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    初中数学部编全等三角形证明题(倍长中线和截长补短)

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    初中数学部编全等三角形证明题(倍长中线和截长补短)

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    全等三角形

                          —— 倍长中线截长补短

    课前

    1.如图,中,点DBC的中点,点EAD上一点,BE=AC.C=70°DAC=50°,则EBD的度数为(     )(提示:等腰三角形两底角相等)

    A10°          B15°            C20°           D12.5°

     

     

     

    2.已知,如图所示,四边形ABCD中,BAD+C=180°AD=AB,点E,F分别在边BCCD上,EAF=BAD.则下列结论中正确的是(    

    AAB+DF=FC                   BBE=DF 

    CBE+DF=EF                   DAD=AF

     

     

    本讲概况

    本讲名称

    专题

    考法

    例题难度

    对应例题

    考查热度

    全等三角形

        倍长中线和截长补短

    倍长中线

    一次全等

    ☆☆

    1

    二次全等

    ☆☆☆☆

    2

    倍长类中线

    ☆☆☆

    3

    截长补短

    线段和差

    ☆☆

    4

    半角模型

    ☆☆☆

    5

    对角互补

    ☆☆☆

    6

     

    专题一 倍长中线

    知识精讲

    倍长中线:即延长三角形的中线,使得延长后的线段是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形;其本质是转移边和角.

    1.倍长中线

    题中出现遇见三角形的中线时,可以尝试倍长中线,来构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移

    AD是中线,延长ADE,使,连接BE

    易证

    ACBECADBED

    AC//BE

     

    2. 类倍长中线

    题中出现过中点的线段时,可以尝试倍长这条线段(类中线),来构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移.

    D中点,延长FDE,使DEFD,连接CE

    易证

    BFCEFBDECD

    AB//CE

     

     

     

     

     

    典型例题:

    题型一 倍长中线之一次全等

    1  如图,在中,点DBC边中点,,,求的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式1 如图,在中,AD平分,且BD=CD.求证:AB=AC.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式2 已知:如图,在中,DEBC上,且DE=EC,过DAE于点FDF=AC.

    求证:AE平分

     

     

     

     

     

     

    题型二 倍长中线之二次全等

    2  已知CD=ABBDA=BADAEABD的中线,求证:C=BAE

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式1 如图,AB=AEABAEAD=ACADAC,点MBC的中点.求证:DE=2AM.

     

     

     

     

     

     

     

    题型三 倍长类中线

    3 如图,在中,于点,点中点,的延长线于点,交于点,若,求证:的角平分线.

     

     

     

     

     

     

     

     

    专题二 截长补短

    知识精讲

     

    示例剖析

     

    截长:即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

    在线段上截取

     

     

     

    补短:即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

    延长,使得

     

    典型例题:

    题型 截长补短之线段和差

    4 如图,在四边形ABCD中,ADBC,若DAB的平分线AECDE,连接BE,且BE恰好平分,判断AB的长与AD+BC的大小关系并证明.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式1  已知:如图,在ABC中,C2B12.求证:AB=AC+CD.

     

     

     

     

     

     

     

    题型 截长补短之半角模型

    5  已知:如图,在正方形ABCD中,AD=ABB=D=BAD=90°EF分别为CDBC边上的点,且EAF=45°,连接EF

    求证:EF=BF+DE

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式1 如图,在四边形ABCD中,B=D=90°AB=AD,若EF分别在边BCCD上的点,且EAF=BAD. 求证:EF=BE+DF

        

     

     

     

     

     

     

    变式2 正方形ABCD中,EBC上的一点,FCD上的一点,且BE+EF=DF,求EAF的度数.

     

     

     

     

     

     

    题型五 截长补短之对角互补

    5 如图,平分,且.求证: 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    变式1 五边形ABCDE中, AB=AEBC+DE=CDABC+AED=180°,求证:AD平分CDE.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    归纳总结:

    1. 证明线段或角相等时,可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等.如果题目中没有可能全等的三角形,往往考虑通过添加辅助线,构造全等三角形来证明.
    2. 构造辅助线的方法:

    ___________:当已知条件中有中线(中点)时,往往考虑延长中线构造全等三角形.

    _________:当题目中出现线段的和差倍分时,往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理.

     

     

    课后

    1. 如图所示, ABC中,AB=3AC=7,则BC边上的中线AD的取值范围是(   

    A4AD10                    B0AD10

    C3AD7                     D2AD5

     

     

     

     

     

    2. ABC中,ADBAC的平分线,且AB=AC+CD.BAC=60°,则ABC的大小为(   

    A20°                     B25°            C30°             D35°

     

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