依题意，，

则四个数为，，3，，

因，，所成等差数列公差不为0，即，

因此，整理得，

因满足条件的数列的个数大于1，则关于的方程有两个不同的实数解，且，

则有，且，即且，

当时，；当时，，即当时，k可以取9，

所以k应满足且，

故选D．

10．【答案】B

【解析】因为，，，所以，，

，，，，

所以，所以，

故选B．

二、填空题．

11．【答案】

【解析】因为，，，依次成等差数列，

所以公差，

所以，

故答案为．

12．【答案】64

【解析】因为，

所以，

，

故答案为64．

13．【答案】3

【解析】设正项等比数列的公比为，

∵，∴，即，∴或（舍去），

故答案为3．

14．【答案】

【解析】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，

则当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

可以猜测，可化为，

所以数列是以首项为，公比为3的等比数列，

有，可得，

故当时，，

故答案为．

15．【答案】，2024

【解析】由，得，

又，所以，，，，，

可知数列为周期数列，周期为4，

故，

故答案为；2024．

三、解答题．

16．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公比为q，

因为，所以，，

所以．

（2）因为，所以．

由，得．

由，解得．

17．【答案】前4项分别为，1，4，16．

【解析】方法一：设这个等比数列的前4项分别为a，aq，，，

由题意，得，即

将②式平方后除以①式，得，

整理得，解得或．

因为等比数列为各项均为正数，且单调递增的等比数列，

所以，，即，，

所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16．

方法二：根据数列是一个各项均为正数的等比数列，

可设这个数列的前4项分别为，，aq，其中，公比为．

由题意，得，解得或或或，

又因为数列单调递增，所以，即或，

所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值，最大值3，理由见解析．

【解析】（1）证明：因为，，

所以当时，

．

又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）知，则．

设函数，在区间和上单调递减，

结合函数的图象可知，

当时，取得最小值；

当时，取得最大值3．

19．【答案】（1）不是；（2）数列中的项都在区间内；（3）有．

【解析】（1）因为，

所以由，解得，

因为不是正整数，所以不是数列中的项．

（2）因为，，

，所以，所以数列中的项都在区间内．

（3）令，即，

则，解得．

又，所以．

故在区间内有数列中的项，且只有一项，是第二项，即．