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    2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试数学试题含解析

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    这是一份2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年福建省福州第一中学高二上学期期末考试

    数学试题

    一、单选题

    1.已知等差数列{an}中,a4 + a9 = 8,则S12 =        

    A96 B48 C36 D24

    【答案】B

    【分析】利用等差数列的性质求解即可.

    【详解】解:由等差数列的性质得.

    故选:B

    2.已知等比数列{an}中,,则       

    A B1 C D4

    【答案】D

    【分析】设公比为,然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出,从而可求出

    【详解】设公比为,因为等比数列{an}中,

    所以

    所以,解得

    所以,得

    故选:D

    3.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点,过F且垂直x轴的弦长为,则该椭圆的方程为(       

    A + = 1 B + = 1

    C + = 1 D + = 1

    【答案】C

    【分析】根据已知条件求得,由此求得椭圆的方程.

    【详解】依题意

    所以椭圆方程为.

    故选:C

    4.过点P(21)作直线l,使l与双曲线y21有且仅有一个公共点,这样的直线l共有

    A1 B2 C3 D4

    【答案】B

    【分析】利用几何法,结合双曲线的几何性质,得出符合条件的结论.

    【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y±x

    则点P(21)在渐近线yx上,

    又双曲线的右顶点为A(20)

    如图所示.满足条件的直线l有两条:x2y1=-(x2)

    【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件,结合双曲线的性质,结合图形,得出结果,属于中档题目.

    5.已知{an}是以10为首项,-3为公差的等差数列,则当{an}的前n项和Sn,取得最大值时,n =       

    A3 B4 C5 D6

    【答案】B

    【分析】由题可得当时,,当时,,即得.

    【详解】∵{an}是以10为首项,-3为公差的等差数列,

    故当时,,当时,

    时,取得最大值.

    故选:B.

    6.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1 = 1 = 1,则an =       

    A2n 1 Bn C2n 1 D2n-1

    【答案】A

    【分析】由题可得,利用的关系即求.

    【详解】a1 = 1 = 1

    是以1为首项,以1为公差的等差数列,

    ,即

    时,

    时,也适合上式,

    所以.

    故选:A.

    7.曲线为四叶玫瑰线,这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用,苜蓿叶型立交桥有两层,将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现,即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路,四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是(       )

    曲线C关于点(00)对称;曲线C关于直线yx对称;曲线C的面积超过4π.

    A0 B1 C2 D3

    【答案】C

    【分析】根据图像或解析式即可判断对称性①②;估算第一象限内图像面积即可判断③.

    【详解】将点(x,-y)代入后依然为,故曲线C关于原点对称;

    将点(yx)代入后依然为,故曲线C关于yx对称;

    曲线C在四个象限的图像是完全相同的,不妨只研究第一象限的部分,

    曲线C上离原点最远的点的距离为

    显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积,

    第一象限内曲线C的面积小于,则曲线C的总面积小于4π.

    错误.

    故选:C.

    8.已知椭圆=1a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的AB两点关于原点对称,|FA|=2|FB|,且·a2,则该椭圆离心率的取值范围是(       

    A.(0] B.(0] C1) D1)

    【答案】B

    【分析】如图设椭圆的左焦点为E,根据题意和椭圆的定义可知

    利用余弦定理求出,结合平面向量的数量积计算即可.

    【详解】由题意知,如图,设椭圆的左焦点为E,则

    因为点AB关于原点对称,所以四边形为平行四边形,

    ,得,

    中,

    所以

    ,得

    整理,得,又

    所以.

    故选:B

    二、多选题

    9.关于双曲线 - = 1,下列说法正确的有(       

    A.实轴长为4 B.焦点为(0

    C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为5

    【答案】AC

    【分析】求得,由此对选项逐一分析,从而确定正确选项.

    【详解】依题意

    所以实轴长A选项正确.

    焦点为B选项错误.

    右焦点到渐近线的距离为C选项正确.

    离心率D选项错误.

    故选:AC

    10.已知等差数列与等比数列的前n项和分别为,则下列结论正确的有(       

    A.数列是等比数列 B可能为

    C.数列是等差数列 D.数列是等比数列

    【答案】AC

    【分析】设等差数列的公差为,根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的定义判断AC,再根据计算判断B,利用特殊值判断D

    【详解】解:设等差数列的公差为

    对于A,则数列为等比数列,故A正确;

    对于B:若,当时,,当时,,则,当不满足,所以,故不是等比数列,故B错误;

    对于C,则,则

    故数列为等差数列,故C正确;

    对于D:令,则,则,则,显然,故D错误;

    故选:AC

    11.已知F是抛物线y2 = 2pxp > 0)的焦点,过F的直线交抛物线于AB两点,以线段AB为直径的圆交y轴于MN两点,则下列说法正确的是(       

    A.以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切

    B.若抛物线上的点T2t)到点F的距离为4,则抛物线的方程为y2 = 4x

    C 为定值

    D|MN|的最小值为

    【答案】ACD

    【分析】由抛物线的性质可得焦点的坐标及准线方程,设直线的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出弦长,进而可得以为直径的圆的半径,再求的中点到准线的距离,可判断A,由抛物线的性质可得到准线的距离,由题意可得的值,求出抛物线的方程,可判断B,求解的值可判断C,求出的表达式,当且仅当时,可求出的最小值,判断D

    【详解】由题意可得抛物线的焦点,准线方程为

    设直线的方程为,则的中点

    ,得

    所以

    所以

    对于A,则以为直径的圆的半径为的中点的横坐标为,所以的中点到准线的距离为,所以以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,所以以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切,所以A正确,

    对于B,因为抛物线上的点T2t)到点F的距离为4,所以点T2t)到准线的距离为,得,则抛物线的方程为,所以B错误,

    对于C为定值,所以C正确,

    对于D,所以当时,取得最小值,所以D正确,

    故选:ACD

    12.等差数列的前n项和分别为,则下列说法正确的有(       

    A.数列是递增数列 B

    C D

    【答案】AB

    【分析】结合数列的单调性,等差数列前项和公式对选项进行分析,从而确定正确选项.

    【详解】,所以是递增数列,A选项正确.

    所以B选项正确.

    C选项错误.

    时,D选项错误.

    故选:AB

    三、填空题

    13.在19之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于 ________ .

    【答案】27

    【分析】设公比为,利用已知条件求出,然后根据通项公式可求得答案

    【详解】设公比为,插入的三个数分别为

    因为,所以,得

    所以

    故答案为:27

    14.已知双曲线的渐近线上两点AB的中点坐标为(22),则直线AB的斜率是 _________ .

    【答案】

    【分析】设出直线的方程,通过联立直线的方程和渐近线的方程,结合中点的坐标来求得直线的斜率.

    【详解】双曲线,渐近线方程为

    设直线的方程为

    所以

    所以直线的斜率是.

    故答案为:

    15.椭圆x2 + = 1上的点到直线x + y - 4 = 0的距离的最小值为 _________ .

    【答案】

    【分析】设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,求出即得解.

    【详解】解:设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,

    所以,代入椭圆方程得

    .

    时,平行线间的距离为

    时,平行线间的距离为.

    所以最小距离为.

    故答案为:.

    16.圆锥曲线有良好的光学性质,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如左图);光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如中图).封闭曲线E(如右图)是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发,经过点F2,然后在曲线E内多次反射,反射点依次为P1P2P3P4,若P0 P4重合,则光线从P0P4所经过的路程为 _________ .

     

    【答案】

    【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.

    【详解】椭圆;双曲线

    双曲线和椭圆的焦点重合.

    根据双曲线的定义有

    所以

    根据椭圆的定义由

    所以路程

    .

    故答案为:

    四、解答题

    17.已知等差数列满足.

    (1)的通项公式;

    (2),求数列的前项和.

    【答案】(1)

    (2).

    【分析】1)设等差数列的公差为,根据题意可得出关于的方程组,解出这两个量的值,可得出数列的通项公式;

    2)求得,利用裂项法可求得.

    【详解】(1)解:设等差数列的公差为,则,可得

    可得,即,解得

    .

    (2)解:

    因此,

    .

    18.已知圆M经过点F20),且与直线x =- 2相切.

    (1)求圆心M的轨迹C的方程;

    (2)过点( -10)的直线l与曲线C交于AB两点,若,求直线l的斜率k的取值范围.

    【答案】(1)

     

    (2).

     

    【分析】(1)设圆心,轨迹两点的距离公式列出方程,整理方程即可;

    (2)设直线l的方程和点AB的坐标,直线方程联立抛物线方程,消去x得出关于y的一元二次方程,结合根的判别式和韦达定理表示出弦,进而列出不等式,解之即可.

    【详解】(1)设圆心,由题意知,

    整理,得

    即圆心M的轨迹C方程为:

    (2)由题意知,过点(-10)的直线l与抛物线C相交于点AB

    所以直线l的斜率存在且不为0

    设直线,点

    ,消去x,得

    ,同理可得

    所以

    ,由,得

    解得

    综上,

    所以

    即直线l的斜率的取值范围为.

    19.已知数列满足,,设.

    (1)证明数列为等比数列,并求的通项公式;

    (2),求数列的前项和.

    【答案】(1)证明见解析,

    (2).

    【分析】1)计算可得出,根据等比数列的定义可得出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,可求得数列的通项公式,进而可求得数列的通项公式;

    2)求得,利用错位相减法可求得.

    【详解】(1)证明:对任意的,则,则

    因为,则

    以此类推可知,对任意的,所以,

    所以,数列是等比数列,且该数列的首项为,公比为

    所以,,则.

    (2)解:

    下式上式得

    .

    20.如图四棱锥P - ABCD中,面PDCABCDABC = ∠DCB = CD = 2AB = 2BC = 2PDC是等边三角形.

    (1)设面PABPDC = l,证明:l//平面ABCD

    (2)线段PC内是否存在一点E,使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为,如果存在,求λ = 的值,如果不存在,请说明理由.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)存在

    【分析】1)由已知可得,再由线面平行的判定可得平面,再由线面平行的性质可得,再由线面平行的判定可得结论,

    2)由已知条件可证得两两垂直,所以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解

    【详解】(1)证明:因为,

    所以,所以

    因为平面平面

    所以平面

    因为平面,且平面

    所以

    因为平面平面

    所以平面

    (2)的中点为

    因为PDC是等边三角形,所以

    因为平面PDC平面ABCD,且平面

    所以平面

    因为平面

    所以

    所以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

    ,所以

    假设存在这样的点,由已知得,则

    所以

    因为平面,所以平面的一个法向量为

    设平面的一个法向量为,则

    ,令,则,则

    所以

    整理得,解得(舍去),或

    所以

    21.已知椭圆,斜率为的动直线与椭圆交于AB两点,且直线与圆相切.

    (1),求直线的方程;

    (2)求三角形的面积的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】1)设直线,利用圆心到直线的距离等于半径,即可得到方程,求出,即可得解;

    2)设,利用圆心到直线的距离等于半径,得到,再联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,利用弦长公式表示出,再根据及基本不等式求出,最后再计算直线斜率不存在时三角形的面积,即可得解;

    【详解】(1)解:圆,圆心为,半径

    设直线,即,则,解得,所以

    (2)解:因为直线的斜率存在,设,即,则,所以,即,联立,消元整理得,所以,所以

    所以

    因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以,当轴时,取,则,此时,所以

    22.已知A-30),B30),四边形AMBN的对角线交于点D10),kMAkMB的等比中项为 ,直线AMNB相交于点P.

    (1)求点M的轨迹C的方程;

    (2)若点N也在C上,点P是否在定直线上?如果是,求出该直线,如果不是,请说明理由.

    【答案】(1)

    (2)P在定直线x=9.理由见解析.

    【分析】(1)设点,根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程,整理方程即可;

    (2)设直线MN方程为:,点,联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程,根据韦达定理写出,利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PAPB,联立方程组,解方程组即可.

    【详解】(1)设点,则

    ,所以

    整理,得

    即轨迹M的方程C为:

    (2)P在定直线上.

    (1)知,曲线C方程为:,直线MN过点D(1,0)

    若直线MN斜率不存在,则,得,不符合题意;

    设直线MN方程为:,点

    ,消去x,得

    所以直线PA方程为:

    直线PB方程为:

    所以点P的坐标为方程组的解,

    ,即

    整理,得,解得

    即点P在定直线.

     

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