2021会宁县一中高二下学期期末考试数学试题（理科）含答案

会宁一中2020-2021学年第二学期期末高二（理科）数学试卷

命题人:高宏         审题人：蔺硕

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．在点处的切线与该曲线及轴围成的封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.5 B．0.3 C．0.4 D．0.2

5．函数在上的最小值为（    ）

A． B．-1 C．0 D．

6．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（    ）

A．               B．

C．      D．

7．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．等差数列､前项和分别为与，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

9．设，，随机变量X的分布列是（    ）

则方差（    ）

A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关

C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关

10．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．如果，那么当X，Y变化时，使P(X=xk)=P(Y=yk)成立的(xk，yk)的个数为（    ）

A．10 B．20 C．21 D．0

12．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．在的二项展开式中，的系数是__________．

14．已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.

15．为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.

16．函数在上的最大值是______.

三、解答题（共70分）

17．(本题10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程；

（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值.

18．(本题12分)已知的面积是，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求A；

（2）若，求的周长.

19．(本题12分)2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立.

（1）求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；

（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，求的分布列及小明闯关成功的概率.

20．(本题12分)已知函数，且和是的两根.

（1），的值；

（2）的单调区间.

21．(本题12分)某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对40名七年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示(平均每天喝以上为常喝，体重超过为肥胖.单位：人)

（1）将列联表补充完整，并回答能否有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关？

（2）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的8名同学中，有5名男同学，3名女同学.现从这5名男同学和3名女同学中选5人进行家访，求被选中的男生人数的分布列和期望.

参考公式及数据：，.

22．(本题12分)已知函数

（1）若对任意恒成立，求的最大值；

（2）若，求在上的极值点的个数.

参考答案

1．【答案】B

【分析】

根据交集的概念和运算直接求解出的结果.

【详解】

解：∵，，

∴．

故选：B．

2.【答案】B

【详解】

，所以的虚部为.故选B.

3．A

【分析】

先根据导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分进行求解即可．

【详解】

解：的导数为，

可得在点处的切线的斜率为，

切线的方程为，即，

可得切线与该曲线及轴围成的封闭图形的面积为

故选：A

4．B

【分析】

利用正态分布密度函数的对称性将求 转化为，进而可得结果.

【详解】

如图，正态分布的密度函数示意图所示，

函数图象关于直线对称，所以，

则.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：应用正态分布密度函数图象的对称性是解决本题的关键.

5．B

【分析】

求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.

【详解】

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

故答案为：B.

6．D

【分析】

根据符号法则将不等式转化为两个不等式组，结合图象即可解出．

【详解】

原不等式等价于或，结合的图象可得，

或，解得或或．

故选：D．

7．D

【分析】

由题意分析：每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，基本事件总数，而甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求概率即可.

【详解】

由题意分析：

若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，

基本事件总数，

甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，

则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．

故选：D．

8．【答案】A

【分析】

由已知结合等差数列和的性质即可求解．

【详解】

因数列､都为等差数列，且，

故设，，

因此，，

由等差中项得，.

故选：A.

9．B

【分析】

根据方差公式求出方差，再判断即可.

【详解】

由分布列可得，

故.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式.

10．A

【分析】

设事件A为“30人中抽出一名女同学”，事件为“30人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式，即可得答案.

【详解】

设事件A为“30人中抽出一名女同学”，事件为“30人中抽出一名高三同学”，

则，，

所以，

故选：A.

11．C

【分析】

根据二项分布的特点，列举出(xk，yk)的所有情况，可得答案．

【详解】

根据二项分布的特点，知(xk，yk)分别为(0，20)，(1，19)，(2，18)，…，(20，0)，共21个，故选：C.

12．D

【分析】

作出函数的图象，根据对称性可以知道，结合图象可得到，进而得到，由对数函数的性质进一步判定,

从而根据在时,根据其单调性和已经得到的的范围得到结论.

【详解】

作出的大致图象如下：

由图可知，

令，得，

所以，则．

因为，所以，

又当时，单调递减，

所以，

故选:D．

【点睛】

本题考查利用函数的图象和性质求范围问题，涉及分段函数的图象，指数型函数图象和性质，对数函数的性质，属综合题，关键是数形结合思想的应用，函数的图象的对称性和单调性的应用.

13．

【分析】

求出展开式的通项，然后令的指数为2，求出的值，在代入通项中进行化简，即可求得结果.

【详解】

的展开式的通项公式为：，

令，解得，

所以的系数是.

故答案为：.

14．

【分析】

由偶函数易得关于对称求参数b，根据图象过点求参数c，写出解析式即可.

【详解】

∵是偶函数，有，

∴关于对称，即，故，又图像经过点，

∴，可得.

故.

故答案为：

15．0.42

【分析】

根据所给得分规则求出70分时立定跳远距离，再求出105分时的立定跳远距离，即可求解.

【详解】

该生成绩为70分时，其立定跳远距离为米，

该生成绩为105分时，其立定跳远距离为米，

所以增加了米，

故答案为：0.42

16．

【分析】

利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.

【详解】

在上，有，

知：在上单调递减，在和上单调递增，故最大值在极大值点或端点值处取得，极大值为，最大的端点值为，

明显地，，所以，在上的最大值是

故答案为：

17.【答案】（1）曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为（2）

【分析】

（1）将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．

（2）将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．

【详解】

（1）曲线的参数方程为（为参数），两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，

曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为

（2）把曲线的参数方程为（为参数），代入得，

设，是对应的参数，则，

所以

18.【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式、诱导公式计算可得；

（2）由，，得，再利用余弦定理求出，即可求出的周长．

【详解】

解：（1）因为，所以，

所以，即，因为，所以，

所以，所以

（2），，

，

，

，

的周长为：．

19．（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】

（1）利用至少有一个正确的概率为直接计算即可；

（2）先根据题意判断的取值，并计算各取值对应的概率，即得到分布列，再计算即得小明闯关成功的概率.

【详解】

解：（1）设事件为小明回答正确第一个问题，事件为小明回答正确第二个问题，则为小明回答错误第一个问题，为小明回答错误第二个问题，，.

所以小明回答第一，第二个问题，至少有一个正确的概率为：

；

（2）设事件为小明回答正确第三个问题，

由题知，小明在闯关赛中，回答题目正确的个数的取值为0，1，2，3，

所以，

，

，

.

故的分布列为：

所以小明闯关成功的概率为.

【点睛】

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列.

20．（1），；（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和.

【分析】

（1）求出，然后利用求解即可；

（2），然后求解即可.

【详解】

（1），

又和为的两根，

，

故有，

解方程组得，.

（2），，

，

令得，，，

当时，；

当时，，

的单调递增区间为和，单调递减区间为和.

21．（1）列联表答案见解析，没有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【详解】

（1）

由调查数据可知，的观测值

没有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关.

（2）被选中的男生人数的取值为2，3，4，5

则，，

，

分布列为

期望.

22．（1）；（2）在上的极值点的个数为1.

【分析】

（1）等价于对任意恒成立，设，求出即得解；

（2）设，求出函数在上的极值点的个数即得解.

【详解】

（1）

所以，

设，

所以，

因为，所以，

所以，所以函数在单调递减，

所以，所以.

（2）若， ，

设，

所以，

所以在上单调递增，在单调递减，

设，对称轴为，时，，

所以

当时，，当时，，

所以在，函数没有零点，，使得，

即，使得，且是唯一的，

所以在上的极值点的个数为1.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键有二，其一，是二次求导，得到在上单调递增，在单调递减，其二，是分析得到函数在上的极值点的个数.