2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，则集合中的元素个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

2．（5分）已知函数，则　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）命题“是奇函数”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．（5分）如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

5．（5分）用，，表示，，三个数中的最小值，设，，  ，则的最大值为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

6．（5分）函数定义域为，且，（2），若函数的图象关于对称，且（1），则　　

A．3 B． C．6 D．

7．（5分）函数是定义在上的单调递增函数，的导函数存在且满足，令（1），（2），（4），则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

8．（5分）若对，，有，函数在区间，上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为　　

A．4 B．8 C．12 D．16

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）若，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）以下关于函数，的四个命题中，正确的有　　

A．若，则的图象关于直线对称 

B．若，则的图象关于对称 

C．若为偶函数，且，则的图象关于直线对称 

D．若，则是周期函数，周期为2

11．（5分）已知正数，满足，若，则的值可以是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

12．（5分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．下列判断正确的有　　

A． 

B． 

C． 

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第15题第一空2分，第二空3分．

13．（5分）函数的定义域为 　　．

14．（5分）如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．

15．（5分）根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　　．（精确到（参考数据：，，

16．（5分）设函数，若方程在定义域上有解，则实数取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分、其他小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）讨论的单调性．

19．（12分）为给“中国共产党建党100周年”献礼，某军工科研所加大了科研力度，对某类型榴弹炮进行了改良．如图，平面直角坐标系中，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度1千米；把改良后的榴弹炮置于坐标原点，则炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（Ⅰ）求证：该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米；

（Ⅱ）求该类型榴弹炮的最大射程．

20．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；

（Ⅱ）若过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．

21．（12分）已知函数，，为常数）．

（Ⅰ）若，，求的极值；

（Ⅱ）若的所有极值之和为0，求的极小值点．

22．（12分）设函数．

（Ⅰ）若，求在区间，的最小值；

（Ⅱ）若，对于，恒成立，求的取值范围．

2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，则集合中的元素个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：，，

是4的因数，即，2，1，，，

故，1，2，7，5，4，

故集合中的元素个数为6，

故选：．

2．（5分）已知函数，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，

所以，且

所以

故选：．

3．（5分）命题“是奇函数”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题“是奇函数”的否定，，，

故选：．

4．（5分）如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：弧弧弧弧，

弧弧，

质点自点开始沿弧做匀速运动时，所用的时间比为；

又在水平方向上向右的速度为正，

速度在弧段为负，弧段为正，弧段先正后负，弧段先负后正，弧段为正，弧段为负；

满足条件的函数图象是．

故选：．

5．（5分）用，，表示，，三个数中的最小值，设，，  ，则的最大值为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：画出，，的图象，

观察图象可知，当时，，

当时，，

当时，，

的最大值在时取得为7，

故选：．

6．（5分）函数定义域为，且，（2），若函数的图象关于对称，且（1），则　　

A．3 B． C．6 D．

【解答】解：由，（2），

令代入上式可得（2）①，

又函数的图象关于对称，故的图象关于轴对称，

即函数为偶函数，所以（2），结合①式，解得（2），

故恒成立，故，所以（1）．

故选：．

7．（5分）函数是定义在上的单调递增函数，的导函数存在且满足，令（1），（2），（4），则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：为上的单调递增函数，

，

又，

，

设，则为上的单调增函数，

，，

．

为上的单调递增函数，

，得（1）（4），（2）（4），（1）（2），

即，，，

，

故选：．

8．（5分）若对，，有，函数在区间，上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为　　

A．4 B．8 C．12 D．16

【解答】解：当时，，整理得，

当时，，所以，

令，

所以，故函数为奇函数，

设，故故为奇函数，

则该函数的最大值和最小值互为相反数，

所以，

所以函数函数在区间，上存在的最大值和最小值之和为8．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）若，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知若可得：，故错误，

则，错误，而，，所以，正确，

因为，所以，正确，

故选：．

10．（5分）以下关于函数，的四个命题中，正确的有　　

A．若，则的图象关于直线对称 

B．若，则的图象关于对称 

C．若为偶函数，且，则的图象关于直线对称 

D．若，则是周期函数，周期为2

【解答】解：对于：函数，若，则的图象关于直线对称，故正确；

对于：若，则的图象关于点，即关于点对称，故正确；

对于：由于函数为偶函数，故，故函数关于对称，故正确；

对于：若时，则是周期函数，周期为4，故错误；

故选：．

11．（5分）已知正数，满足，若，则的值可以是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：因为，

所以，

故，

则，

又，，

所以，

当时，，此时，不符合题意，

若，则的值可以是1，3，4．

故选：．

12．（5分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．下列判断正确的有　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：对于，，故选项正确；

对于，，故选项正确；

对于，

，故选项错误；

对于，，

，

故选项正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第15题第一空2分，第二空3分．

13．（5分）函数的定义域为 　，　．

【解答】解：要使有意义，则，解得，

的定义域为，．

故答案为：，．

14．（5分）如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．

【解答】解：设点，则，，，

则，解得，，

故答案为：．

15．（5分）根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　16.4　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　　．（精确到（参考数据：，，

【解答】解：因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为，

所以30年后我国人口总数约为；

设年平均增长率为，

由题意得：，

则，

两边取对数得，

即，

所以，

解得，

所以人口年平均增长率应不低于，

故答案为：16.4，1.2．

16．（5分）设函数，若方程在定义域上有解，则实数取值范围是 　，　．

【解答】解：由得，，

即，

令，，则，故方程在，上有解，

当，即时，△，

故方程在，上无解，

当，即时，只需使，

解得，．

综上所述，实数取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分、其他小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【解答】解：，．

（1）若，则，，

，；

（2）根据题意得，

当时成立，此时△，

解得：．

显然，

当时，成立，

当时，，，由得，解得，

当时，，，由得，解得，

综上，实数的取值范围是，．

18．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）讨论的单调性．

【解答】解：（Ⅰ），

若在区间上单调递增，

则在上，恒成立，

所以在上，恒成立，

所以在上，恒成立，

所以在上，恒成立，

所以，

所以的取值范围为，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当时，，在上单调递增，

当时，在，上，，单调递增，

在上，，单调递减，

当时，在，上，，单调递增，

在上，，单调递减．

19．（12分）为给“中国共产党建党100周年”献礼，某军工科研所加大了科研力度，对某类型榴弹炮进行了改良．如图，平面直角坐标系中，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度1千米；把改良后的榴弹炮置于坐标原点，则炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（Ⅰ）求证：该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米；

（Ⅱ）求该类型榴弹炮的最大射程．

【解答】解：（Ⅰ）方法一：二次函数性质

因为，令，解得，

即函数的定义域为，

二次函数的对称轴为，

所以，

该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米，得证．

方法二：导数

证明：由题意且定义域为，

令，则，

时，时，，

极大值也是最大值且，故，

该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米，得证．

（Ⅱ）由题意，令，则有或，

最大射程为，当且仅当时等号成立，

该类型榴弹炮的最大射程为50千米．

20．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；

（Ⅱ）若过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．

【解答】解：（Ⅰ）若，则，

，

曲线在点，（2）处的切线的斜率（2），

又（2），

在点，（2）处的切线方程为：，

整理，得．

（Ⅱ），

过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，

令切点是，，

则切线方程为，

由切线过点，所以有，

整理得，

关于的方程有两个不等实根，

令，，

令，得，或，

，，

即，

解得，即为所求．

21．（12分）已知函数，，为常数）．

（Ⅰ）若，，求的极值；

（Ⅱ）若的所有极值之和为0，求的极小值点．

【解答】解：（Ⅰ）若，，则，

，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，．

（Ⅱ），则，

令，得，

△，

所以方程有两个根，不妨设为，，

所以，，

所以极值之和为

，

所以为，所以，

所以在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以的极小值点为．

22．（12分）设函数．

（Ⅰ）若，求在区间，的最小值；

（Ⅱ）若，对于，恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，

①当时，，在，上单调递减，

所以在区间，上的最小值为（2）

②当时，令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，

此时在上单调递减，在 上单调递增，

所以在区间，上的最小值为．

当，即时，

此时在，上单调递减，

所以在区间，上的最小值为（2）．

综上所述，当时，在区间，上的最小值为；

当时，在区间，上的最小值为．

（Ⅱ），则，

令，，

又（1），结合题意有（1），解得．

下面证明当时满足题意，

先证明当时，恒成立，

因为，

令，

，

所以在上单调递增，所以（1），

故 在上恒成立．命题得证，

即当时，恒成立，

所以在上单调递增，

所以，（1）．

综上所述，的取值范围为，．

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