2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （       ）

A．96 B．48 C．36 D．24

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质求解即可.

【详解】解：由等差数列的性质得.

故选：B

2．已知等比数列{an}中，，，则（       ）

A． B．1 C． D．4

【答案】D

【分析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，

【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，

所以，

所以，解得，

所以，得

故选：D

3．已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（       ）

A． + = 1 B． + = 1

C． + = 1 D． + = 1

【答案】C

【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.

【详解】依题意，

所以椭圆方程为.

故选：C

4．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.

【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，

则点P(2，1)在渐近线y＝x上，

又双曲线的右顶点为A(2，0)，

如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)．

【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.

5．已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n =（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由题可得当时，，当时，，即得.

【详解】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，

∴，

故当时，，当时，，

故时，取得最大值.

故选：B.

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1 = 1，－ = 1，则an =（       ）

A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1

【答案】A

【分析】由题可得，利用与的关系即求.

【详解】∵a1 = 1，－ = 1，

∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，即，

∴当时，，

当时，也适合上式，

所以.

故选：A.

7．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是(       )

①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.

【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；

②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；

③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，

∵，

∴曲线C上离原点最远的点的距离为

显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，

又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.

故③错误.

故选：C.

8．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（       ）

A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)

【答案】B

【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，

利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.

【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，

因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，

由，得，，

在中，，

所以，

由，得，

整理，得，又，

所以.

故选：B

二、多选题

9．关于双曲线 - = 1，下列说法正确的有（       ）

A．实轴长为4 B．焦点为（，0）

C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为5

【答案】AC

【分析】求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意，

所以实轴长，A选项正确.

焦点为，B选项错误.

右焦点到渐近线的距离为，C选项正确.

离心率，D选项错误.

故选：AC

10．已知等差数列与等比数列的前n项和分别为，，则下列结论正确的有（       ）

A．数列是等比数列 B．可能为

C．数列是等差数列 D．数列是等比数列

【答案】AC

【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的定义判断A、C，再根据计算判断B，利用特殊值判断D；

【详解】解：设等差数列的公差为，

对于A：，则数列为等比数列，故A正确；

对于B：若，当时，，当时，，则，当时不满足，所以，故不是等比数列，故B错误；

对于C：，则，则，

故数列为等差数列，故C正确；

对于D：令，则，则，则，，，显然，故D错误；

故选：AC

11．已知F是抛物线y2 = 2px（p > 0）的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，则下列说法正确的是（       ）

A．以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切

B．若抛物线上的点T（2，t）到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2 = 4x

C． 为定值

D．|MN|的最小值为

【答案】ACD

【分析】由抛物线的性质可得焦点的坐标及准线方程，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长，进而可得以为直径的圆的半径，再求的中点到准线的距离，可判断A，由抛物线的性质可得到准线的距离，由题意可得的值，求出抛物线的方程，可判断B，求解的值可判断C，求出的表达式，当且仅当时，可求出的最小值，判断D，

【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，

设直线的方程为，，则的中点，

由，得，

所以，

所以，

对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，所以以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以A正确，

对于B，因为抛物线上的点T（2，t）到点F的距离为4，所以点T（2，t）到准线的距离为，得，则抛物线的方程为，所以B错误，

对于C，为定值，所以C正确，

对于D，，所以当时，取得最小值，所以D正确，

故选：ACD

12．等差数列的前n项和分别为，则下列说法正确的有（       ）

A．数列是递增数列 B．

C． D．

【答案】AB

【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】，所以是递增数列，A选项正确.

，

所以，B选项正确.

，C选项错误.

当时，，D选项错误.

故选：AB

三、填空题

13．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .

【答案】27

【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案

【详解】设公比为，插入的三个数分别为，

因为，所以，得，

所以，

故答案为：27

14．已知双曲线的渐近线上两点A，B的中点坐标为（2，2），则直线AB的斜率是 _________ .

【答案】

【分析】设出直线的方程，通过联立直线的方程和渐近线的方程，结合中点的坐标来求得直线的斜率.

【详解】双曲线，，渐近线方程为，

设直线的方程为，，

由，

由，

所以，

所以直线的斜率是.

故答案为：

15．椭圆x2 + = 1上的点到直线x + y - 4 = 0的距离的最小值为 _________ .

【答案】

【分析】设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,求出即得解.

【详解】解：设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,

所以，代入椭圆方程得，

令或.

当时，平行线间的距离为；

当时，平行线间的距离为.

所以最小距离为.

故答案为：.

16．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

【答案】

【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.

【详解】椭圆；双曲线，

双曲线和椭圆的焦点重合.

根据双曲线的定义有，

所以①，②，

根据椭圆的定义由，

所以路程

.

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；

（2）求得，利用裂项法可求得.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为，则，可得，

由可得，即，解得，，

故.

(2)解：，

因此，

.

18．已知圆M经过点F（2，0），且与直线x =- 2相切.

(1)求圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点（ -1，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设圆心，轨迹两点的距离公式列出方程，整理方程即可；

(2)设直线l的方程和点A、B的坐标，直线方程联立抛物线方程，消去x得出关于y的一元二次方程，结合根的判别式和韦达定理表示出弦，进而列出不等式，解之即可.

【详解】(1)设圆心，由题意知，

，

整理，得，

即圆心M的轨迹C方程为：；

(2)由题意知，过点(-1，0)的直线l与抛物线C相交于点A、B，

所以直线l的斜率存在且不为0，

设直线，点，

则，消去x，得，

或，

，同理可得，

所以，

即，由，得，

解得，

综上，或，

所以或，

即直线l的斜率的取值范围为.

19．已知数列满足,，设.

(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）计算可得出，根据等比数列的定义可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得.

【详解】(1)证明：对任意的，，则，则，

因为，则，，，

以此类推可知，对任意的，，所以，，

所以，数列是等比数列，且该数列的首项为，公比为，

所以，，则.

(2)解：，

则，

，

下式上式得

.

20．如图四棱锥P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等边三角形.

(1)设面PAB面PDC = l，证明:l//平面ABCD；

(2)线段PC内是否存在一点E，使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在

【分析】（1）由已知可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，再由线面平行的判定可得结论，

（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】(1)证明：因为,

所以，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，

因为平面，且平面面，

所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，

(2)设的中点为，

因为△PDC是等边三角形，所以，

因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，

所以平面，

因为平面，

所以，

所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，所以，

假设存在这样的点，由已知得，则，

所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则

，令，则，则

所以，

整理得，解得（舍去），或，

所以

21．已知椭圆，斜率为的动直线与椭圆交于A，B两点，且直线与圆相切.

(1)若，求直线的方程；

(2)求三角形的面积的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，求出，即可得解；

（2）设，，，利用圆心到直线的距离等于半径，得到，再联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再根据及基本不等式求出，最后再计算直线斜率不存在时三角形的面积，即可得解；

【详解】(1)解：圆，圆心为，半径；

设直线，即，则，解得，所以或；

(2)解：因为直线的斜率存在，设，，，即，则，所以，即，联立，消元整理得，所以，，所以

所以

因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当轴时，取，，则，此时，所以；

22．已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)点P在定直线x=9上.理由见解析.

【分析】(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；

(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可.

【详解】(1)设点，则，

又，所以，

整理，得，

即轨迹M的方程C为：；

(2)点P在定直线上.

由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)

若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；

设直线MN方程为：，点，

则，消去x，得，

有，

，，，

所以直线PA方程为：，

直线PB方程为：，

所以点P的坐标为方程组的解，

有，即，

整理，得，解得，

即点P在定直线上.