2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．
1．（5分）（2021春•黄冈期末）已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是　　
A．复数的模为
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数在复平面内对应的点在第二象限
2．（5分）（2013•梅州二模）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）（2021春•黄冈期末）不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是　　
A．，， B．，
C．，， D．，，
4．（5分）（2021春•黄冈期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为　　
A．2 B．4 C． D．
5．（5分）（2021春•黄冈期末）一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•黄冈期末）如图，正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面与侧棱、相交于、，则△的周长的最小值为　　

A． B． C．4 D．2
7．（5分）（2021春•黄冈期末）如图所示，中，，，，是的中点，，则　　

A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•黄冈期末）欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形、、都是正方形，于点，交于点．先证明与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步推理得证．在该图中，若，则　　

A． B． C． D．
二、多项选择题．本大题共4个小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•黄冈期末）下列各组向量中，可以作为基底的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
10．（5分）（2021春•黄冈期末）下列关于复数的四个命题中假命题为　　
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则
11．（5分）（2021春•黄冈期末）如图在三棱柱中，底面，，点是上的动点，则下列结论正确的是　　

A．
B．当为的中点时，平面平面
C．当为中点时，平面
D．三棱锥的体积是定值
12．（5分）（2021春•黄冈期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是　　
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
三、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)
13．（5分）（2021春•黄冈期末）一个口袋中装有2个红球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球，则第一次取到绿球第二次取到红球的概率为 　　．
14．（5分）（2021春•黄冈期末）在中，是的中点，，，，则的面积为 　　．
15．（5分）（2021春•黄冈期末）如图，正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为 　　．

16．（5分）（2021春•黄冈期末）如图等腰梯形中，，，是梯形的外接圆的圆心，是边上的中点，则的值为 　　．

三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤．
17．（10分）（2021春•黄冈期末）复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．
（1）求复数；
（2）复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值．
18．（12分）（2021春•黄冈期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
19．（12分）（2021春•黄冈期末）黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩（满分，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：
甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141
乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150
（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？
（2）将同学乙的成绩分成，，，，，，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．
分组
频数
频率
，


，


，


，


，


合计
20
1

20．（12分）（2021春•黄冈期末）如图，已知在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，，．
（1）证明：；
（2）若，，求四棱锥的体积．

21．（12分）（2021春•黄冈期末）如图，四边形中，，，，设．
（1）若面积是面积的4倍，求；
（2）若，求．

22．（12分）（2021春•黄冈期末）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过，，三点的平面交于．

（1）证明：是的中点；
（2）证明：平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．


2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．
1．（5分）（2021春•黄冈期末）已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是　　
A．复数的模为
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数在复平面内对应的点在第二象限
【解答】解：复数满足，整理得：，
对于，故正确；
对于：复数的共轭复数为，故错误；
对于：复数的虚部为，故错误；
对于：复数在复平面内对应的点在第四象限，故错误．
故选：．
2．（5分）（2013•梅州二模）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据正弦定理可得：，
，
由大边对大角可得：，
．
故选：．
3．（5分）（2021春•黄冈期末）不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是　　
A．，， B．，
C．，， D．，，
【解答】解：由不同的直线和，不同的平面，，，知：
若，，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则与相交或平行，故不正确；
若，，，则由平面平行的判定定理知，故正确；
若，，，则与相交或平行，故不正确．
故选：．
4．（5分）（2021春•黄冈期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：如图，圆锥的轴截面为等腰，且内切圆为球的大圆．设圆锥底面圆周的半径为，高为，球的半径为，．
则由条件有，整理得①
在中，，所以②，
联立①②，解得．
故选：．

5．（5分）（2021春•黄冈期末）一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：第一个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为，第二个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为，
两个正方体朝上的面颜色相同的概率为，
两个正方体朝上的面颜色不同的概率为．
故选：．
6．（5分）（2021春•黄冈期末）如图，正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面与侧棱、相交于、，则△的周长的最小值为　　

A． B． C．4 D．2
【解答】解：把正三棱锥的侧面展开，
两点间的连接线即是截面周长的最小值．
正三棱锥中，，所以，，，
，
截面周长最小值是．
故选：．

7．（5分）（2021春•黄冈期末）如图所示，中，，，，是的中点，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：中，，，，是的中点，，
．
故选：．
8．（5分）（2021春•黄冈期末）欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形、、都是正方形，于点，交于点．先证明与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步推理得证．在该图中，若，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：设，，，可得，
，
，
又，
可得，
，
，
即，
，
，
在中，，得，
在中，，
即，可得．
故选：．

二、多项选择题．本大题共4个小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•黄冈期末）下列各组向量中，可以作为基底的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
【解答】解：，与不共线，正确，
， 与共线，错误，
， 与共线，错误，
， 与不共线，正确，
故选：．
10．（5分）（2021春•黄冈期末）下列关于复数的四个命题中假命题为　　
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则
【解答】解：选项：设，，为实数），因为，所以，则，所以，因为可能为0，故错误，
选项：当，时，，故错误，
选项：当时，复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，故的最大值为，故正确，
选项：当时，，故错误，
故选：．
11．（5分）（2021春•黄冈期末）如图在三棱柱中，底面，，点是上的动点，则下列结论正确的是　　

A．
B．当为的中点时，平面平面
C．当为中点时，平面
D．三棱锥的体积是定值
【解答】解：对于，在三棱柱中，底面，
，又，，平面，平面，平面，又平面，，故正确；
对于，在三棱柱中，底面，
，当时，由，是平面中的相交线，得到平面，平面平面，此时不一定为中点，故错误；
对于，设，则是中点，连结，则是中点时，，
平面，平面，平面，故正确；
对于，△的面积是定值，，平面，平面，
平面，到平面的距离是定值，三棱锥的体积是定值，故正确．
故选：．

12．（5分）（2021春•黄冈期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是　　
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
【解答】解：对，，所以正确；
对，，即，
的内角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故错误；
对，由正弦定理得：，得：，
整理得：，，或，故错误；
对：由题意知：、、中是最大的正数，由变形得：，，为锐角，又知为最大角，为锐角三角形，故正确；
故选：．
三、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)
13．（5分）（2021春•黄冈期末）一个口袋中装有2个红球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球，则第一次取到绿球第二次取到红球的概率为 　0.3　．
【解答】解：由题意可得，样本空间的总数为，
第一次取到绿球第二次取到红球的样本数为，
故所求的概率．
故答案为：0.3．
14．（5分）（2021春•黄冈期末）在中，是的中点，，，，则的面积为 　　．
【解答】解：是中点，且，，，
，则，即，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•黄冈期末）如图，正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为 　　．

【解答】解：以、、所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的边长为1，

则，0，，，0，，，1，，
，1，，，0，，，1，，，1，，，，，所以，，，
，．
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，则．
于是，，
所以．
其中为直线与平面所成角．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
16．（5分）（2021春•黄冈期末）如图等腰梯形中，，，是梯形的外接圆的圆心，是边上的中点，则的值为 　16　．

【解答】解：设，
是边上的中点，
，
则，

又，
，
是的外心，
，

，
即，
故答案为：16．

三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤．
17．（10分）（2021春•黄冈期末）复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．
（1）求复数；
（2）复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值．
【解答】解：（1）设，
则，即，①
为纯虚数，且，②
由①②解得，，
；
（2）
，，
，
，
由，得，
即，
，得．
18．（12分）（2021春•黄冈期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
【解答】解：（1），
由正弦定理得，
又，
，
，
，
；
（2）由余弦定理得：即，
，
又，
，
，
，
的周长为．
19．（12分）（2021春•黄冈期末）黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩（满分，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：
甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141
乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150
（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？
（2）将同学乙的成绩分成，，，，，，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．
分组
频数
频率
，


，


，


，


，


合计
20
1

【解答】解：（1）甲的中位数是，
乙的中位数是，
乙的成绩更好．
（2）完成频率分布表如下：
分组
频数
频率
，
2
0.1
，
4
0.2
，
5
0.25
，
6
0.3
，
3
0.15
合计
20
1
乙的频率分布直方图如下图所示：

（3）甲乙两位同学的不低于140（分的成绩共5个，甲两个成绩记作、，
乙3个成绩记作、、（其中表示150分），
任意选出2个成绩所有的取法为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共10种取法，
其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：
，，，，，，，，共4种取法，
取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．
20．（12分）（2021春•黄冈期末）如图，已知在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，，．
（1）证明：；
（2）若，，求四棱锥的体积．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，如图所示；

因为，所以，
又因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以；①
又因为，②
由①②可得平面，所以．
（2）解：因为，所以，
又，所以，所以；
又因为，，所以，；
由（1）知平面，所以，
所以；
所以；
又因为，，所以，
所以；
所以四棱锥的体积是
．
另解：因为，
所以，所以，
计算四棱锥的体积是．

21．（12分）（2021春•黄冈期末）如图，四边形中，，，，设．
（1）若面积是面积的4倍，求；
（2）若，求．

【解答】解：（1）设，
则，，，
由题意，
则，
所以．
（2）由正弦定理，中，，
即①
在中，，
即②
②①得：，

，
化简得，
所以．

22．（12分）（2021春•黄冈期末）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过，，三点的平面交于．

（1）证明：是的中点；
（2）证明：平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．

【解答】证明：（1）在图①中过作，
则，，

又，，，，且，，
又，，平面，
又平面平面，，，
又是的中点，是的中点．
（2）在直角梯形中，，

，．
又，，，，①
又平面平面，，平面，，②
由①②得平面，，③
，，，，④
由③④可得平面，，⑤
又，，平面，，⑥
由⑤⑥可得平面．
（3）过作，则平面，
过作，连结，
则为二面角的平面角，，
设，，
又，，，，
由得，
，
．




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