2022河北省高三上学期9月开学摸底联考数学试题含答案

河北省2022届高三上学期9月开学摸底联考

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列四个向量中，与向量共线的是（    ）

A． B． C． D．

3．2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14~35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（    ）

A．对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的

B．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目

C．对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活

D．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步

4．若虚数z满足，则（    ）

A． B．2 C．4 D．0或2

5．已知函数，，则（    ）

A．为奇函数，为偶函数

B．为奇函数，为偶函数

C．为奇函数，为偶函数

D．为奇函数，为偶函数

6．若，，则（    ）

A． B． C． D．

7．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（400，4），某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若直线与圆相切，则（    ）

A．  B．数列为等差数列

C．圆C可能经过坐标原点 D．数列的前10项和为23

10．“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一，全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为cm，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则（参考数据：）（    ）

A．这两碗馅料最多可包三角粽35个

B．这两碗馅料最多可包三角粽36个

C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个

D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个

11．设函数在一个周期内的图象经过，，，这四个点中的三个点，则（    ）

A． B． C． D．

12．设，，，，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．的展开式中的系数为________．

14．已知双曲线的渐近线方程为，，分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点．若，则________．

15．曲线在点处的切线与曲线的另一个公共点为，则________．

16．在棱长为3的正方体中，E，F，G分别为棱BC，，上一点，，且平面．当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的侧面积为________，与平面所成角的正切值为________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，．

（1）若，求；

（2）若，求b．

18．（12分）甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示：

（1）若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X，求X的分布列；

（2）已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4，方差为1.84．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？

19．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，E为棱AD上一点，底面ABCD．

（1）证明：．

（2）若，，求二面角的大小．

20．（12分）已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．

（1）求，的通项公式；

（2）求的前n项和．

21．（12分）已知函数．

（1）从①，②这两个条件中选择一个，求零点的个数；

（2）若，讨论函数的单调性．

注：若第（1）问选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

22．（12分）已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切．

（1）求E的方程．

（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点．

①证明：．

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

河北省2022届高三上学期9月开学摸底联考

数学考试参考答案

1．B【解析】本题考查一元二次不等式的解法与集合的交集，考查运算求解能力．

由，得或，则．

2．C【解析】本题考查向量共线的条件，考查运算求解能力．

因为，所以向量与向量共线．

3．C【解析】本题考查统计图表的识别，考查读图能力．

由图可知，对于神舟十二号太空之旅，46.6%的受访青少年关注航天员是怎样选的，有将近一半的青少年关注此问题，所以A错误．而75.3%<0.8，64.6%<0.7，所以B，D均错误．对于神舟十二号太空之旅，很多青少年都特别关注航天员，有74.4%的受访青少年关注他们在太空的工作和生活，所以C正确．

4．B【解析】本题考查复数的模，考查待定系数法的应用．

设，因为，所以，

则，，又，解得或故．

5．D【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理能力．

因为，，，，

所以为奇函数，为偶函数，与均为非奇非偶函数．

6．B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．

因为，，所以，

所以．

7．A【解析】本题考查正态分布与二项分布的应用，考查抽象概括能力．

因为X（单位：克）服从正态分布，所以．

设4袋海藻碘食用盐中质量超过400克的袋数为Y，则，则至少有2袋的质量超过400克的概率为．

8．C【解析】本题考查椭圆的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养．

如图，延长交C于M，

根据椭圆的对称性可知，

则，

因为焦点弦PM长度的最小值为，所以，则．

9．ECD【解析】本题考查直线与圆以及等差数列，考查运算求解能力与推理论证能力．

因为直线与圆相切，所以，则，数列是公差为的等差数列．因为，所以的前10项和为．又，所以当时，圆C可能经过坐标原点．

10．AC【解析】本题考查简单几何体的体积的应用，考查运算求解能力与空间想象能力．

棱长为6cm的正四面体的体积，底面半径为cm，高为6cm的圆柱的体积，半径为6cm的半球的体积．因为，，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，最多可包竹筒棕21个．

11．AD【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与数形结合的数学思想．

因为，所以在一个周期内的图象不经过点C，

则，解得．因为，所以，

又，所以．

12．ACD【解析】本题考查基本初等函数及两数大小的比较，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．

设函数．令，得；令，得．

则，当且仅当时，等号成立，所以，

即，即．因为，

又，所以．

13．【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力．

因为的展开式中的系数为写，所以的展开式中的系数为．

14．3【解析】本题考查双曲线的性质与定义，考查直观想象与数学运算的核心素养．

因为双曲线的渐近线方程为，所以，解得．因为，，所以．

15．10【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．

因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．将代入，得，

解得或，故，，．

16．；【解析】本题考查三棱锥的侧面积与线面角，考查直观想象与数学建模的核心素养．

设，则，因为，，所以．

三棱锥的体积，当且仅当时，等号成立，此时三棱锥的体积取得最大值，其侧面积为．因为平面，所以易证，从而与相似，因为，所以G为棱的中点，取的中点H，连接GH，．可证平面，所以与平面所成的角为．故．

17．解：（1）因为，，所以，1分

所以，则．3分

因为，，所以，4分

则，5分

又，所以．6分

（2）因为，所以，且A为锐角，7分

所以，8分

则．10分

评分细则：

【1】第（1）问若由已知条件先直接得到，再得到，不扣分；若最后得到，但过程中未体现，要扣1分．

【2】若第（2）问最后的结果错误，但得到，扣1分．

18．解：（1）依题意得X的可能取值为0，1，2，3，1分

，2分

，3分

故X的分布列为

4分

（2），5分

，6分

，7分

．8分

因为，，9分

所以次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙，稳定性最差的是丙，10分

故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好．12分

评分细则：

【1】若X的分布列正确，但未求每个X对应的概率，不扣分．

【2】若未写“次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙，稳定性最差的是丙”，而直接得出结论“应淘汰丙机床，乙机床的性能最好”，要扣1分．

19．（1）证明：因为底面ABCD，所以．1分

在矩形ABCD中，，2分

因为，所以平面PAD，3分

因为平面PAD，所以．4分

（2）解：以E为坐标原点，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

，，．6分

设平面PCD的法向量为，

则，即．7分

令，得．8分

设平面PBC的法向量为，

则，即．9分

令，得．10分

所以，11分

由图可知，二面角为钝角，所以二面角为（或120°）．12分

评分细则：

【1】第（1）问未写平面PAD，不扣分．

【2】第（2）问解析中得到平面的一个法向量不唯一，只要与参考答案中求得的法向量共线即可得分．

20．解：（1）因为是公差为1的等差数列，，所以．2分

又是公比为2的等比数列，，所以，4分

故．5分

（2）因为，所以为递增数列，6分

又，，，故当时，恒有，

故  7分

记的前n项和为，

则．9分

当时，；10分

当时，．11分

综上，．12分

评分细则：

【1】第（1）问未得到，但写了，给1分．

【2】第（2）问得到不扣分

21．解：（1）选①，因为，所以，则．1分

记，则，且，，2分

因此方程有唯一解，不妨设，．

当时，；当时，．3分

所以．4分

又因为，5分

所以在和内各有一个零点，故零点的个数为2．6分

选②，因为，所以，则．1分

记，则．当时，；当时，．2分

因此，3分

所以，则在上单调递增．4分

又因为，，5分

所以在内存在唯一零点，故零点的个数为1．6分

（2）易知的定义域为，

设函数，，

则．7分

令，得，．

当时，由，得；由．得．故在和上单调递增，在上单调递减．9分

当时，恒成立，故在上单调递增．10分

当时，由，得；由，得．故在和上单调递增，在上单调递减．12分

评分细则：

【1】第（1）问若用极限说明两边函数值的正负，而未用具体函数值的正负来说明，扣1分．

【2】选①时，除了选用，还可以使用其他函数值来说明，一个自变量在内，另一个自变量在内即可．

【3】选②时，解析中，，，这里的选值也不是唯一的，只要说明一个函数值小于0，另一个函数值大于0，即可得分．

【4】第（2）问未写令，得，，其余步骤都正确，不扣分．

【5】第（1）问还可以这样做：选①，由得，结合与的图象及，可得有2个零点；选②，由得，同理可得有1个零点．

22．（1）解：依题意可设E的方程为，1分

联立得，2分

依题意得，3分

解得或（舍去），故E的方程为．4分

（2）①证明：设，，．

设过点P且与E相切的直线l的斜率为k，则，

联立得，5分

则，

即．

由题意知，直线PA，PB的斜率，为方程的两根，

则，故．7分

②解：不妨设PA的斜率，则PB的斜率，

设PA，PB的倾斜角分别为，，直线AB的倾斜角为且斜率为，

，8分

由①可知，即，同理可得，

则．9分

因为，

，10分

所以，

则，从而，11分

又，则，所以，故为定值．12分

评分细则：

【1】第（1）问解析第一行写为“设E的方程为”，不扣分．

【2】第（2）问若只是得到结论定值，而没有过程，给1分．