2021皖豫联盟体高二下学期期末联考理科数学试题含答案

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皖豫联盟体2020-2021学年高二下学期期末联合调研

理科数学试卷

本试卷共4页，23题．全卷满分150分，考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项:

1．答题前，先将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．

4．考试结束后，请将答题卡上交．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知i为虚数单位，若，则z的共轭复数（    ）

A．      B．      C．      D．

3．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（    ）

A．3      B．5      C．7      D．8

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件     C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

6．如图，图象对应的函数解析式可能是（    ）

A．        B．

C．      D．

7．已知，a，b，成等差数列，，c，d，e，成等比数列，则（    ）

A．      B．      C．      D．或

8．令，则（    ）

A．      B．      C．      D．

9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（    ）

A．576      B．432      C．388      D．216

10．（    ）

A．      B．      C．8      D．

11．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．      B．      C．      D．

12．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．

13．已知单位向量满足，则__________．

14．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为__________．

15．已知三棱锥中，为的外接圆的圆心，，则三棱锥的外接球的表面积为________．

16．已知点M为双曲线在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的渐近线方程为_________；若、分别交双曲线C于P、Q两点，记直线与的斜率分别为、，则_________．（第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）如图，在四边形中，，且．

（1）求的面积；

（2）若，求的长．

18．（12分）在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：）：

由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在之间（单位：），且这20组身高数据的平均数为，标准差为．

（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？

（2）使用统计学的观点说明，以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？

（参考公式：）

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且．点M在棱上，且，点N为中点．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）已知点为抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且面积为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l经过交抛物线C于M，N两点（异于点P）求证：的大小为定值．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：在上恒成立；

（3）求证：当时，．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为．

（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

（1）当时，求的最小值．

（2）若函数在区间上递减，求a的取值范围．

皖豫联盟体2020-2021学年高二下学期期末联合调研

理科数学参考答案

一、选择题

1．D  2．B  3．D  4．D  5．C  6．A  7．C  8．C  9．B  10．A  11．C  12．B

二、填空题

13．  14．4  15．  16．；15（第一空2分，第二空3分）

三、解答题

17．解：（1）∵，∴，            1分

∴，            3分

∴．            5分

（2）∵，            6分

∴，即，            8分

∵在中，，            10分

整理可得，解得．             12分

18．解：（1）由条件可得区间，

在区间内的数据有158和186．            2分

剔除后，利余18个数据，其平均数为，            4分

方差为：

，            7分

（2）以内的数据与原数据对比，有以下特点

①以内的数据的的占总数据个数的90%，

说明该校90%左右的男生身高都在区间以内；

②以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化；

③原数据的方差为49，而以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性．            12分

19．解：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由题意，可得．

（Ⅰ）显然，是平面的一个法向量，，故，即，又因为平面，故直线平面．            5分

（Ⅱ）设平面的法向量为，由，有即取，可得．            7分

由已知可得．设平面的法向量为，有，即取，可得．            9分

所以，，因此．

所以，二面角的正弦值为．            12分

20．（1）据题意可知，由得：，求导得：

所以抛物线C在点P处的切线方程为：令得：，即，

又所以，解得所以抛物线C的方程为            5分

（2）据题意知直线l斜率存在，设为k，从而直线l方程为

设由得：

所以            8分

因为，所以

，所以

所以的大小为，是一个定值．            12分

21．解：函数的定义域为，

令，，

当时，，，在上单调递增；（2分）

当时，在上单调递增；（3分）

当时，，设方程的两个根为，且，则，，

当或时，，当时，，

故在上单调递减，在和上单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增．（6分）

（2）证明：由（1）可得，当时，在上单调递增，

所以，故在上恒成立，（7分）

（3）证明：由（2）知，当时，，当时，，要证，只需证，只需证，

令，

，所以在上为增函数，

所以，

所以在上为增函数，

，即，

故当时，．      （12分）

22．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），两式消参得直线l的普通方程为，            2分

因为圆C的极坐标方程为，即，所以圆C的直角坐标方程为．            4分

（2）将代入，得，            6分

设A，B所对应参数分别为，

则，            7分

所以            8分

．            10分

23．解：（1）当时，，            3分

所以当时，，

当时，，

当时，，所以函数的最小值3．            5分

（2）因为函数

当时，又，所以单调递增，与题意不符合．

当时，则，因为函数在区间上递减，则，

综上得：a的取值范围为．      10分