2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）已知，则　　

A．2 B．1 C．0 D．不确定

4．（5分）函数的图象可能为　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

6．（5分）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为　　，

A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年

7．（5分）已知函数，若且，则的最小值为　　

A．2 B．3 C． D．

8．（5分）已知奇函数的定义域为，，，，且在上单调递增，则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法正确的有　　

A．“，”的否定为“，” 

B．“，”的否定为“，，” 

C．“，”的否定为“，” 

D．“，”的否定为“，”

10．（5分）已知函数，，则　　

A．函数为偶函数 

B．函数为奇函数 

C．函数在区间，上的最大值与最小值之和为0 

D．设，则的解集为

11．（5分）已知函数，，则　　

A．在单调递减 

B．的图象关于点对称 

C．若方程仅有1个实数根，则 

D．当或时，方程有3个实数根

12．（5分）若函数在区间上有定义，且对，，，（a），（b），（c）均可作为一个三角形的三边长，则称在区间上为“函数”．已知函数在区间为“函数”，则实数的值可能为　　

A． B． C． D．

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域是 　　．

14．（5分）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 　　．

15．（5分）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 　　．

16．（5分）已知函数在其图象上任意一点，处的切线，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，设处坐标原点）的面积为，当时，取得最小值，则的值为 　　．

四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知是定义在上的偶函数，当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解关于的不等式．

18．（12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）讨论方程实数解的个数．

19．（12分）已知函数，．

（1）若的定义域为，求的取值范围；

（2）若不等式有解，求的取值范围．

20．（12分）如图，将一张长为，宽为的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为，所得容器的体积为．

（1）将表示为的函数；

（2）为何值时，容积最大？求出最大容积．

21．（12分）已知函数．

（1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围；

（2）若存在正数，，满足，证明：．

22．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）令，对任意，，求的取值范围．

2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为集合，，

所以，

则．

故选：．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：对应的集合为，，，

所以是的必要非充分条件，

故选：．

3．（5分）已知，则　　

A．2 B．1 C．0 D．不确定

【解答】解：，

（1）．

故选：．

4．（5分）函数的图象可能为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，

所以为奇函数，排除选项和，

又（1），排除选项，

故选：．

5．（5分）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【解答】解：在，上单调递减，

当，时，恒成立，

即对，恒成立，

当，时，，

，

，

故选：．

6．（5分）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为　　，

A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年

【解答】解：该物质的剩余质量变为原来的，设经过的时间大约为年，

设该种放射性物质原来质量为，

则，

（年．

故选：．

7．（5分）已知函数，若且，则的最小值为　　

A．2 B．3 C． D．

【解答】解：作出函数的图象如图，

由且，可得，，，，

而，，则，

，

令，，，

则，

当时，，当时，，

当时，取得最小值为（1）．

故选：．

8．（5分）已知奇函数的定义域为，，，，且在上单调递增，则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：由题意知，（1），且在上单调递增，

当或时，；当或时，，

，

或，

解得或，

不等式的解集为，，．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法正确的有　　

A．“，”的否定为“，” 

B．“，”的否定为“，，” 

C．“，”的否定为“，” 

D．“，”的否定为“，”

【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，

“，”的否定为“，”，所以选项正确，错误；

根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，

“，”的否定为“，”，所以选项正确，错误．

故选：．

10．（5分）已知函数，，则　　

A．函数为偶函数 

B．函数为奇函数 

C．函数在区间，上的最大值与最小值之和为0 

D．设，则的解集为

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，其定义域为，有，则为奇函数，错误；

对于，，其定义域为，有，则为奇函数，正确；

对于，函数，、都是奇函数，则也是奇函数，在区间，上的最大值与最小值互为相反数，

必有在区间，上的最大值与最小值之和为0，正确；

对于，，则在上为减函数，，则在上也为减函数，

若，即，必有，解可得，即的解集为，正确；

故选：．

11．（5分）已知函数，，则　　

A．在单调递减 

B．的图象关于点对称 

C．若方程仅有1个实数根，则 

D．当或时，方程有3个实数根

【解答】解：对于，

，所以函数在上单调递减，故正确；

对于，

因为，（2），所以（2），所以错误；

对于，，

作出函数和的函数图象，

其中函数的图象是由平移得到的，

当或时，此时两函数图象恰有2个公共点，数形结合可知，当时，两函数图象3个公共点，当时两函数图象2个公共点，当时，两函数图象1个公共点，当时，两函数图象2个公共点，当时，两函数图象3个公共点．所以都正确．

故选：．

12．（5分）若函数在区间上有定义，且对，，，（a），（b），（c）均可作为一个三角形的三边长，则称在区间上为“函数”．已知函数在区间为“函数”，则实数的值可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

当时，，当，时，，

在上单调递增，在，上单调递减，

（1），

又，（e），

，

为函数，

，即，

，

，，，，

、不符合题意，、符合题意，

故选：．

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域是 　，　．

【解答】解：，，故．

故答案为：，

14．（5分）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：根据题意，是上的减函数，

则有，解可得：，

即的取值范围为：，．

故答案为：，．

15．（5分）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 　1　．

【解答】解：由得，切点为，，

故切线方程为，即①，

设的切点为，而，，

故切线方程为，即②，

由已知，①②是同一方程，故，解得．

故答案为：1．

16．（5分）已知函数在其图象上任意一点，处的切线，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，设处坐标原点）的面积为，当时，取得最小值，则的值为 　　．

【解答】解：由，得，

，又，

在点，处的切线方程为，

取，可得，取，可得，

的面积为．

，

由，解得，即当时，取得最小值，

．

故答案为：．

四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知是定义在上的偶函数，当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解关于的不等式．

【解答】解：（1）当时，则，

所以，

又为偶函数，

所以；

（2）当时，恒成立，

所以在，单调递增，

又为偶函数，

所以等价于，

则，两边平方，整理得，

解得或，

所以不等式的解集为．

18．（12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）讨论方程实数解的个数．

【解答】解：（1）因为函数，

所以，

令，解得或，

列表如下：

故当时，有极大值，且极大值为，

当时，有极小值，且极小值为；

（2）方程的实数解的个数，即为函数的图象与直线的交点的个数，

当时，，当时，，

结合（1）中的结论，可知的大致图象如图所示，

结合图象可得，当或时，方程的解为1个；

当或时，方程的解为2个；

当时，方程的解为3个．

19．（12分）已知函数，．

（1）若的定义域为，求的取值范围；

（2）若不等式有解，求的取值范围．

【解答】解：（1）要使的定义域为，只需在上恒成立，

令，只需在上恒成立，

①当，即时，在单增，恒有，

因此，对任意均成立；

②当，即时，在单减，单增，只需，

即，解得，所以．

综上，的取值范围为；

（2）若不等式有解，即有解，

可得有解，

因为当时，，

所以对任意实数，总存在，使得，即有解，

由有解，则有解，

令，，，

显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

所以当时，取最大值，

所以，即．

综上所述，的取值范围为．

20．（12分）如图，将一张长为，宽为的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为，所得容器的体积为．

（1）将表示为的函数；

（2）为何值时，容积最大？求出最大容积．

【解答】解：（1）由题意可知，长方体容器的长为，宽为，高为，

所以容器的体积，

令，，，可得，

故函数，；

（2）由（1）可得，，

令，解得，（舍去），

将，，的情况列表如下：

因此，是函数的极大值点，相应的极大值为，

同时也是在区间上的最大值，

答：截去的小正方形边长为时，容器的容积最大，最大容积．

21．（12分）已知函数．

（1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围；

（2）若存在正数，，满足，证明：．

【解答】（1）解：的定义域为，

，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

因此，当时，（1），

因为的图象恒在轴上方，

所以恒成立

则，即，解得，

所以的取值范围为；

（2）证明：由（1）及的单调性可知，，

构造函数，，

则，

当时，，，即，

所以在区间上单调递减，

因为，所以（1），即，

由题意，所以，

因为在，且单调递增，，，

所以，即．

22．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）令，对任意，，求的取值范围．

【解答】解：（1），

令，得；令，得．

所以的单调增区间为，单调减区间为．

（2）由题意知．

于是，

由（1）知，在，上，单调递减，且，

当时，，函数在，上单调递减，取，显然，

但（e），因此，不合题意．

当时，结合（1）中的单调性知，存在，得，

此时在上单调递减，在，上单调递增，所以，

解得，即；

当时，，函数在，上单调递增，（1），

解得，即；

综上所述，的取值范围．

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