2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数满足，则复数的虚部为　　
A． B． C． D．
2．（5分）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
3．（5分）在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有　　
A．12种 B．24种 C．64种 D．81种
4．（5分）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为　　

A．
B．
C．
D．
5．（5分）在一次年级数学竞赛中，高二班有的同学成绩优秀．已知高二班人数占该年级的，而年级数学优秀率为．现从该年级任意选取一位同学，如果此人成绩优秀，则他来自高二班的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知随机变量，，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行次射击，设击中目标的次数记为，已知且，则　　
A． B． C．1 D．2
8．（5分）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）对于式子，下列说法正确的有　　
A．它的展开式中第4项的系数等于135
B．它的展开式中第3项的二项式系数等于20
C．它的展开式中所有项的系数之和等于64
D．它的展开式中第一项的系数等于
10．（5分）在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，我国庄严宣告：脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫！下图表示的是中国农村每年减少贫困人口的数量，以下说法正确的是

A．2014年与2016年农村贫困人口基本持平
B．年农村贫困人口逐年减少
C．年农村贫困人口平均每年减少了1300万以上
D．2012年底农村贫困人口还有9000万以上
11．（5分）2021年5月18日，《佛山市第七次全国人口普查公报》发布．公报显示，佛山市常住人口为9498863人．为了进一步分析数据特征，某数学兴趣小组先将近五次人口普查数据作出散点图（横坐标为人口普查的序号，第三次普查记为1，，第七次普查记为5，纵坐标为当次人口普查佛山市人口数），再利用不同的函数模型作出回归分析，如下图，以下说法正确的是　　

A．佛山市人口数与普查序号呈正相关关系
B．散点的分布呈现出很弱的线性相关特征
C．回归方程2的拟合效果更好
D．应用回归方程1可以预测第八次人口普查时佛山市人口会超过1400万
12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　
A．函数存在极大值和极小值
B．函数不存在最小值与最大值
C．当，时，函数最大值为
D．当时，函数最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）复数、在复平面内的对应点分别为、，已知点与关于轴对称，且，则　　．
14．（5分）在6张奖券中有张有奖、其余无奖，从中任取2张，至少有1张有奖的概率为，则　　．
15．（5分）某田径队6位队员的体测成绩如下：甲78，乙86，丙64，丁77，戊83，己93．现从中挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为：
①丁一定要参加；
②3人的体测成绩总分要超过240分（不含240分）；
③3人的体测成绩方差要小．
那么参加集体赛3人名单为 　　．
16．（5分）已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为 　　；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 　　．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，
（Ⅰ）若在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数；
（Ⅱ）若，求实数的值．
18．（12分）已知函数，，且图像经过点．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，求的最大值和最小值．
19．（12分）《中国居民营养与慢性病状况报告年》报告显示，中国成人平均身高继续增长，居民超重、肥胖问题不断凸显，各年龄组居民超重率、肥胖率继续上升，岁居民超重率和肥胖率分别为和．不健康的生活方式对超重、肥胖产生的影响是巨大的，超重、肥胖的控制必须坚持预防为主．
（Ⅰ）根据以上数据，从岁居民中任选2人，求肥胖人数的分布列；
（Ⅱ）研究人员在某小区随机调查了男性居民45人，女性居民55人，其中男性超重人数有25人，女性超重人数为15人，请列出列联表，并判定是否有的把握认为超重与性别有关．
参考公式与数据：，其中．

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20．（12分）某工厂为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件进行检测，质量指标，2，分值如下：38，70，50，43，48，53，49，57，60，，并计算出样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．生产合同中规定：质量指标在63分以上的产品为优质品，一批产品中优质品的占比不得低于．
（Ⅰ）从这10件样品中任意抽取2件，求恰有1件优质品的概率；
（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样品平均数，近似为样本方差，那么这批产品中优质品的占比是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若，则，．
21．（12分）某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数，的分布列如表：

3
4
5
6


2
4
6










（Ⅰ）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率；
（Ⅱ）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店，那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由．
22．（12分）已知函数为常数），函数，
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）当，时，已知方程有且只有两个不相等的实数根，且；方程有且只有两个不相等的实数根，，且．求证：．

2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数满足，则复数的虚部为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
所以复数的虚部为．
故选：．
2．（5分）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．
3．（5分）在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有　　
A．12种 B．24种 C．64种 D．81种
【解答】解：根据题意，第一天值班可以安排4名职员中任意一人，有4种排班方法，
同理：第二天和第三天也有4种排班方法，
则有种不同的排班方法；
故选：．
4．（5分）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为　　

A．
B．
C．
D．
【解答】解：由的图象可知，函数先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，
由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，
故符合题意的只有选项．
故选：．
5．（5分）在一次年级数学竞赛中，高二班有的同学成绩优秀．已知高二班人数占该年级的，而年级数学优秀率为．现从该年级任意选取一位同学，如果此人成绩优秀，则他来自高二班的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设该年级的人数为人，则高二班的人数为，
所以高二班的成绩优秀的人数为，
而该年级的成绩优秀的人数为，
所以所求事件的概率为，
故选：．
6．（5分）已知随机变量，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
解得，
所以，
故．
故选：．
7．（5分）某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行次射击，设击中目标的次数记为，已知且，则　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：某射手每次射击击中目标的概率是，
由题意可得，
因为且，
所以，且，
解得，，
所以．
故选：．
8．（5分）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数有三个零点，
所以方程有三个根，
即方程有三个根，
令，，
当时，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
（e），
当时，，
当时，，
，
所以在上，，单调递减，
作出的图象：

所以由图象可得，
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）对于式子，下列说法正确的有　　
A．它的展开式中第4项的系数等于135
B．它的展开式中第3项的二项式系数等于20
C．它的展开式中所有项的系数之和等于64
D．它的展开式中第一项的系数等于
【解答】解：对于式子，它的第四项为，故错误；
它的展开式中第3项的二项式系数等于，故错误；
令，可得它的展开式中所有项的系数之和等64，故正确；
它的展开式中第一项的系数等于，故正确，
故选：．
10．（5分）在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，我国庄严宣告：脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫！下图表示的是中国农村每年减少贫困人口的数量，以下说法正确的是

A．2014年与2016年农村贫困人口基本持平
B．年农村贫困人口逐年减少
C．年农村贫困人口平均每年减少了1300万以上
D．2012年底农村贫困人口还有9000万以上
【解答】解：选项：图中曲线是表示减贫人数，因为每年贫困人数都在减少，故不可能持平，故错误，
选项：由图可知年我国农村贫困人口是逐年减少，故正确，
选项：每年减少，故正确，
选项年底农村贫困人口还有，故正确，
故选：．
11．（5分）2021年5月18日，《佛山市第七次全国人口普查公报》发布．公报显示，佛山市常住人口为9498863人．为了进一步分析数据特征，某数学兴趣小组先将近五次人口普查数据作出散点图（横坐标为人口普查的序号，第三次普查记为1，，第七次普查记为5，纵坐标为当次人口普查佛山市人口数），再利用不同的函数模型作出回归分析，如下图，以下说法正确的是　　

A．佛山市人口数与普查序号呈正相关关系
B．散点的分布呈现出很弱的线性相关特征
C．回归方程2的拟合效果更好
D．应用回归方程1可以预测第八次人口普查时佛山市人口会超过1400万
【解答】解：散点图中点的分布从左下方至右上方，故呈正相关关系，故选项说法正确；
利用模型1，样本点基本分布在直线的两侧，故具有较强的线性相关特征，故选项说法错误；
因为，所以回归方程2的拟合效果更好，故选项说法正确；
利用模型1，当时，，故选项说法错误；
故选：．
12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　
A．函数存在极大值和极小值
B．函数不存在最小值与最大值
C．当，时，函数最大值为
D．当时，函数最小值为
【解答】解：，，
当时，，在上单调递减，
当，，时，，在，上单调递增，
当时，取到极小值，当时取到极大值，故正确；
又当时，；时，，
故函数不存在最小值与最大值，故正确；
（1），（3），
又在，，，上单调递增，在单调递减，
当，时，函数最大值为7，故错误；
，（2），故错误；
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）复数、在复平面内的对应点分别为、，已知点与关于轴对称，且，则　　．
【解答】解：，
，
点与关于轴对称，
，
．
故答案为：．
14．（5分）在6张奖券中有张有奖、其余无奖，从中任取2张，至少有1张有奖的概率为，则　3　．
【解答】解：由已知可得无奖的有张，
因为从中任取2张，至少有1张有奖的概率为，
则没有有奖的概率为，即，
解得，
故答案为：3．
15．（5分）某田径队6位队员的体测成绩如下：甲78，乙86，丙64，丁77，戊83，己93．现从中挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为：
①丁一定要参加；
②3人的体测成绩总分要超过240分（不含240分）；
③3人的体测成绩方差要小．
那么参加集体赛3人名单为 　乙、丁、戊　．
【解答】解：因为丁77一定要参加，
又3人的体测成绩总分要超过240分，
所以另外两人的成绩之和要超过163，且3人的体测成绩方差要小，
故另外两人选择戊83，乙86．
故答案为：乙、丁、戊．
16．（5分）已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为 　　；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 　　．
【解答】解：由题意，，设，
因为函数的图像经过点，
则，即，
故；
对任意一个负数，不等式恒成立，
即对恒成立，
令，则，
，
令，解得，
当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
又，，
故存在，使得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为中，，，
故，
所以的最大值，
当时，，
又整数，
所以的最小值为2．
故答案为：；2．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，
（Ⅰ）若在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数；
（Ⅱ）若，求实数的值．
【解答】解：（1）由题意，得且，
解得，；
（2），或，
解得或3或1．
18．（12分）已知函数，，且图像经过点．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，求的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数，，且图像经过点，
所以（1），则，
故，则，
令，解得或，
令，解得，
故函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在，上单调递增，上单调递减，，上单调递增，
又，，（2），（4），
故函数在，上的最大值，最小值．
19．（12分）《中国居民营养与慢性病状况报告年》报告显示，中国成人平均身高继续增长，居民超重、肥胖问题不断凸显，各年龄组居民超重率、肥胖率继续上升，岁居民超重率和肥胖率分别为和．不健康的生活方式对超重、肥胖产生的影响是巨大的，超重、肥胖的控制必须坚持预防为主．
（Ⅰ）根据以上数据，从岁居民中任选2人，求肥胖人数的分布列；
（Ⅱ）研究人员在某小区随机调查了男性居民45人，女性居民55人，其中男性超重人数有25人，女性超重人数为15人，请列出列联表，并判定是否有的把握认为超重与性别有关．
参考公式与数据：，其中．

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解答】解：（Ⅰ）设肥胖人数为，则，
所以，，1，2，
故的分布列为：

0
1
2




（Ⅱ）由题意，列联表如下：

男
女
合计
超重
25
15
40
不超重
20
40
60
合计
45
55
100
由表中的数据，可得，
所以有的把握认为超重与性别有关．
20．（12分）某工厂为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件进行检测，质量指标，2，分值如下：38，70，50，43，48，53，49，57，60，，并计算出样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．生产合同中规定：质量指标在63分以上的产品为优质品，一批产品中优质品的占比不得低于．
（Ⅰ）从这10件样品中任意抽取2件，求恰有1件优质品的概率；
（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样品平均数，近似为样本方差，那么这批产品中优质品的占比是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若，则，．
【解答】解：（Ⅰ）因为样本质量指标平均数为53.7，所以，
因为质量指标在63分以上的产品为优质品，
所以10件产品中优质品有2件，
故这10件样品中任意抽取2件，恰有1件优质品的概率为；
（Ⅱ）记这种产品的质量指标为，由题意可知，
，，
则，
因为，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的需要．
21．（12分）某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数，的分布列如表：

3
4
5
6


2
4
6










（Ⅰ）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率；
（Ⅱ）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店，那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）店在3天共卖出15个蛋糕，共有三种情况：
三天分别卖5，5，5个，4，5，6个，3，6，6个，
所以所求概率为；
（Ⅱ）由题意可知，
因为店店均是最多卖6个蛋糕，则有三种情况：①店4个，店6个；②店5个，店5个；③店6个，店4个．
①若分配给店4个，店6个，

3
4





2
4
6




所以；
②若分配店5个，店5个，

3
4
5






2
4
5




所以；
③若分配给店6个，店4个，

3
4
5
6







2
4



所以．

所以在市场需求不变的情况下，每店分配5个蛋糕．
22．（12分）已知函数为常数），函数，
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）当，时，已知方程有且只有两个不相等的实数根，且；方程有且只有两个不相等的实数根，，且．求证：．
【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，函数的定义域为，
，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）证明：当时，，则，
故；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，方程与的根互为倒数，
又因为方程有且只有两个不相等的实数根，且，
方程有且只有两个不相等的实数根，，且，
所以，可得，，
所以，
故要证，只需证明，
要证，只需证，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以只需证，
进而只需证，
因为，只需证明，
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，又（1），
所以当时，，
则，即，
所以，即，
故．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:45:03；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604