2021-2022学年福建省福州第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年福建省福州第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知，则（       ）A．0 B．2 C．1 D．-2【答案】B【分析】求出函数的导数，再求即可作答.【详解】由求导得：，所以.故选：B2．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（       ）A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺【答案】A【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出立夏的日影长.【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故立夏的日影长为9.5尺.故选：A3．在等比数列中，，，则（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解【详解】设公比为，则由，得，即故，解得．故选：D4．展开式中的常数项为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到时为常数项，代入求出答案.【详解】展开式的通项公式为，令得：，故故选：C5．设，，，则的大小顺序为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最大值，然后结合函数单调性即可比较大小．【详解】解：令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最大值，因为，，，，当时，函数单调递增，可得，即．故选：B．6．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（       ）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种【答案】B【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.故一共有：36种分配方法.故选：B.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.8．关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数证明，不等式变形为，引入函数，利用导数确定函数的单调性，最小值，由不等式只有一解得，其中在确定的正负时，需对中的部分式子引入新函数，由二次求导的方法确定正负．【详解】题中显然有，设，则，时，，递减，时，，递增，，所以，由得设，则，设，则，设，，时，，递减，时，，递增，而，所以，是增函数，又，所以时，，，递减，时，，，递增，所以，不等式只有一解，则．故选：A．二、多选题9．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（       ）A．  B．的最大值为C．  D．【答案】AC【分析】设等差数列的公差为，由，求得，结合等差数列的通项公式和求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由，所以，所以A正确；因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；由，所以，所以C正确；因为，所以，即，所以D错误.故选：AC.10．函数的图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分类讨论a的取值范围，再对函数求导判断单调性，依次根据a的取值判断出满足要求的图形.【详解】解：①当时，的定义域为，，令，解得，时，，单调递增，时，，单调递减，当时，，选项B符合；当时，，选项C符合；当时，，没有满足要求的图形；②当时，，没有满足要求的图形；③当时，的定义域为，此时在单调递减，，，选项A符合.故选：ABC11．已如函数，则以下结论正确的是（       ）A．函数存在极大值和极小值B．C．函数存在最小值D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解【答案】CD【分析】利用导数求出单调性可判断AC；根据单调性判断B；转化为，交点问题，数形结合判断D.【详解】由可得，当， ，当，由，所以在单调递减，在单调递增，故选项A不正确，C正确：对于选项B：在单调递增，因为，所以，故B错误；对于选项D：方程即，有一根为，令．则，令可得或，令可得，所以在和单调递增，在单调递减，，作出，的图形如图所示： 所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，故D正确.故选：CD.12．已知正项数列满足，则下列说法正确的是（       ）A．若，则，B．，使单调递增C．，使D．若，则数列中有无穷多项大于【答案】ACD【分析】直接由递推关系式依次计算即可判断A选项；由和作差得到进而得到和异号即可判断B选项；由即可判断C选项；分和结合递推关系式依次判断和的大小即可判断.【详解】对于A，若，则，，，，即，，A正确；对于B，由可得，两式相减得，由可得，若，则，若，则，故不具有单调性，B错误；对于C，若，由解得，显然恒成立；若，由上知：，可得，，又为正项数列，，可得，即存在，使，故C正确；对于D，若，则，，，可知为偶数时，；若，则，，，可知为奇数时，；故时，数列中有无穷多项大于，D正确.故选：ACD.三、填空题13．曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】先求出导函数，得到斜率，点斜式写出切线方程.【详解】因为，所以，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：14．小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．则小明的父母都与他相邻的排法总数为_________．【答案】12【分析】根据已知“小明的父母都与他相邻”，可采用捆绑法处理，再整体全排即可.【详解】小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体,考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；故答案为：1215．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.【答案】【分析】求解定义域，由导函数小于0得到递减区间，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】显然，且，由，以及考虑定义域x>0，解得:.在区间，上单调递减，∴，解得:.故答案为：四、双空题16．若某人对机器狗发出一次指令，使机器狗沿着直线方向要么前进一步，要么后退一步，允许重复过任何一点．若此人发出6次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有_________种；若此人发出次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有_________种．【答案】     15     （或）【分析】第一空，根据题意无论哪次前进还是后退，实际上本质是前进步，后退步，运用组合数即可求解；第二空，事件的本质是前进的步数一定比后退的步数多两步，然后运用组合数求解.【详解】根据题意无论哪次前进还是后退，实际上本质是前进步，后退步，只要在步中选定前进的步，剩下的步就是后退，所以有种不同走法；若此人发出次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，设前进步，则后退步，即，解得，则不同指令方案数为种.故答案为：15；（或）.五、解答题17．已知等差数列中，．(1)求；(2)设，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系可得，求得公差d之后可得到通项公式；（2）由（1）知的通项公式，采用分组求和可求得前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，可得，两式相减可得：，所以所以可得：；(2)由（1）知：，所以，18．已知为实数，函数 的一个极值点是．(1)求；(2)对任意，，不等式恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意，求导，然后代入，使得，进而求出.(2)求导，得到，进而得到的单调性，利用单调性分别求出和即可.【详解】(1)，，，，即．经检验，满足题意．所以.(2)由(1)得，，，令得，或.则在单调递减，在单调递增，当时，，，，，，故时，.所以，即的最小值为．【点睛】关键点睛：解题的关键在于，把问题转化为，进而利用导数研究函数的单调性，分别求出和，进而求解，属于难题.19．已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)记为数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用等比数列的基本量求得以及，结合已知条件求得，利用等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；（2）根据（1）中所求求得，利用裂项求和法求得，根据其单调性即可容易证明.【详解】(1)设等比数列的公比为，因为，故，解得或（舍），故，，因为，故，又，故数列是公差为的等差数列.(2)因为，故，又是单调增函数，且，又当时，，故，即证.20．有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形的四个顶点处．政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万元，原计划按照菱形对角线修路．（1）若预算刚好花完，求菱形的面积；（2）若为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案：按如图实线所示修路，其中，问：新方案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费．【答案】（1）96，（2）能，万元【分析】（1）设与交于，设，则由题意可得，，求出，从而可求出菱形的面积；（2）设的中点分别为，连接，则，，从而可得，设总长为，则，令，利用导数可求出其最小值，从而可求出新方案的最低花费【详解】解：（1）设与交于，设，当预算用完，则(km)，所以，因为，所以，解得或，所以（）（2）设的中点分别为，连接，则，，所以，设总长为，则，令，则，因为，所以由，得，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即，所以能在预算内完成修路目标，新方案的最低花费为万元．21．已知函数其中(1)讨论的单调性；(2)若，求的最大值；(3)设，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；（2）当时，，不合题意；当时，可得；当时，由（1）知，，令，求出，分、讨论可得答案；（3）由可得，取，即可得答案.【详解】(1)，若，，单调递减；若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，若，单调递减；若，当时，单调递增；当时，单调递减.(2)当时，，不合题意；当时，，即，所以，所以；当时，由（1）知，，所以，所以，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当且仅当时，取到最大值；综上，最大值为.(3)由（2）知，当时，，即，即，取，即，故.【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、求最值的问题，解题的关键点是对含有的参数进行分类讨论，考查了学生分析问题、解决问题和计算的能力.22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求证：．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定其正负，得函数的单调性；（2）由（1）得函数有三个零点时的范围，从而得零点的范围，从而证得不等式成立．【详解】(1)函数的定义域为，当时，，，当时，；当时，；函数的单调减区间为，单调增区间为，当时，（），函数的单调增区间为，当时，若，，此时函数单调递增，若，，当时，；当时，；函数的单调增区间为，单调减区间为，综上，当时，函数的单调减区间为，单调增区间为；当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为．(2)由（1）知，当时，函数至多只有两个零点，不合题意，则必有，且，解得，由，，不妨设，则有，所以 ．