2021长春第二实验中学高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

2020-2021学年度下学期期末考试

高二数学（文）试题

                             2021年7月

本试卷分客观题和主观题两部分共23题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷  客观题

一、单选题（本题共12道小题，每小题5分）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若p是真命题，q是假命题，则（    ）

A．p且q是真命题      B．p或q是假命题     C．﹁p是真命题     D．﹁q是真命题

3．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（    ）

A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

4．复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

6．函数的定义域是（    ）

A．    B．     C．      D．

7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，若（1），则等于（    ）

A．              B．              C．               D．

9．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．②

C．③ D．④

10．函数y＝x＋(－2<x<0)的极大值为（    ）

A．－2              B．2               C．－            D．不存在

11．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知实数，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷  主观题

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分）

13．设复数，则的共轭复数为__________．

14． ①由变量和的数据得到其回归直线方程，则一定经过点；

②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；

④在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.其中真命题的序号是__               ．

15．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．

 16．已知抛物线，过第一象限的点作抛物线的切线，则直线与轴的交点的坐标为________．

三、解答题（17题到21题为必答题每题12分，22、23题为选做题，每题10分，只选其中一道作答）

17．已知的一个极值点为2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

 18．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020—2021年度棉花产量约万吨，总需求量约万吨，年度缺口约万吨．其中，新疆棉花产量万吨，占国内产量比重约，占国内消费比重约．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的、两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从、两地的棉花中各随机抽取根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．

（1）由以上统计数据，填写下面列联表；

（2）判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．

附：临界值表：

19．已知函数是上的奇函数，当时，．

（1）当时，求的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

20．芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下：

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

（2）根据折线图的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到整数部分）；

（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.

附：样本的相关系数，线性回归方程中的系数，，当时，两个变量间高度相关.

参考数据：，，.

21．已知（且）．

（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；

（2）当时，求证：．

【22、23题为选做题，每题10分，只选其中一道作答，在答题卡上标明选做题号】

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=4.

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若A(ρ1，α)是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值.

23．已知函数.

（1）解不等式.

（2）已知，，的最大值，，求的最小值.

2020-2021学年度下学期期末考试

高二数学（文）试题答案

         2021年7月

一、选择题

二、填空题

13．      14．①②        15．32     16．

三、解答题

 17．（1）在区间上单调递减，在区间，上单调递增；（2）最小值为，最大值为13.

【分析】

（1）根据极值点先求出的值,再求出,令或,得到函数的单调区间；

（2）求出函数在上的单调性，根据极值和端点值的比较可得到最值.

【详解】

（1）因为，所以，

因为的一个极值点为2，

所以，解得，

此时，，

令，得或，

令，得；令，得或，

故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.

（2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数，

所以是函数的极大值点，又，，，

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

18．（1）填表见解析；（2）能．

【分析】

（1）由频数分布表直接读取数据，填入列联表即可；

（2）由列联表计算，所得数值与判断即可

【详解】

（1）根据已知数据得到如下列联表：

（2）根据列联表中的数据，可得，，能认为在犯错误概率不超过前提下纤维长度与土壤环境有关系．

19．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据题意，当时，，求出的表达式，结合函数的奇偶性的解析式，即可得答案；

（2）根据题意，分析函数在上的单调性，则原不等式等价于，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】

（1）根据题意，当时，，则，

又由是上的奇函数，则，

故；

（2）当时，，则在上为增函数，

又由是上的奇函数，则在上也为增函数，

由于函数在处连续，故在上为增函数，

由可得，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

20．（1）答案见解析；（2）；（3）80亿元.

【分析】

（1）计算出即可得结果；

（2）计算出系数，，即可得关于的线性回归方程；

（3）将代入线性回归方程即可.

【详解】

（1）

，

所以与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合.

（2）因为，

所以，

故关于的线性回归方程为.

（3）当时，亿元，

故当亿元时，公司的实际收益的预测值为亿元.

21．（1）；2；（2）证明见解析．

【分析】

（1）求导并根据即可得，检验满足题意，再根据导函数求上的单调区间，即可求解；

（2）令，进而证明函数的最小值大于0即可.

【详解】

（1）函数的定义域为，，，

所以（经验证满足题意）

所以

在上，单调递减，在上，单调递增，

所以时取最小值为

所以在的最小值为2；

（2）当时，令，

，令，

因为恒成立，

所以在上单调递增，，

由零点存在性定理可得存在，

使得，即，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，，

由二次函数性质可得，

所以，即，得证．

【点睛】

本题考查导数求函数的最值，证明不等式问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为求函数的最小值问题，其中包含了隐零点的问题求解.

22．（1）C的极坐标方程为，l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；（2）.

【分析】

（1）先把曲线C的参数方程转化为直角坐标方程，再把直角坐标方程转化为极坐标方程.利用极坐标直角坐标转化的公式把直线l的极坐标方程化为极坐标方程；

（2）由题得，，再对化简求解.

【详解】

解：（1）曲线C的参数方程是(φ为参数)，转换为直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为.

直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=4，根据转换为直角坐标方程为x+y﹣4=0.

（2）A(ρ1，α)是曲线C上一点，

所以，

整理得：，

点是直线l上一点，

所以，

，

所以

当，取得最大值为

【点睛】

方法点睛：最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

23．（1）或；（2）最小值为.

【分析】

（1）分，和三种情况解不等式；

（2）先利用绝对值三角不等式求出的最大值为，从而得，所以，化简后利用基本不等式求解即可

【详解】

解：（1）函数，

当时，不等式即为，解得，所以；

当时，不等式即为，解得，所以；

当时，不等式即为，解得，所以.

综上所述，不等式的解集为或；

（2），

所以的最大值为，

则，

故

，

当且仅当且，即时取等号，

故的最小值为.