2022届湖南师范大学附属中学高考模拟（一）数学试卷及参考答案

湖南师大附中2022届模拟试卷（一）

数  学

注意事项：

 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，若，则符合条件的所有实数m组成的集合是（       ）

A． B． C． D．

2．已知，，则角所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设随机变量～N（μ，1），若函数没有零点的概率是0.5，则（       ）

 附：若，

 则，．

A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413

4．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则C的离心率的取值范围是（       ）

A．（1，2） B．（1，3） C．（2，3） D．（3，）

5．在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知圆C1：与圆C2：的公共弦所在直线经过定点P，且点P在直线上，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（       ）

A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面

C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面

8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（       ）

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x＞3”，则下列结论正确的是（       ）

A．A与B互斥  B．A与B对立

C．  D．A与C相互独立

10．已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（       ）

А．  B．（）

C．的图象关于点（，0）对称 D．为偶函数

11．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面AED1，则（       ）

A．点F的轨迹是一条线段 B．直线A1F与BE可能相交

C．直线A1F与D1E不可能平行 D．三棱锥F−ABD1的体积为定值

12．已知正数x，y，z满足，则（       ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x=2+i（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则实数a的值为________．

14．已知函数，若正数a，b满足，则的最小值为________．

15．已知点A，B在椭圆C：上，O为坐标原点，直线OA与OB的斜率之积为，设，若点P在椭圆C上，则的值为________．

16．已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求角A的值；

（2）在①MC=2MB，②S△ABM=，③sin∠MBC=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．

18．（本小题满分12分）

 设数列的前n项和为，已知，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．

（1）若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置；

（2）若AP=AD，AB=AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

 已知F为抛物线C：（）的焦点，直线l：y=2x+1与C交于A，B两

点．且|AF|＋|BF|=20．

（1）求C的方程；

（2）设动直线m平行于直线l，且与C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．

21．（本小题满分12分）

 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．

（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

22．（本小题满分12分）

 已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．