2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为，则它的斜率（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据倾斜角和斜率之间关系求解即可.

【详解】由倾斜角和斜率之间的关系得，直线的斜率.

故选：C.

2．己知空间向量，且，则实数（       ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【分析】由，得到，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，空间向量，

因为，可得，即，可得 ，解得.

故选：A.

3．若直线x+y﹣2＝0和直线mx+2y+9＝0平行，则m的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．

【答案】A

【分析】解方程即得解.

【详解】解：因为直线x+y﹣2＝0和直线mx+2y+9＝0平行，

所以，所以.

故选：A

4．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（       ）

A． B．  C．，2， D．

【答案】C

【分析】利用向量垂直的坐标表示判断出正确选项.

【详解】A，，错误.

B，，错误.

C，，正确.

D，，错误.

故选：C

5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将直线化为，

根据两平行线之间的距离公式求解即可.

【详解】将直线化为，

因为直线与直线平行，

设两条平行线间的距离为，

所以根据两平行线之间的距离公式：.

故选：B.

6．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.

【详解】如图所示

由正四面体的性质可得：

可得：

是棱中点

故选：

【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.

7．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（       ）

A．2 B．2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.

【详解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0，

所以，，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.

8．已知点和圆，过作的切线有两条，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将圆的方程化为标准方程，可得，再由题意可知点在圆外，即，解不等式即可求解.

【详解】由，

得，则，解得，

要使过作的切线有两条，则点在圆外，

从而，即，

解得，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系求参数的取值范围、圆的标准方程，属于基础题.

二、多选题

9．在下列四个命题中，错误的有（　　）

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]

C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度

D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

【答案】ABD

【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断

【详解】对于A，

倾斜角为的直线斜率不存在

所以A错误

对于B

直线的倾斜角的取值范围为

所以B错误

对于C

因为且，所以

所以C正确

对于D

倾斜角为的直线斜率不存在

所以D错误

故选：ABD

10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．与夹角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.

【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；

对于B选项：，，故B正确；

对于C选项：，，

则，故C正确；

对于D选项：，，

所以，故D正确；

故选：BCD.

11．圆（       ）

A．关于点对称

B．关于直线对称

C．关于直线对称

D．关于直线对称

【答案】ABC

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程求出圆心坐标，可判断选项A的正误；将圆心坐标分别代入到B、C、D中，可判断其他选项的正误.

【详解】将圆的一般方程化为圆的标准方程，

可得，

所以圆心的坐标为，

圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心坐标，所以A选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以B选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D选项不正确.

故选：ABC.

12．给出下列命题，其中正确命题有（       ）

A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面

D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

【答案】ACD

【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.

【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；

选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；

选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，

又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；

选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

三、填空题

13．已知空间向量，，若，则实数x的值为______________.

【答案】1

【分析】根据向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，向量，，

因为，即，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14．已知向量，则_____

【答案】

【分析】根据向量的模的坐标运算运算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，可得.

故答案为：.

15．无论为何值，直线必过定点坐标为__

【答案】

【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.

【详解】根据题意，直线，即，

变形可得，联立方程组，解得，

即直线必过定点.

故答案为：.

16．在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆外的一个动点，直线分别切圆于两点．若直线过定点（1，1），则线段长的最小值为____________．

【答案】

【解析】根据圆，设，分别求得过A点和B点的圆C的切线方程，再根据点P在过A、B的圆C的切线上，得到直线AB的方程，由直线过定点（1，1），得到的关系，然后由，利用二次函数求解.

【详解】由圆，得，

设，

当时，则过A点的圆C的切线方程为：

，

整理得：，①

若，则或，

，切线方程为，满足①方程，

，切线方程为，满足①方程，

过A点的圆C的切线方程为，

同理过B点的圆C的切线方程为，

又点P在过A、B的圆C的切线上，

所以，，

所以直线AB的方程为：，

又直线过定点（1，1），

所以，

即，

所以，

当时，线段的长取得最小值，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及两点间的距离的最值，属于较难题．

四、解答题

17．求符合下列条件的直线l的方程：

(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；

(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；

(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.

【答案】(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；

(2)根据直线两点式或点斜式方程即可求解；

(3)分类讨论直线过原点与不过原点，根据点斜式或截距式方程即可计算﹒

【详解】(1)所求直线过点，且斜率为，，即.

(2)所求直线过，

，

，即.

(3)当直线过原点时，设直线方程为，

直线过点，

，直线方程为，即2x－3y＝0；

当直线不过原点时，设直线方程为，

将点代入上式得，，解得，

故直线的方程为，

综上，直线方程为或.

18．已知，，，．

(1)求实数x的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）向量坐标化，根据向量平行的坐标表示得到，列式得结果即可；（2）向量坐标化，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.

【详解】(1)，，

列式得到

(2)若

，

由向量垂直的坐标表示得到：

解得.

19．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．

【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．

【分析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；

(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．

【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，

圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，

圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，

则有，解可得b＝2；

则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，

则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；

(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC，

则切线的斜率k＝2，

则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．

【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．

20．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，点D是AB的中点.求证：

(1)

(2)平面.

(3)若，求直线与平面所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据给定条件，证明平面，结合线面垂直的性质推理作答.

（2）证明，再利用线面平行的判断推理作答.

（3）根据给定条件，确定直线与平面所成的角，再借助三角形计算作答.

【详解】(1)在直三棱柱中，平面，平面，则，

而AC⊥BC，，平面，则有平面，又平面，

所以.

(2)令，连OD，如图，矩形中，O是中点，而点D是AB的中点，

则，又平面，平面，

所以平面.

(3)在直三棱柱中，平面，平面，则，

因，点D是AB的中点，则，连，又，平面，

于是得平面，而平面，因此，平面平面，

则是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，

而，因此，，

所以直线与平面所成角的正切值是.

21．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.

【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

，易知平面的一个法向量为，

，则，

平面，故平面；

（2）设平面的法向量为，，，

由，得，取，可得，

所以，，故平面.

22．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标.

(3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，；

(3)证明见解析，.

【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.

（2）在直线n的斜率存在时，设其方程，再与圆C的方程联立，借助韦达定

理及已知探求k，t的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.

（3）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.

【详解】(1)依题意，圆C的半径，

所以圆C的标准方程是：.

(2)当直线n的斜率不存在时，设，由直线AM，AN的斜率之积为2，得，

即，又由点M，N在圆C上得，消去b得：，

而，则，此时，因此，无解，

当直线n的斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：

，设，

则，，直线斜率，直线斜率，

则

，整理得，此时直线n：过定点，

所以直线n过一个定点，该定点坐标是.

(3)设直线方程为：，由消去y并整理得：，

则有点，而直线：，同理，

于是得直线的斜率，

所以直线m的斜率是定值，该定值为.

【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方程联立，

借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.