2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期第一次联合考试数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期第一次联合考试数学试题

一、单选题

1．的展开式中含项的系数为（       ）

A．－54 B．54 C．－27 D．27

【答案】B

【分析】令二项式展开式的通项公式中的系数为2，即可求解.

【详解】解：二项式展开式的通项公式为：，令r＝2，则含的项的系数为.

故选：B.

2．设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（       ）

A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21

【答案】D

【分析】先求出切线的斜率，再求出切线的方程即得解.

【详解】解：因为函数，所以，所以，

所以切线的斜率为.

所以曲线在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），

即y＝－9x＋21.

故选：D.

3．已知函数的导函数图象如图所示，则函数图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】观察导函数的符号，确定原函数的单调性即可.

【详解】由导函数的图象可知，原函数在的右侧有两个单调区间，先增后减，A正确.

故选：A.

4．高二某班共有50名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件为“选上的学生是“三号学生”，即可得到，，再根据条件概率的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意全班有“三好学生”（人），其中女三好学生有人，则男三好学生有人；

设事件表示“选上的学生是男生”，事件为“选上的学生是“三号学生”，

则，，故，

故选：C.

5．某校开学“迎新”活动中要把2名男生，3名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排男生，则安排方法的种数为（       ）

A．72 B．56 C．48 D．36

【答案】A

【分析】先安排甲岗位，剩下的全排即可求解．

【详解】先安排甲岗位，剩下的全排，则安排方法共有种，

故选：A.

6．若，则的值是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】利用赋值方法令得出，然后再求出含项的系数，由此即可求解.

【详解】令，则，

令，则，

又含的项为，所以，

所以，

故选:A.

7．函数是R上的单调增函数，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数为单调增函数可判断，则可将问题转化为在R上恒成立问题，结合的性质，即可求解.

【详解】因为函数是R上的单调增函数，

所以在R上恒成立，

即在R上恒成立，

因为，所以，

即a的取值范围是.

故选：C

8．函数的零点个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用导数法求解.

【详解】解：函数，x＞0，

则，令，解得x∈（0，3），此时函数是增函数，

x∈（3，＋∞）时，，f（x）是减函数，

所以x＝3时，函数取得最大值，

又f（3）＝ln3－1＞0，，，

所以函数的零点个数为2，

故选：B.

二、多选题

9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆､食堂､实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（       ）

A．总共有12种分配方法

B．总共有36种分配方法

C．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法

D．若甲､乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法

【答案】BCD

【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．由此计算得到各选项中的方法数，确定结论．

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有种安排方法，错误，B正确；

若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列：＝6种安排方法，C正确；

若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有种安排方法，D正确；

故选：BCD.

10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（       ）

A．，为对立事件 B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用对立事件的定义判断选项A正确；再利用概率计算得选项BC正确，选项D错误.

【详解】解：对于A，由于甲罐中只有红球和白球，故A正确；

对于B，当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；对于D，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故，故D错误；

对于C，，故C正确.

故选：ABC.

11．已知函数（a≠0）的极大值点为x＝a，则（       ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】由条件可得为函数的零点，讨论，结合三次函数图象可得关系及极值点的位置关系，由此判断正确选项.

【详解】令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，

当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如图1甲所示，则0＜a＜b；由可得是函数的极值点，

由图象可得，

当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如图乙所示，则b＜a＜0，由可得是函数的极值点，

由图象可得，

综上，，若，则，

故选：BD.

12．已如函数，则以下结论正确的是（       ）

A．函数y＝f（x）存在极大值和极小值 B．

C．函数y＝存在最小值 D．对于任意实数k，方程＝kx最多有3个实数解

【答案】BC

【分析】利用导数证明函数在x＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；利用函数的单调性证明B正确；证明＝kx有4个实数解，故D错误.

【详解】解：，当x＞－3时，，函数单调递增，当x＜－3时，，函数单调递减，函数在x＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；

当x＞－3时，函数单调递增，且，所以，B正确：

由＝kx得有一零点x＝0，令，则，如图，当x＞0或x＜－2时，，函数单调递增，当－2＜x＜0时，，函数单调递减，又，h（0）＝0，当时，与y＝k有3个交点，此时＝kx有4个实数解，故D错误，

故选：BC.

三、填空题

13．已知随机变量X的分布列如下表，则＝______.

【答案】

【分析】先利用分布列的性质求出，再求得解.

【详解】解：由随机变量X的分布列得解得，

∴，.

故答案为：

14．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的最小值为______.

【答案】1

【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.

【详解】解：函数，x∈[0，π]，

所以，

当且仅当，即x＝0时等号成立，

又因为2＋2cos2x≥2＋＝0，所以，

所以在x∈[0，π]时单调递增，

其最小值为.

故答案为：1

15．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是______.

【答案】或

【分析】整理不等式为，观察发现，可构造，对求导，结合判断单调性，再利用单调性求解即可.

【详解】设，

因为，所以，

所以在上单调递增，

由，则，即，

所以，解得或.

故答案为：或

四、双空题

16．已知函数在时有极值0，则m＝______，n＝______.

【答案】     2；     －9.

【分析】解方程组，求出的值再检验即得解.

【详解】解：∵，∴，

依题意可得，即

解得或

当m＝1，n＝－3时，函数，，函数在R上单调递增，函数无极值，所以舍去.

当m＝2，n＝－9时，，

所以函数在单调递增，在单调递减，所以满足题意.

故答案为：2；.

五、解答题

17．在二项式的展开式中，______.给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；

②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2；

③所有偶数项的二项式系数的和为128.

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)设展开式中的常数项为p，求p的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件①可得，解得，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件②可得，解得，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件③可得，解得，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；

（2）由（1）可知，则通项为，令，进而求解.

【详解】(1)①若展开式前三项的二项式系数的和等于37，

则，即，

得，即，得或（舍）；

所以，

所以展开式中二项式系数最大的项为.

②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为，

即，即，

得，即，得，

所以，

所以展开式中二项式系数最大的项为.

③若所有偶数项的二项式系数的和为128，则，

解得，得，

所以，

所以展开式中二项式系数最大的项为.

(2)由（1）可知，，

则，

其展开式的通项为，

令，得，

所以常数项.

18．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

(1)求男生甲被选中的概率；

(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先找到从7名成员中挑选2名成员所包含的基本事件数，再找到“男生甲被选中”所包含的基本事件数，根据公式即可求解；

（2）先求得“男生甲被选中，女生乙被选中”的概率，结合（1）的结果，根据条件概率公式求解即可；

（3）先找到“挑选的2人一男一女”所包含的基本事件数，即可求得概率，再求得“挑选的2人一男一女，女生乙被选中”的概率，根据条件概率公式求解即可.

【详解】(1)从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，

记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为种，

故.

(2)记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

由（1），则，

且由（1）知，

故.

(3)记“挑选的2人一男一女”为事件，事件所包含的基本事件数为种，

由（1），则，

“女生乙被选中”为事件，则，

故.

19．已知函数（a，b∈R）的图象在x＝－1处的切线斜率为－1，且x＝－2时， 有极值.

(1)求的解析式；

(2)求在[－3，2]上的最大值和最小值.

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为0.

【分析】（1）解方程组，即得解；

（2）利用导数求出函数的单调性，即得函数的最值.

【详解】(1)解：∵（a，b∈R），∴.

由条件得，即解得

故. 经检验，满足题意.

所以.

(2)解：由（1）可得，，解得x＝－2或x＝0，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在x＝－2上取得极大值，在x＝0上取得极小值0，且，，

故在[－3，2]上的最大值为，最小值为0.

20．为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于环，且甲射中，，，环的概率分别为，，，，乙射中，，环的概率分别为，，.

(1)求，的分布列；

(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.

【答案】(1)答案见解析；

(2)，，，，甲的射击技术好，选甲.

【分析】依据题意知，，求得的值，进而求出乙射中环的概率为，列出分布列即可；

根据分布列的数据，代入公式求出相应期望和方差，根据所得数据进行比较，进而得出结论.

【详解】(1)解：依据题意知，，解得.

因为乙射中，，环的概率分别为，，，

所以乙射中环的概率为.

所以，的分布列分别为

(2)解：结合中，的分布列，可得：

，

，

，

.

因为，说明甲平均射中的环数比乙高.

又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，

所以甲的射击技术好，故应选甲.

21．已知函数

(1)求的单调区间；

(2)当时，求证：在上恒成立.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数求解单调区间

（2）不等式恒成立，化简后构造函数，由导数求最值后证明

【详解】(1)，，

令，解得：，令，解得：，

故在上单调递减，在上单调递增.

(2)证明：当时，要证，

即证在上恒成立，

令，则，，

故在上单调递增，而，

故时，，时，，

故在单调递减，在单调递增，故，

故原结论成立.

22．已知函数f（x）＝（x－1）lnx－k.

(1)当k＝－1时，求函数f（x）在[1，e]上的最值；

(2)若函数在[1，e]上单调递减，求实数k的取值范围.

【答案】(1)，

(2){k｜k≤－1或k≥e}

【分析】（1）由k＝－1，得到f（x）＝（x－1）lnx＋1，利用导数法求解；

（2）由，令h（x）＝xlnx－k，易知h（x）在[1，e]上单调递增，h（1）＝－k，h（e）＝e－k.分－k≥0，e－k≤0，－k＜0＜e－k,讨论求解.

【详解】(1)解：当k＝－1时，f（x）＝（x－1）lnx＋1，

则在[1，e]上单调递增，

所以，所以f（x）在[1，e]上单调递增，

，.

(2)，

令h（x）＝xlnx－k，则，

则h（x）在[1，e]上单调递增，h（1）＝－k，h（e）＝e－k.

①当－k≥0，即k≤0时，，，

所以，

所以k≤－1；

②当e－k≤0，即k≥e时，，，

所以，

由（1）知，k≥e－2，故k≥e；

③当－k＜0＜e－k时，则存在唯一实数，使得，

当时，与g（x）在（1，e）上单调递减矛盾，此时不成立，

综上k≤－1或k≥e，所以k的取值范围为{k｜k≤－1或k≥e}.