湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题

湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则的虚部为（       ）

A． B．1 C． D．

2．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

3．若椭圆的离心率为，则的值为（       ）

A． B． C．或 D．或

4．如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（       ）

A． B． C． D．

5．设，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

7．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（       ）

A． B．

C． D．

8．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知集合，若，则的取值可以是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．在研究某种产品的零售价（单位：元）与销售量（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：

利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（       ）A．与的样本相关系数

B．回归直线必过点

C．

D．若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是万件

11．函数在一个周期内的图象可以是（       ）

A． B．

C． D．

12．数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，.记的前项和为，则下列说法中正确的有（       ）

A．若，则

B．中可能出现连续五项构成等差数列

C．对任意小于的正整数，存在正整数，使得

D．对中任意一项，必存在，使得按照一定顺序排列可以构成等差数列

三、填空题

13．若平面向量满足，则___________.

14．若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.

15．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________.

四、双空题

16．三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为___________；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为___________.

五、解答题

17．公差不为零的等差数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)记的前项和为，求使成立的最大正整数.

18．某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.

(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；

(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为，求的分布列及期望.

19．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.

20．如图，内一点满足.

(1)若，求的值；

(2)若，求的长.

21．已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.

(1)求的方程；

(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.

22．定义在上的函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

先化简求出，即可得出答案.

【详解】

因为，所以的虚部为.

故选：C.

2．B

【解析】

【分析】

利用中间值结合单调性判断两数的大小．

【详解】

∵，， ，∴．

故选：B

3．C

【解析】

【分析】

分和，利用离心率的定义求解.

【详解】

解：当，即时，则，解得；

当，即时，则，解得，

综上：的值为或，

故选：C

4．B

【解析】

【分析】

正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，正四棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高为，由体积公式计算可得答案.

【详解】

该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为的正方形，

棱锥的高为，所以该正八面体的体积为.

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.

【详解】

解：

.

故选：A.

6．A

【解析】

【分析】

由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得，由，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

由圆的方程知：圆心；

直线过圆的圆心，；

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：A.

7．D

【解析】

【分析】

根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.

【详解】

依题意，定义在上的函数满足，

所以，

所以是周期为的周期函数.

故选：D

8．D

【解析】

【分析】

由题知，计算可得结果.

【详解】

切比雪夫不等式的形式为：，

由题知，

则的具体形式为.

故选：D.

9．AB

【解析】

【分析】

根据并集的结果可得，即可得到的取值；

【详解】

解：因为，所以，所以或；

故选：AB

10．BCD

【解析】

【分析】

对于A，根据相关系数的公式的特点即可求解；

对于B，C，根据已知条件，求出变量与的均值，再利用线性回归直线方程过样本中心，

即可得出回归方程，进而可以求解；

对于D，将代入该线性回归方程中即可求解.

【详解】

由表中数据可知

，

，

对于A，根据相关性系数的公式为，

故相关系数的正负取决分子

故A不正确；

对于B,C，由变量与的均值，得样本点的中心为，

所以样本点的中心必过线性回归方程，故B正确；

将代入中，得，解得，

所以，故C正确；

因为，所以回归直线方程为，

当时，，

所以该产品的零售价定为22元，可预测销售量是万件，故D正确.

故选：BCD.

11．AC

【解析】

【分析】

由函数，利用平移变换判断.

【详解】

函数，

其中，

因为，所以，即，

又函数是由向左或向右平移个单位得到的，

AC符合题意，

故选：AC

12．BCD

【解析】

【分析】

根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.

【详解】

对于A，根据条件可知，数列具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0.下面对讨论.

当为偶数（数列各个数非零），，

得，所以.

当为奇数（数列），，解得，故A错误；

对于B，显然满足，如，故B正确；

对于C，通过数列具有对称性知，对任意小于的正整数有，的值是该数列中的一项或两项，当值为一项时，因为任意小于正整数，故该项必定为中间项，数列刚好具备相邻两项差为该数列的某一项；如果为两项，显然直接找出其两项即可，故C正确；

对于D，考虑到数列，满足，

当时，；当时，由对称性，也成立，

例：.

故选：BCD

【关键点点睛】

解决本题的关键一是对称性的运用，二是通过举例来判断选项，三是分类讨论思想的运用.

13．0

【解析】

【分析】

由题意得，代入坐标进行计算即可．

【详解】

∵，∴，

又，，

∴，即，

故答案为：．

14．（答案不唯一，其它正确答案同样给分）

【解析】

【分析】

取，验证函数为偶函数且值域为即可.

【详解】

取，函数的定义域为且关于原点对称，

，所以函数为偶函数.

，即

所以函数的值域为.

故答案为：（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.

15．

【解析】

【分析】

以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意求出可得答案.

【详解】

如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，

，，

所以，解得，

所以，

所以.

故答案为：.

16．     ##     ##

【解析】

【分析】

取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.

【详解】

取中点，连接，

因为，，所以，且，

因为是等腰直角三角形，所以，且，

又，满足，所以，

因为，所以平面，

因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设,

则，

则，

设，则可得，

则，则，

所以，

所以,

所以,

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

则，

所以，

所以，令，解得，

又，所以在单调递增，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，即的最小值为.

故答案为：；.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）设的公差为，利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；

（2）由等差数列求和公式可求得，由可构造不等式组求得的范围，由此可得结果.

(1)

设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

(2)

由（1）得：，

若，，即，

解得：；

成立的最大正整数.

18．(1)；

(2)分布列答案见解析，数学期望：.

【解析】

【分析】

（1）依题意，利用古典概型的公式计算求解；

（2）利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.

(1)

设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A.

则；

(2)

可能取值为，

则；，

故的分布列是

故

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值.

(1)

取中点，由题意，，

又，故.

又，故，

所以四边形为平行四边形，则.

由平面，故平面，

又面，故平面平面.

(2)

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，

故

设平面的法向量

而，

故，令，得

设所求角的大小为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函数基本关系式求出，最后利用两角差的正弦公式计算即可

（2）设 ，在与采用余弦定理与正弦定理，然后利用与的关系列出关于 的方程，解出 即可

(1)

，此时.

在中，，

又，故

所以

(2)

设，在中，.

在中，，代入得：.

又，故.

即，解得：，所以.

21．(1)

(2)16

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的定义可知，，即可列式求；

（2）首先设直线的方程为：，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点的坐标，利用弦长公式求，再利用，求，最后表示四边形的面积，再通过换元，利用导数求函数的最值.

(1)

设抛物线焦点，由题意，故，解得：.

故抛物线的标准方程为.

(2)

由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设点，，联立得：，由，得

，联立得：，由，得

因为，用代替，得.

故四边形面积.

令.

设函数，故单调递增.

故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；

（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.

(1)

当时，，故.

曲线在点处的切线的斜率为，

曲线在点处的切线方程为，

令.所以切线与轴的交点.

此时所求三角形的面积为.

(2)

当时，.

由函数在区间上递增，且值域为，

故存在唯一，使得.

此时当时，单调递减；

当时，单调递增，因此.

同理，存在唯一，使得.

此时当时，单调递增；

当时，单调递减，因此.

由.

同理：.

由，整理得：.

又，故，则有

由，故或.

又，当时，不满足，舍去.

所以，即，则.

综上所述，.

【点睛】

解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.