2022年重庆市中考数学试卷（A卷）（含解析）

2022年重庆市中考数学试卷（A卷）

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，直线，被直线所截，，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的周长为，则的周长是

A.  B.  C.  D.

6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为

A.  B.  C.  D.

7. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是

A.  B.  C.  D.

12. 在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”例如：，，．
    下列说法：
    至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
    不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
    所有可能的“加算操作”共有种不同运算结果．
    其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算：______．
14. 有三张完全一样正面分别写有字母，，的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是______．
15. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，若，，则图中阴影部分的面积为______结果不取近似值

16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为：：，需香樟数量之比为：：，并且甲、乙两山需红枫数量之比为：在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
    证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为只保留作图痕迹．
    在和中，
    ，
    ．
    又，
    ______
    ，
    ______
    又______
    ≌．
    同理可得______
    ．

19. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据单位：，并进行整理、描述和分析除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
    台型扫地机器人的除尘量：，，，，，，，，，．
    台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，
    抽取的、型扫地机器人除尘量统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
这个月公司可生产型扫地机器人共台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；
根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由写出一条理由即可．

20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
    求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
    根据函数图象，直接写出不等式的解集；
    若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．

21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍．
    若乙先骑行千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
    若乙先骑行分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
22. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
    求步道的长度精确到个位；
    点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点请计算说明他走哪一条路较近？
    参考数据：，

23. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
    例如：，，是“勾股和数”；
    又如：，，，不是“勾股和数”．
    判断，是否是“勾股和数”，并说明理由；
    一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均是整数时，求出所有满足条件的．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
    求该抛物线的函数表达式；
    点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
    在中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

25. 如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．
    如图，若，且，，求的度数；
    如图，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
    若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：观察图象，当时，，
这只蝴蝶飞行的最高高度约为，
故选：．
根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：与位似，相似比为：．
：：，
的周长为，
的周长是，
故选：．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
 

6.【答案】

【解析】解：由题知，第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
，
第个图案中有个正方形，
第个图案中正方形的个数为，
故选：．
根据图形的变化规律得出第个图形中有个正方形即可．
本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
 

8.【答案】

【解析】解：设该快递店揽件日平均增长率为，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
平分，四边形是正方形，
，，
，
，
故选：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出的度数．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，
是的切线，为切点，
，
，
和是半径，
，
，
，
∽，，
：：，
，
即，
设，
，
，，，
，解得负值舍去，
，，
，
，
故选：．
连接，则，由勾股定理可知，，由和是半径，所以，所以∽，，可得，所以，设，则，，，所以，求出的值，即可求出和的长，进而求得的长．
本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出∽是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
解分式方程得：，
是负整数且，
是负整数且，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
解不等式组得出，结合题意得出，解分式方程得出，结合题意得出或，进而得出所有满足条件的整数的值之和是，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，与原式相等，
故正确；
在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，无法改变，的符号，
故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
故正确；
在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，加括号后只有加减两种运算，
种，
所有可能的加括号的方法最多能得到种不同的结果．
故选：．
根据“加算操作”的定义可知，当只给加括号时，和原式相等；因为不改变，的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，因为，，中只有加减两种运算，求出即可．
本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意列表如下：

共有种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有种情况，
所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为，
故答案为：．
根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接交于点，则，
四边形是菱形，，
，，
在中，，，
，，
，，
，


，
故答案为：．
根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形的面积，由可得答案．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
 

16.【答案】

【解析】解：根据题意，如表格所设：

甲、乙两山需红枫数量之比为：，
，
，
故数量可如下表：

所以香樟的总量是，红枫的总量是，
设香樟的单价为，红枫的单价为，
由题意得，
，
，
，
设，，
，
故答案为：．
分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量只含一个字母，进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

．

【解析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】，  ，  ，  ≌，

【解析】解：由题知，在和中，
，
．
又，
，
，
，
又，
≌．
同理可得≌，
，
故答案为：，，，≌．
根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：在，，，，，，，，，中，出现次数最多的是，
众数，
台型扫地机器人中“良好”等级有台，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第个和第个数都是，
，
故答案为：，，；
该月型扫地机器人“优秀”等级的台数台；
型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是的情况下，型号的扫地机器人除尘量的众数型号的扫地机器人除尘量的众数理由不唯一．
根据众数、中位数概念可求出、的值，由型扫地机器人中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
用乘即可得答案；
比较型、型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．
本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，，
解得，，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不等式的解集为：或；
由题意作图如下：

由图知中边上的高为，，
．

【解析】根据反比例函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
根据对称求出点坐标，根据点、点和点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
 

21.【答案】解：设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
．
答：甲骑行的速度为千米时．
设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度为千米时．

【解析】设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，利用路程速度时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入中即可求出甲骑行的速度；
设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，利用时间路程速度，结合乙比甲多用分钟，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入中即可求出甲骑行的速度．
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．
 

22.【答案】解：过作于，如图：

由已知可得四边形是矩形，
米，
点在点的北偏东，即，
是等腰直角三角形，
米；
由知是等腰直角三角形，米，
米，
点在点的北偏东，即，
，
米，
米，米，
米，
经过点到达点路程为米，
米，
米，
米，
经过点到达点路程为米，
，
经过点到达点较近．

【解析】过作于，由已知可得四边形是矩形，则米，根据点在点的北偏东，即得米；
由是等腰直角三角形，米，可得米，而，即得米，米，又米，即可得经过点到达点路程为米，米，从而可得经过点到达点路程为米，即可得答案．
本题考查解直角三角形方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
 

23.【答案】解：，，
不是“勾股和数”，
，
是“勾股和数”；
为“勾股和数”，
，
，
为整数，为整数，
，
为整数，
为的倍数，
，或，，此时或；
，或，，此时或．

【解析】由“勾股和数”的定义可直接判断；
由题意可知，，且，由为整数，可知，再由为整数，可得为的倍数，由此可得出的值．
本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
 

24.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设，则，
在中，令得，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，
；
答：的最大值为，此时点的坐标是；
将抛物线向左平移个单位得抛物线，
新抛物线对称轴是直线，
在中，令得，
，
将向左平移个单位得，
设，，
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得，
，
；
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得，
，
；
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得，
，
；
综上所述，的坐标为：或或

【解析】用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
设直线解析式为，把，代入可得直线解析式为，设，则，可得，，则，利用二次函数性质可得的最大值为，此时点的坐标是；
将抛物线向左平移个单位得抛物线，对称轴是直线，即可得，，设，，分三种情况：当、为对角线时，、的中点重合，可得；当、为对角线时，、的中点重合，可得；当、为对角线时，、的中点重合，可得
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
 

25.【答案】解：如图中，在射线上取一点，使得，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：如图中，，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
如图中，延长到，使得，连接，

，，，
≌，
，
延长到，使得，则是等边三角形，
，
，
，
≌，
，，
是等边三角形，
．

由可知，
点的运动轨迹为红色圆弧如图中，
，，三点共线时，的值最小，
此时，
，
，
，
如图中，过点作于点，设交题意点，设，，，，
，

．
 

【解析】如图中，在射线上取一点，使得，证明≌，推出，，再证明，可得结论；
结论：首先证明如图中，延长到，使得，连接，证明≌，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明≌，推出，，推出是等边三角形，可得结论；
由可知，推出点的运动轨迹为红色圆弧如图中，推出，，三点共线时，的值最小，此时，如图中，过点作于点，设，，，，由等积法求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．