


2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试数学试题含解析
展开2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1.已知等差数列{an}中,a4 + a9 = 8,则S12 = ( )
A.96 B.48 C.36 D.24
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质求解即可.
【详解】解:由等差数列的性质得.
故选:B
2.已知等比数列{an}中,,,则( )
A. B.1 C. D.4
【答案】D
【分析】设公比为,然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出,从而可求出,
【详解】设公比为,因为等比数列{an}中,,,
所以,
所以,解得,
所以,得
故选:D
3.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点,过F且垂直x轴的弦长为,则该椭圆的方程为( )
A. + = 1 B. + = 1
C. + = 1 D. + = 1
【答案】C
【分析】根据已知条件求得,由此求得椭圆的方程.
【详解】依题意,
所以椭圆方程为.
故选:C
4.过点P(2,1)作直线l,使l与双曲线-y2=1有且仅有一个公共点,这样的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】B
【分析】利用几何法,结合双曲线的几何性质,得出符合条件的结论.
【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y=±x,
则点P(2,1)在渐近线y=x上,
又双曲线的右顶点为A(2,0),
如图所示.满足条件的直线l有两条:x=2,y-1=-(x-2).
【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件,结合双曲线的性质,结合图形,得出结果,属于中档题目.
5.已知{an}是以10为首项,-3为公差的等差数列,则当{an}的前n项和Sn,取得最大值时,n =( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【分析】由题可得当时,,当时,,即得.
【详解】∵{an}是以10为首项,-3为公差的等差数列,
∴,
故当时,,当时,,
故时,取得最大值.
故选:B.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1 = 1,- = 1,则an =( )
A.2n -1 B.n C.2n - 1 D.2n-1
【答案】A
【分析】由题可得,利用与的关系即求.
【详解】∵a1 = 1,- = 1,
∴是以1为首项,以1为公差的等差数列,
∴,即,
∴当时,,
当时,也适合上式,
所以.
故选:A.
7.曲线为四叶玫瑰线,这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用,苜蓿叶型立交桥有两层,将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现,即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路,四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是( )
①曲线C关于点(0,0)对称;②曲线C关于直线y=x对称;③曲线C的面积超过4π.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】根据图像或解析式即可判断对称性①②;估算第一象限内图像面积即可判断③.
【详解】①将点(-x,-y)代入后依然为,故曲线C关于原点对称;
②将点(y,x)代入后依然为,故曲线C关于y=x对称;
③曲线C在四个象限的图像是完全相同的,不妨只研究第一象限的部分,
∵,
∴曲线C上离原点最远的点的距离为
显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积,
又∵,∴第一象限内曲线C的面积小于,则曲线C的总面积小于4π.
故③错误.
故选:C.
8.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的A,B两点关于原点对称,|FA|=2|FB|,且·≤ a2,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,] B.(0,] C.,1) D.,1)
【答案】B
【分析】如图设椭圆的左焦点为E,根据题意和椭圆的定义可知,
利用余弦定理求出,结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知,如图,设椭圆的左焦点为E,则,
因为点A、B关于原点对称,所以四边形为平行四边形,
由,得,,
在中,,
所以,
由,得,
整理,得,又,
所以.
故选:B
二、多选题
9.关于双曲线 - = 1,下列说法正确的有( )
A.实轴长为4 B.焦点为(,0)
C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为5
【答案】AC
【分析】求得,由此对选项逐一分析,从而确定正确选项.
【详解】依题意,
所以实轴长,A选项正确.
焦点为,B选项错误.
右焦点到渐近线的距离为,C选项正确.
离心率,D选项错误.
故选:AC
10.已知等差数列与等比数列的前n项和分别为,,则下列结论正确的有( )
A.数列是等比数列 B.可能为
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
【答案】AC
【分析】设等差数列的公差为,根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的定义判断A、C,再根据计算判断B,利用特殊值判断D;
【详解】解:设等差数列的公差为,
对于A:,则数列为等比数列,故A正确;
对于B:若,当时,,当时,,则,当时不满足,所以,故不是等比数列,故B错误;
对于C:,则,则,
故数列为等差数列,故C正确;
对于D:令,则,则,则,,,显然,故D错误;
故选:AC
11.已知F是抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点,过F的直线交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切
B.若抛物线上的点T(2,t)到点F的距离为4,则抛物线的方程为y2 = 4x
C. 为定值
D.|MN|的最小值为
【答案】ACD
【分析】由抛物线的性质可得焦点的坐标及准线方程,设直线的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出弦长,进而可得以为直径的圆的半径,再求的中点到准线的距离,可判断A,由抛物线的性质可得到准线的距离,由题意可得的值,求出抛物线的方程,可判断B,求解的值可判断C,求出的表达式,当且仅当时,可求出的最小值,判断D,
【详解】由题意可得抛物线的焦点,准线方程为,
设直线的方程为,,则的中点,
由,得,
所以,
所以,
对于A,,则以为直径的圆的半径为,的中点的横坐标为,所以的中点到准线的距离为,所以以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,所以以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切,所以A正确,
对于B,因为抛物线上的点T(2,t)到点F的距离为4,所以点T(2,t)到准线的距离为,得,则抛物线的方程为,所以B错误,
对于C,为定值,所以C正确,
对于D,,所以当时,取得最小值,所以D正确,
故选:ACD
12.等差数列的前n项和分别为,则下列说法正确的有( )
A.数列是递增数列 B.
C. D.
【答案】AB
【分析】结合数列的单调性,等差数列前项和公式对选项进行分析,从而确定正确选项.
【详解】,所以是递增数列,A选项正确.
,
所以,B选项正确.
,C选项错误.
当时,,D选项错误.
故选:AB
三、填空题
13.在1和9之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于 ________ .
【答案】27
【分析】设公比为,利用已知条件求出,然后根据通项公式可求得答案
【详解】设公比为,插入的三个数分别为,
因为,所以,得,
所以,
故答案为:27
14.已知双曲线的渐近线上两点A,B的中点坐标为(2,2),则直线AB的斜率是 _________ .
【答案】
【分析】设出直线的方程,通过联立直线的方程和渐近线的方程,结合中点的坐标来求得直线的斜率.
【详解】双曲线,,渐近线方程为,
设直线的方程为,,
由,
由,
所以,
所以直线的斜率是.
故答案为:
15.椭圆x2 + = 1上的点到直线x + y - 4 = 0的距离的最小值为 _________ .
【答案】
【分析】设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,求出即得解.
【详解】解:设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,
所以,代入椭圆方程得,
令或.
当时,平行线间的距离为;
当时,平行线间的距离为.
所以最小距离为.
故答案为:.
16.圆锥曲线有良好的光学性质,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如左图);光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如中图).封闭曲线E(如右图)是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发,经过点F2,然后在曲线E内多次反射,反射点依次为P1,P2,P3,P4,…,若P0 ,P4重合,则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .
【答案】
【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆;双曲线,
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有,
所以①,②,
根据椭圆的定义由,
所以路程
.
故答案为:
四、解答题
17.已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)设等差数列的公差为,根据题意可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,可得出数列的通项公式;
(2)求得,利用裂项法可求得.
【详解】(1)解:设等差数列的公差为,则,可得,
由可得,即,解得,,
故.
(2)解:,
因此,
.
18.已知圆M经过点F(2,0),且与直线x =- 2相切.
(1)求圆心M的轨迹C的方程;
(2)过点( -1,0)的直线l与曲线C交于A,B两点,若,求直线l的斜率k的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)设圆心,轨迹两点的距离公式列出方程,整理方程即可;
(2)设直线l的方程和点A、B的坐标,直线方程联立抛物线方程,消去x得出关于y的一元二次方程,结合根的判别式和韦达定理表示出弦,进而列出不等式,解之即可.
【详解】(1)设圆心,由题意知,
,
整理,得,
即圆心M的轨迹C方程为:;
(2)由题意知,过点(-1,0)的直线l与抛物线C相交于点A、B,
所以直线l的斜率存在且不为0,
设直线,点,
则,消去x,得,
或,
,同理可得,
所以,
即,由,得,
解得,
综上,或,
所以或,
即直线l的斜率的取值范围为.
19.已知数列满足,,设.
(1)证明数列为等比数列,并求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析,;
(2).
【分析】(1)计算可得出,根据等比数列的定义可得出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,可求得数列的通项公式,进而可求得数列的通项公式;
(2)求得,利用错位相减法可求得.
【详解】(1)证明:对任意的,,则,则,
因为,则,,,
以此类推可知,对任意的,,所以,,
所以,数列是等比数列,且该数列的首项为,公比为,
所以,,则.
(2)解:,
则,
,
下式上式得
.
20.如图四棱锥P - ABCD中,面PDC⊥面ABCD,∠ABC = ∠DCB = ,CD = 2AB = 2BC = 2,△PDC是等边三角形.
(1)设面PAB面PDC = l,证明:l//平面ABCD;
(2)线段PC内是否存在一点E,使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为,如果存在,求λ = 的值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】(1)由已知可得∥,再由线面平行的判定可得∥平面,再由线面平行的性质可得∥,再由线面平行的判定可得结论,
(2)由已知条件可证得两两垂直,所以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解
【详解】(1)证明:因为,
所以,所以∥,
因为平面,平面,
所以∥平面,
因为平面,且平面面,
所以∥,
因为平面,平面,
所以∥平面,
(2)设的中点为,
因为△PDC是等边三角形,所以,
因为平面PDC⊥平面ABCD,且平面面,
所以平面,
因为平面,
所以,
所以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,所以,
假设存在这样的点,由已知得,则,
所以,
因为平面,所以平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,则
,令,则,则
所以,
整理得,解得(舍去),或,
所以
21.已知椭圆,斜率为的动直线与椭圆交于A,B两点,且直线与圆相切.
(1)若,求直线的方程;
(2)求三角形的面积的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)设直线,利用圆心到直线的距离等于半径,即可得到方程,求出,即可得解;
(2)设,,,利用圆心到直线的距离等于半径,得到,再联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,利用弦长公式表示出,再根据及基本不等式求出,最后再计算直线斜率不存在时三角形的面积,即可得解;
【详解】(1)解:圆,圆心为,半径;
设直线,即,则,解得,所以或;
(2)解:因为直线的斜率存在,设,,,即,则,所以,即,联立,消元整理得,所以,,所以
所以
因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以,当轴时,取,,则,此时,所以;
22.已知A( -3,0),B(3,0),四边形AMBN的对角线交于点D(1,0),kMA与kMB的等比中项为 ,直线AM,NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若点N也在C上,点P是否在定直线上?如果是,求出该直线,如果不是,请说明理由.
【答案】(1);
(2)点P在定直线x=9上.理由见解析.
【分析】(1)设点,根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程,整理方程即可;
(2)设直线MN方程为:,点,联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程,根据韦达定理写出,利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB,联立方程组,解方程组即可.
【详解】(1)设点,则,
又,所以,
整理,得,
即轨迹M的方程C为:;
(2)点P在定直线上.
由(1)知,曲线C方程为:,直线MN过点D(1,0)
若直线MN斜率不存在,则,得,不符合题意;
设直线MN方程为:,点,
则,消去x,得,
有,
,,,
所以直线PA方程为:,
直线PB方程为:,
所以点P的坐标为方程组的解,
有,即,
整理,得,解得,
即点P在定直线上.