2022年天津市红桥区中考数学结课试卷 (word版含答案)

这是一份2022年天津市红桥区中考数学结课试卷 (word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年天津市红桥区中考数学结课试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）cos30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝2x2 C．y＝ D．y＝
4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanC＝ D．cosC＝
6．（3分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（　　）

A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8
8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
9．（3分）关于某个函数的解析式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数的解析式可能是（　　）
A．y＝x2 B．y＝﹣x C．y＝ D．y＝﹣
10．（3分）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan45°的值等于 　 　．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为 　 　．
15．（3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　 　．
16．（3分）若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为　 　．
17．（3分）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC＝　 　．

18．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，若AD＝2，AC＝3，BC＝5，求BD，CD的长．

20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值．

21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支．
（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；
（Ⅱ）点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上．
①判断点B（3，﹣2），C（4，﹣2），D（1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？

22．（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．

23．（10分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点A处测得小岛C在它的北偏东53°方向，此时轮船与小岛C相距25nmile，继续航行到达点B处，测得小岛C在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离BC和轮船航行的距离AB（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）连接BC，当∠ODB＝2∠BCO时，求直线PB的解析式；
（Ⅲ）连接AC，与PB相交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标．

2022年天津市红桥区中考数学结课试卷
（教师解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）cos30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：cos30°＝．
故选：B．
此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝2x2 C．y＝ D．y＝
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：A、y＝3x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y＝不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y＝（k≠0）是解题的关键．
4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：主视图：底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
俯视图：底层右侧是两个小正方形，上层左侧是两个小正方形；
故选：B．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanC＝ D．cosC＝
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanC＝，cosC＝．
故选：C．
本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
6．（3分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：A．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（　　）

A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8
【分析】根据△CBF∽△ABE，可以求得CF的长，根据平行四边形的性质可以得到CD的长，然后即可计算出DF的长．
【解答】解：∵△CBF∽△ABE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，
∴BC＝AD＝6，AE＝3，AB＝CD＝10，
∴，
解得CF＝1.8，
∴DF＝CD﹣CF＝10﹣1.8＝8.2，
故选：A．
本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出CF的长．
8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据k＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限，
∴y2＜y1＜y3；
故选：D．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
9．（3分）关于某个函数的解析式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数的解析式可能是（　　）
A．y＝x2 B．y＝﹣x C．y＝ D．y＝﹣
【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项C不符合题意；
又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限，故选项A不符合题意；
对于函数y＝﹣x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项B不符合题意；
对于函数y＝﹣，图象过点（﹣1，1），函数图象经过第四象限，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意．
故选：D．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
10．（3分）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由作法得OD＝OC，DO＝DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD＝∠ODC＝70°，∠DEO＝∠DOE＝40°，然后利用三角形外角性质计算∠CDE的度数．
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，
∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC
【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，可证明△A1BF≌△CBE，从而可得A1E＝CF，即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，
∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C，
在△A1BF和△CBE中
，
∴△A1BF≌△CBE（ASA），
∴BF＝BE，
∴A1B﹣BE＝BC﹣BF，即A1E＝CF，故B正确，
其它选项的结论都不能证明，
故选：B．
本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握掌握旋转的性质，证明△A1BF≌△CBE．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由图象知，a＜0，c＞0，因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，可得﹣，所以b＝2a＜0，可得abc＞0，可判断①；利用a+b+c＝0，可得2a+c＝b+c＝﹣a，即可判断②；由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，即函数的最大值为a﹣b+c，进而可判断③；由图象可知，当x＝﹣3时，抛物线取得最小值，当x＝﹣1时，抛物线取得最大值，故当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a，可判断④．
【解答】解：由图象知，a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线过点A（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a．
则2a+c＝b+c＝﹣a＞0，
故②正确；
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
∴函数的最大值为a﹣b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a．
故③正确；
由抛物线的对称性可知，抛物线过点（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，抛物线取得最小值为0，
当x＝﹣1时，抛物线取得最大值为﹣4a．
∴当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a．
故④错误．
∴正确的结论有3个．
故选：D．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan45°的值等于 　1　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值，得出答案．
【解答】解：tan45°＝1．
故答案为：1．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为 　　．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：∵盒子中装有5个红球，3个白球，共有8个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故答案为：．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．（3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　y＝﹣　．
【分析】先设y＝，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【解答】解：设y＝，
把点（1，﹣2）代入函数y＝得k＝﹣2，
则反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为y＝﹣．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16．（3分）若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为　4　．
【分析】根据抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，
∴△＝42﹣4×1×k＝0，
解得，k＝4，
故答案为：4．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（3分）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC＝　105°　．

【分析】连接OB，根据题意得出∠AOB＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝45°，根据三角形内角和即可求解．
【解答】解：如图，连接OB，

∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故答案为：105°．
本题考查圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为 　　．

【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5．
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE＝∠DFH，
∴∠DFH＝∠A，
设DH＝3x，
在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sinA＝，
∴DF＝5x，
∴BD＝5﹣5x，
∵△BDH∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴AD＝5x＝．
故答案是：．

本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，若AD＝2，AC＝3，BC＝5，求BD，CD的长．

【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AB＝，DC＝，
∴BD＝AB﹣AD＝﹣2＝，
∴BD的长为，CD的长为．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值．

【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝
＝
＝2，
sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA是解题的关键．
21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支．
（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；
（Ⅱ）点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上．
①判断点B（3，﹣2），C（4，﹣2），D（1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？

【分析】（Ⅰ）根据反比例函数图象的一支在第二象限，可确定另一分支，并根据m﹣2＜0，求出m取值范围；
（Ⅱ）将点A代入反比例函数解析式，求出m＝﹣4，①根据反比例函数解析式即可判断点在不在反比例函数图像上；②根据反比例函数增减性比较即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支在第二象限，
∴另一支在第四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2；
（Ⅱ）∵点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上，
∴2×（﹣3）＝m﹣2，
解得m＝﹣4，
∴反比例函数解析式，
①点B，D在反比例函数图象上，点C不在，理由如下：
∵3×（﹣2）＝﹣6，
∴点B在反比例函数图象上，
∵4×（﹣2）＝﹣8≠﹣6，
∴点C不在反比例函数图象上，
∵1×（﹣6）＝﹣6，
∴点D在反比例函数图象上，
综上，点B，D在反比例函数图象上，点C不在；
②∵﹣6＜0，
∴反比例函数在每一分支上，y随着x增大而增大，
∵x1＜x2，
∴y1＜y2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
22．（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．

【分析】（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC＝∠DAC＝30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB＝90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°；

（Ⅱ）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B，
∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝90°+18°＝108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣72°＝18°．

此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23．（10分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点A处测得小岛C在它的北偏东53°方向，此时轮船与小岛C相距25nmile，继续航行到达点B处，测得小岛C在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离BC和轮船航行的距离AB（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，由sin37°＝，cos37°＝，求出CD与AD的长，再由△BDC是等腰直角三角形，得CD＝BD，BC＝CD，即可得出结果．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠CDA＝∠CDB＝90°，
由题意得：∠CAD＝37°，∠CBD＝45°，AC＝25nmile，
在Rt△ADC中，sin∠CAD＝，cos∠CAD＝，
∴CD＝sin37°×AC≈0.60×25＝15（nmile），AD＝cos37°×AC≈0.8×25＝20（nmile），
∵∠CBD＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，BC＝CD≈1.414×15≈21.2（nmile），
∴AB＝AD+BD＝AD+CD≈20+15＝35（nmile），
答：此时轮船与小岛的距离BC约为21.2nmile，轮船航行的距离AB约为35nmile．

本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）连接BC，当∠ODB＝2∠BCO时，求直线PB的解析式；
（Ⅲ）连接AC，与PB相交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求出答案；
（Ⅱ）由∠ODB＝2∠BCO以及三角形外角的性质可得∠CBD＝∠BCO，则BD＝CD，设OD＝a，则CD＝4﹣a，BD＝4﹣a，运用勾股定理可求得a＝，得出D（0，），再利用待定系数法即可求出答案；
（Ⅲ）过点P作PE⊥x轴于E，与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，利用待定系数法求出直线AC表达式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，进而得出，设P（t，﹣t2﹣3t+4）（﹣4＜t＜0），则N（t，t+4），从而得到＝，利用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；

（Ⅱ）如图，

∵∠ODB＝2∠BCO，ODB＝∠BCO+∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCO，
∴BD＝CD，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
设OD＝a，则CD＝4﹣a，
∴BD＝4﹣a，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD2＝OD2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴D（0，），
设BP所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；

（Ⅲ）如图，过点P作PE⊥x轴于E，与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，

设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴，
设P（t，﹣t2﹣3t+4）（﹣4＜t＜0），则N（t，t+4），
∴＝＝，
∴当t＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．
本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．