2022广西“韬智杯”高三上学期9月大联考数学（理）试题含答案

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广西2022 届“韬智杯”高三大联考理 科 数 学本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷（选择题）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．1．已知集合 A   x  N | 1  x  4 ，集合 B  x | 2  x  3 ，则 A  B  （ ）A．0，1，2B．1，2C．x | 1 x  3 D．x | 2  x  42．若 z 1  i   2i ，则A．2 B．C． D．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．3B．6C．9D．124．在△ABC 中，B＝，AB＝2，D 为 AB 中点，△BCD 的面积为，则 AC 等于 （ ）A．2 B． C． D．5．已知正项等比数列an  中，公比 q  1 ，前 n 项和为 Sn ，若 a2 a6  64，a3  a5  20，则 S8＝ （ ）A．127 B．128 C．255 D．2566．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内 15 家药店所销售的 A，B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检 10 包口罩（每包 10 只），15 家药店中抽检的 A，B 型号口罩不合格数（Ⅰ，Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不．正．确．的是 （ ）A．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D．估计 A 型号口罩的合格率小于 B 型号口罩的合格率7．已知 sin（a  ）＝，则 sin（2 ）的值为A．B．C．  D．  8．新高考综合改革实施方案将采用“ 3  1  2 ”模式：“3”为语文、数学、英语所有学生必考；“1”为必 须在物理、历史中选一科；“2”为再选科目，考生须在化学、生物、政治、地理 4 个科目中任选两科．若 不考虑主观因素的影响，选择各科是等可能的，则某同学选择含有地理学科组合的概率为 （ ）A．B．C． D． 9．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1℃，空气温度为0℃，则t 分钟后物体的温度（单位：℃）满足：  0  1  0  e-kt.若常数 k  0.05 ，空气温度为 30℃，某物体的温度从 90℃下降到 50℃，大约需要的时间为（参考数据： ln 3  1.1 ） （ ）A．16 分钟 B．18 分钟 C．20 分钟 D．22 分钟10．已知 F1，F2 是双曲线(a  0, b  0) 的左､右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A，B，若∆ABF2 为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．11．在三棱锥 A  BCD 中， AB  AD  BC  3 ，CD  5 ， BD  4 ， AC  3 ，则三棱锥外接球的表面积为 （ ） A． B． C． D．12．已知函数 y  f (x) 的定义域为 R ， y  f (x 1) 为偶函数，对任意 x1 , x2 ，当 x1  x2 ≥1时， f (x) 单调递增，则关于 a 的不等式 f (9a  1)  f (3a  5) 的解集为 （ ）A． (, 1) B． (, log3 2)C． log3 2,1 D． (1,  )第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．已知向量 a  (2, m) ， b  (1, 2) ，且 a  2b  0 ，则 m   .14．已知曲线 f ( x)  ( x  a)ex 在 x  1 处的切线方程为 y  2ex  b ，则 a  b   .15．已知函数 f (x)  Asin(x ) （其中 A  0 ， 0 ，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .第 15 题图 第 16 题图16．椭圆 C：的上、下顶点分别为 A ， C ，如图，点 B 在椭圆上，平面四边形 ABCD 满足BAD  BCD  90o ，且 SABC  2SADC ，则该椭圆的短轴长为 .三、解答题：本题共 6 小题，第 17～20 题必考，每题 12 分；第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生从 这两题任选一题作答.（一）必考题：共 60 分.17．（本小题满分 12 分）已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：（1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长；（2）若时间长为0，10 被认定“不依赖手机”，10，25 被认定“依赖手机”，根据以上数据完成 2  2 列 联表：能否在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？时间长（小时）0, 55, 10 10, 1515, 20 [20,25]女生人数411320男生人数317631不依赖手机依赖手机总计女生男生总计P(K 2 ≥ k )00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式： K 2 ， n  a  b  c  d ）18．（本小题满分 12 分）已知等差数列an  的前 n 项和为 Sn ，且 S6  36 ， ．请在① a3  5 ；② a2  a4  a6  21这两个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．（1）求数列an  的通项公式；（2）设 bn ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ． 19．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ABC ， PA  平面 ABCD ，点 M 是棱 PC 的中点.（1）证明： PA∥平面 BMD ；（2）当 PA 时，求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值．20．（本小题满分 12 分）已知抛物线 C∶y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A，B 两点，三角形 AOB(点 O 为坐标原点)的面积为 2.（1）求抛物线 C 的方程；（2）设不经过原点 O 的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点，设直线 OP，OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当   时，直线 l 恒过定点．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f  x   eax  ax （ a  R 且 a  0 ）．（1）求函数 f  x  的单调区间；（2）当  a ≤ 2 时，求证：对任意 x   1,   ， f  x  ≥  x2  1 恒成立．（二）选考题：共 10 分，请从第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，那么只能按所做的第一题计分.22．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为  2 cos（1）求直线 l 及圆 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不同于 A，B 的任意一点，求△PAB 面积的最大值.23．（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) （1）求不等式 f ( x) ≥ 3 的解集；（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且 a  b  c  m ，求 a2+b2+c2 的最小值．