上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷及参考答案

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷及参考答案，共10页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共10小题）.
1．与2023°终边重合的最小正角是 　 　．
2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，则实数λ＝　 　．
3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，则cos（α﹣β）＝　 　．
4．|（3﹣4i）4|＝　 　．
5．已知tanx＝﹣2，则sin2x＝　 　．
6．函数f（x）＝asin2x+btanx+3满足f（﹣2）＝1，则f（2﹣π）＝　 　．
7．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 　 　．
8．已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是 　 　．
9．将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝　 　．
10．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　 　．
二、选择题
11．设a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
12．已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2
13．P是△ABC所在平面内一点，＝λ+，则P点一定在（　　）
A．△ABC内部 B．在直线AC上 C．在直线AB上 D．在直线BC上
14．空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
三、解答题
15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
（1）若C＝，求a的值；
（2）若a＝3，求S△ABC．
16．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
17．已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
（1）求m的值；
（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；
（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．
18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]．
（1）若θ＝，P1的坐标为（20，21），求；
（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；
（3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cosα，sinα）时，△P1P2P3为等边三角形，求θ的所有可能值．


参考答案
一、填空题
1．与2023°终边重合的最小正角是 　223°　．
解：因为2023°＝5×360°+223°，
所以与2023°终边重合的最小正角是223°．
故答案为：223°．
2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，则实数λ＝　﹣　．
解：∵向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，
∴2λ﹣（﹣3）×3＝0，
解得：λ＝﹣．
3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，则cos（α﹣β）＝　　．
解：α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝＝，sinβ＝＝，
则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×+×＝，
故答案为：，
4．|（3﹣4i）4|＝　625　．
解：由|（3﹣4i）4|＝（|3﹣4i|）4＝．
故答案为：625．
5．已知tanx＝﹣2，则sin2x＝　﹣　．
解：因为tanx＝﹣2，
所以sin2x＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
6．函数f（x）＝asin2x+btanx+3满足f（﹣2）＝1，则f（2﹣π）＝　5　．
解：函数f（x）＝asin2x+btanx+3满足f（﹣2）＝1，
∴f（﹣2）＝asin（﹣4）+btan（﹣2）+3＝﹣asin4﹣btan2+3＝1，
∴asin4+btan2＝2，
则f（2﹣π）＝asin（4﹣2π）+btan（2﹣π）＝asin4+btan2+3＝2+3＝5．
故答案为：5．
7．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 　3　．
解：若三条直线在同一故平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，
若三条直线不在同一故平面内，则此时三条直线能确定三个平面，
故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，
故答案为：3．
8．已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是 　[0，2]　．
解：sinx+cosx＝a化为：sinx+cosx＝，
∴sin（x+）＝，
∵x∈[0，]，∴（x+）∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，
∵关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，
∴0≤≤1，解得0≤a≤2．
则实数a的取值范围是[0，2]，
故答案为：[0，2]，
9．将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝　﹣　．
解：函数y＝sin2x的图象向下平移1个单位后，得到y＝sin2x﹣1的图象，再向右平移个单位，得到f（x）＝sin（2x﹣）﹣1的图象，
所以f（）＝sin（）﹣1＝，
故答案为：．
10．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　5　．
解：设w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R），
∵﹣＝，∴（﹣）•（w1﹣w2）＝4，即（（a﹣b）﹣（c﹣d）i）（（a﹣b）+（c﹣d）i）＝4，
即（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，故w1、w2对应平面内距离为2的点，如图F、G，
∵|wj﹣za|∈{1，3}，∴za与w1、w2对应的点的距离为1或3，
构成了点A、B、C、D、E共5个点，
故k的最大值为5，
故答案为：5．

二、选择题
11．设a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解：根据反三角函数的定义a＝arcsin，整理得sina＝，由于a，所以a＝，
由于b＝arccos，所以cosb＝，由于b∈（0，π），所以b＝，
由于c＝arctan，所以tanc＝，由于c，由于，所以c．
故b＞a＞c．
故选：C．
12．已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2
解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，
∴，∴a＝2，
故选：A．
13．P是△ABC所在平面内一点，＝λ+，则P点一定在（　　）
A．△ABC内部 B．在直线AC上 C．在直线AB上 D．在直线BC上
解：∵，＝λ+，
∴＝λ+，
∴﹣＝λ，
∴∥，即与共线，
∴P点一定在AC边所在直线上，
故选：B．
14．空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
解：根据题意，空间中1个平面可以将空间分为2部分，有1+1＝2；
空间中有2个平面时，最多可以把空间分为4部分，有1+1+2＝4；
空间中有3个平面时，最多可以把空间分为8部分，有1+1+2+4＝8；
空间中有4个平面时，新增的一个平面最多和已知的3个平面有3条交线，
这3条交线会把新增的这个新平面最多分成7部分，
从而多出7个部分，最多可以把空间分为7部分，故总共有1+1+2+4+7＝15；
空间中有5个平面时，新增的一个平面最多和已知的4个平面有4条交线，
这4条交线会把新增的这个新平面最多分成11部分，从而多出11个部分，
故总共有1+1+2+4+7+11＝26部分，
故选：A．
三、解答题
15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
（1）若C＝，求a的值；
（2）若a＝3，求S△ABC．
解：（1）△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
若C＝，
所以，解得a＝2．
（2）在△ABC中，设AB＝x，
利用余弦定理：，解得，
当x＝3+时，＝
当x＝3时，＝．
16．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
∴α+β＝﹣2，αβ＝m，
若α，β为实数，
则2＝|α﹣β|＝＝，
化为：m＝﹣1．
若α，β为一对共轭复数，
则2＝|α﹣β|＝＝|i|，
化为：m＝3．
综上可得：m＝﹣1或3．
（2）x2+2x+m＝0，不妨设α≤β．
△＝4﹣4m≥0，即m≤1时，方程有两个实数根．
α+β＝﹣2，αβ＝m，
0≤m≤1时，|α|+|β|＝|α+β|＝2．
m＜0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|＝﹣α+β＝＝2．
△＝4﹣4m＜0，即m＞1时，方程有一对共轭虚根．
|α|+|β|＝2|α|＝2＝2
综上可得：|α|+|β|＝．
17．已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
（1）求m的值；
（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；
（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．
解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcos＝﹣sin2ωx＝sin（2ωx+），
由题意可得T＝2×＝π，
故2ω＝，即ω＝1，
∴，
当 时，，
∴m＝．
（2）令，
即，k∈Z，
当k＝0时，，当k＝1时，，
又∵x∈[0，π]，
∴y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间为．
（3）∵f（x）≥1，
∴，即，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
∴f（x）≥1成立的x的取值范围为．
18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]．
（1）若θ＝，P1的坐标为（20，21），求；
（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；
（3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cosα，sinα）时，△P1P2P3为等边三角形，求θ的所有可能值．
解：（1）若θ＝，则＝（cos，sin）＝（0，1），
则＝2[﹣（•）]＝2{（20，21）﹣[（0，1）•（20，21）]（0，1）}＝2[（20，21）﹣（0，21）]＝（40，0），
所以＝2[﹣（•）]＝2{（40，0）﹣[（1，0）•（40，0）]（1，0）}＝（0，0）；
（2）因为||＝6，不妨设＝6（cosα，sinα），
由向量＝（cosθ，sinθ），
得＝2[﹣（•）]
＝2[6（cosα，sinα）﹣6cos（α﹣θ）（cosθ，sinθ）]
＝12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））
所以＝2[﹣（•）]
＝2[12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣12sinθsin（θ﹣α）（1，0）]
＝24（0，cosθsin（α﹣θ）），
若θ＝，则cosθ＝﹣，sinθ＝，
则||＝12|sin（α﹣）|＝12|sin（α+）|，
所以，当|sin（α+）|＝1时，||取最大值12；
（3）＝2[﹣（•）]
＝2[（cosα，sinα）﹣（cosαcosθ+sinαsinθ）（cosθ，sinθ）]
＝2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ）），
＝2[﹣（•）]
＝2[2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣2sinθsin（θ﹣α）（1，0）]
＝4（0，cosθsin（α﹣θ）），
所以＝（2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα，2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα），
＝（2sinθsin（α﹣θ），2cosθsin（α﹣θ）），
因为△P1P2P3为等边三角形，
所以||＝||＝2|sin（α﹣θ）|＝1，
cos＜，＞＝＝﹣，
所以|sin（α﹣θ）|＝，
2sinθsin（α﹣θ）[2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα]+2cosθsin（α﹣θ）[2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα]＝﹣，
即﹣4sin²θsin²（α﹣θ）﹣2sinθcosαsin（α﹣θ）+4cos²θsin²（α﹣θ）﹣2cosθsinαsin（α﹣θ）＝﹣，
即4sin²（α﹣θ）（cos²θ﹣sin²θ）﹣2sinθcosαsinαcosθ+2sinθcosαcosαsinθ﹣2cosθsinαsinαcosθ+2cosθsinαcosαsinθ＝﹣，
即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2cos²θsin²α＝﹣，
即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α（1﹣sin²θ）＝﹣，
即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α+2sin²αsin²θ＝﹣，
即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θ﹣2sin²α＝﹣，
即cos²θ+sin²θ﹣2sin²α＝﹣，
即1﹣2sin²α＝﹣，
即cos2α＝﹣，且2α∈[0，2π），
所以α＝或，
当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或，
当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或，
所以θ的所有可能值为、、．