2021-2022学年广东省十五校联盟高二下学期第一次（3月）联考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省十五校联盟高二下学期第一次（3月）联考数学试题

一、单选题

1．等差数列中，，则数列的公差为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由可知，结合可求出

【详解】， 即

故选：B

【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项

解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.

2．已知等比数列中，则

A．31 B．32

C．63 D．64

【答案】B

【详解】试题分析：

【解析】等比数列通项公式

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用导数的运算法则可求得，进而可求得的值.

【详解】由题意，得，则，

故选：D．

4．设等差数列的前项和为，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差中项的性质可求得的值，再利用等差求和公式可求得的值.

【详解】因为，所以，因此．

故选：B．

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由，得q3＝－，所以选A.

6．已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（　     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.

【详解】解：设函数，

则，

则函数为增函数，

又，

则，

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.

7．等差数列中，，设，则数列的前61项和为（       ）

A． B．7 C． D．8

【答案】C

【分析】首先求出数列的通项公式，即可得到，利用裂项相消法求和即可；

【详解】解：因为等差数列满足，所以，所以，所以，令数列的前项和为，

所以数列的前n项和，所以．

故选：C．

8．设函数在点处的切线为,则在轴上的截距为

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】求导得到，代入，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程，

从而得到其在轴上的截距.

【详解】因为函数，

所以，

代入，得，

而，

所以在处的切线的方程为：

，

整理得，

令，得

所以与轴的截距为.

故选：A.

【点睛】本题考查根据导数的几何意义求在一点的切线，属于简单题.

二、多选题

9．记为等差数列的前项和.已知，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而求得.

【详解】设首项为，公差为，由，得：，

解得：，，

，.

故选：AC.

10．曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.

【详解】因，令，故或，所以或，

经检验，点，均不在直线上，

故选：AB

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．

11．已知函数，其导函数为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得，从而可求得

【详解】因为，

所以．

因为，所以．

故．

故选：BC

【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题

12．(多选题)已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（       ）

A．2 B．5 C．3 D．4

【答案】BD

【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴时，，

化为：，

由于数列单调递减，

可得：时，取得最大值2．

∴的最大值为3．

故选：BD．

【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、填空题

13．若，则________.

【答案】6.

【解析】根据导数的极限定义即可求解

【详解】.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.

14．已知1，，，，4成等比数列，则______.

【答案】2

【分析】因为1，，，，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得 ，再利用 ，确定取值.

【详解】因为1，，，，4成等比数列，

所以 ，

所以 或，

又因为 ，

所以.

故答案为:2

【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.

四、双空题

15．如图是函数的图象.

（1）函数在区间上的平均变化率为______；

（2）函数在区间上的平均变化率为______.

【答案】         

【分析】利用平均变化率的定义可计算出函数在区间和上的平均变化率.

【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为；

（2）由函数的图象知，，

所以函数在区间上的平均变化率为.

【点睛】本题考查平均变化率的计算，解题的关键就是利用平均变化率定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.

16．在数列中，，，数列满足，则数列的通项公式为______，数列的前n项和的最小值为______．

【答案】         

【分析】先根据题目中给出的递推关系式得到数列是等差数列，进而得到的通项公式；再根据，即可得到的最小值．

【详解】由题意知，，∴，即．又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，即，∴．又，∴的最小值为．

故答案为：(1).        (2).

【点睛】本题主要考查由递推关系式求通项公式的方法，考查等差数列前项和的最值的求法，考查学生逻辑推理与运算求解能力．

五、解答题

17．求下列函数的导数．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】答案见解析.

【解析】直接利用导数公式和导数运算法则求解.

【详解】（1）．

（2）．

（3）．

（4）∵，

∴．

18．数列满足，．

(1)证明数列为等比数列；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】(1)证明：因为，所以，

又因为，所以，

数列是首项为，公比为的等比数列．

(2)解：由（1）知，所以，

所以.

19．设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.

（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.

【详解】（1）数列满足

时,

∴

∴

当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.

20．已知函数，是的导函数，且，求过曲线上一点的切线方程．

【答案】或．

【解析】利用导数运算可求得点坐标，分别在是切点和不是切点两种情况下，利用导数的几何意义求得结果.

【详解】，，即，

在曲线上，，即，

①若是切点，，曲线在处的切线斜率，

所求切线方程为：，即；

②若不是切点，可设切点坐标为，

切线斜率，解得：，，

所求切线方程为：，即；

综上所述：过曲线上一点的切线方程为或.

【点睛】方法点睛：本题考查“在”与“过”某一点的曲线切线方程的求解，方法如下：

（1）“在”：该点必为切点，则切线方程为；

（2）“过”：分为该点是切点和不是切点两种情况，若是切点，则与“在”某一点的切线方程的求法相同；若不是切点，求法如下：

①假设切点坐标；

②利用切线斜率，构造方程，可求得切线斜率；

③根据直线点斜式求得切线方程：.

21．等差数列的前项和为．已知，为整数，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，设数列的前项和为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，可得出关于的不等式组，解出的取值范围，结合可求得的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；

（2）求得，结合等差数列的求和公式可求得的值.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，可得，

即，解得，因为，则，，

因此，.

此时，

故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.

(2)解：由（1）知，所以，

因此，.

22．数列满足．

(1)求；

(2)求数列的前n项和；

(3)数列的前n项和为，且，证明：对任意的．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解；

（2）利用错位相减法求和即可；

（3）由（2）可得，再利用作差法证明的单调性，即可证明；

【详解】(1)解：因为，

当时，，

当时，，

两式相减得，

所以，

又符合上式，所以．

(2)解：，

所以，

所以，

即，

所以．

(3)证明：由（2）知，

因为

所以当时，；

所以当时，，

所以．