2021-2022学年重庆市清华中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年重庆市清华中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市清华中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知，则（       ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】将函数写成分数指数幂的形式，利用求导公式，求得，代入即可求值.【详解】，，则.故选：D.【点睛】本题考查了根式化分数指数幂，常见函数的求导公式，导数值的计算，属于基础题.2．若函数，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出的导函数，得出其单调递增区间，利用单调性比较大小可得答案.【详解】，由，解得 所以函数在上单调递增.所以，故选项A不正确.,故选项B,D 不正确，选项C正确.故选：C3．已知,则A． B． C．或3 D．【答案】C【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算．【详解】当时成立；当时也成立；故选C.【点睛】本题考查组合数公式及排列数公式的计算问题，属于基础题．4．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】若函数在内单调递减，即当时，，,如图所示，函数是一个开口向上的二次函数，设其两个零点分别为，0）、（，0），其中 ,则有 且 ，易见有， 既有 解得，故选A．5．对图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，ABCD 现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（　　）A．12种 B．18种              C．20              D．22种【答案】B【详解】若 相同，先染A 处，有 种方法，在染 处 种方法，第三步染有 种方法，共有 种,若 不同，先染A处，有 种方法，再染 处 种方法，第三步有 种方法，第四步染 种方法，共有 种，根据分类计数原理可得共有 种，故选B .6．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是(　　 )A． B．C． D．【答案】D【详解】构造函数：得函数g（x）为减函数，又所以点睛：可先观察备选答案中含有，又，故想到构造函数，分析单调性即可得出结论.此题可作为重点积累7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.【详解】因为导函数，所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，又，即，所以，所以. 故选D.【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.8．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件转化为可知，原问题等价于函数在区间上单调递增，然后根据导数恒大于等于0，转化为导函数最小值问题，然后可得.【详解】，所以函数在区间上单调递增.所以当时，恒成立，即恒成立，记，则，当，即时，易知，所以在区间上单调递增，所以，则有，满足题意；当，即时，令，得，时，时，所以当时，有最小值，解，得.综上，k的取值范围为.故选：B二、多选题9．下列等式中，成立的有（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择.【详解】，A错；根据组合数性质知正确；，D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属综合基础题.10．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（       ）A．甲不站两端，共有种排法B．甲、乙必须相邻，共有种排法C．甲、乙不相邻，共有种排法D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法【答案】AD【分析】A选项通过特殊元素法判断；B选项利用捆绑法判断；C选项利用插空法判断；D选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错误；C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错误；D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.故选：AD.11．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（       ）A．是函数的极值点B．是函数的最小值点C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零【答案】AC【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC12．设函数，，下列命题正确的是（       ）A．若函数有两个零点，则，B．若恒成立，则C．若，，时，总有恒成立等价于D．，恒成立．【答案】AC【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB；构造函数，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取，然后使用放缩法可判断D.【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，则，故A正确，B错误；若，，时，总有恒成立等价于函数在上单调递增，等价于在区间上恒成立，令，则，当时，，所以当时，成立，当，时，，此时，不满足题意，故C正确；记，则，因为，，所以，故在区间上存在使得，故D错误.故选：AC三、填空题13．由数字，，，，组成无重复数字且比大的数有________个.【答案】24【分析】分3位数和4位数两种情况讨论，考虑特殊位置先排可得.【详解】比300大的3位数：百位只能取3，十位和个位的取法有种，所以比300大的3位数共有6个；比300大的4位数：从1、2、3三个数中取一个放在千位共3种取法，百位、十位和个位的取法有种，故比300大的4位数共有个.综上，比大的数有个.故答案为：2414．设是函数的导函数，若，则________.【答案】2【解析】由题可得,将代入即可【详解】由题,,所以当时,,故答案为：2【点睛】本题考查导数的运算,考查求导公式的应用,考查导数运算法则的应用15．如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.【答案】1【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，.令，则 (舍去)，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m.故答案为：1.16．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.【答案】【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．【详解】，其中，则．由于函数存在单调递增区间，则，使得，即，，构造函数，则．，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，所以，，故答案为．【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数在区间上单调递增，；（2）函数在区间上单调递减，；（3）函数在区间上存在单调递增区间，；（4）函数在区间上存在单调递减区间，；（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．四、解答题17．三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.【答案】（1）4320；（2）14400【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解；（2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解.【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法有种不同的排法；（2）女生必须全分开，利用插空法有种不同的排法【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题18．已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上的最小值．【答案】(1) ;(2) .【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．【详解】解：因.故由于在点x=2处取得极值c-16.故有即化简得解得a=1，b=-12.（2）由（1）知；.令，得，.当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时，，，因此在上的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设函数，其中．(1)求的单调区间；(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）求导，根据定义域和a的范围，讨论导数符号可得单调区间；（2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.【详解】(1)函数的定义域为，由于且，所以，令，解得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(2)要使的图像与轴没有公共点，所以只需即可，由（1）知，解得，即的取值范围为20．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）【分析】（1）当时，直接对求导，利用导数研究函数的单调性，解不等式和，即可求出的单调区间；（2）根据函数在区间上为减函数，利用分离参数法，得出对恒成立，构造函数，根据导数确定在区间上的单调性，从而求出，即可得出实数的取值范围．【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，当时，，，令，而，则，解得：，令，而，则，解得：，的单调增区间为，单调减区间为.（2）由于，的定义域为，因为函数在区间上为减函数，对恒成立，即对恒成立，令，则，可知，当时，，即，即在区间上，故在区间上单调递增，则，所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数在求函数的单调性和最值中的应用，以及利用构造函数法和分离参数法求参数范围，考查转化思想的运算能力.21．已知函数.（1）若的极值为0，求实数a的值；（2）若对于恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求函数的导函数，再讨论函数的单调性，从而确定函数的极值，然后求参数的值即可；（2）先将命题转化为对于恒成立，再构造函数，，则原问题转化为，再结合导数的应用求解即可.【详解】（1）由题得，①当时，恒成立，在上单调递增，没有极值.②当时，由，得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在时取到极小值，的极值为0，，即，；（2）由题得对于恒成立，对于恒成立，令，原问题转化为，又，令，则在上恒成立，在上单调递增，，在上单调递增，，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属综合性较强的题型.22．已知函数，.(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.【答案】(1)2(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）利用切线方程可得，，即可求；（2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，设，得，通过分类讨论参数，可求a的取值范围；（ii）证法不唯一，可设，由转化得，要证即证，令，通过构造，，结合即可求证；证法二方法类同于一，可作参考.【详解】(1)因为，则，又，所以在点处的切线方程为，即，又该切线为，则且，所以；(2)（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得，又，易证，证明如下：令，，当时，，单减，当时，单增，故，故，得证.，所以在和上各有一个零点，故有两个零点时，a的范围为；（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，由且，得.因为令，则，记，，由，令，.又，则，即，所以在上单调递增，故，即成立.所以不等式成立.法2：欲证，由，，则只需证：.不妨设，则且，则，所以令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故.【点睛】本题考查由切线方程求参数，由函数极值点个数求参数范围，函数不等式恒成立的证明，难度较大.对于含参极值点个数判断问题，需对参数进行分类讨论，将问题细化，才能进一步确定参数范围.不等式恒成立证明往往需要将所求问题等价转化，构造新函数，借鉴放缩法进行证明，本题中令，代换成对数函数证明的方法，往往用于处理零点（极值点）不等式问题，需要多多积累，方能游刃有余.