贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年八年级（下）第一次联考数学试卷（含解析）

贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年八年级（下）第一次联考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列根式中是最简二次根式的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列二次根式的运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 若、、为勾股数，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

4. 如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是

A.
B.
C.
D.

5. 若，则的整数部分是

A.  B.  C.  D.

6. 一旗杆在其的处折断，杆顶点触地，量得米，则旗杆原来的高度为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为

A.
B.
C.
D.

8. 九章算术中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺．若设折断处离地面的高度为尺，则可以列出关于的方程为

A.  B.
C.  D.

9. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

10. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图已知云梯最多只能伸长到，消防车高救人时云梯伸长至最长，在完成从高处救人后，还要从高处救人．这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离为

1. 
   米 B. 米 C. 米 D. 米

二．填空题（本题共10小题，共40分）

11. 化简：______；______．
12. 若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为______．
13. 函数的自变量的取值范围是______．
14. 计算的结果为______．
15. ，则点在第______象限．
16. 若，，那么的值为______．
17. 如图，实数、在数轴上的位置，化简______．

18. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是______．
     

19. 如图，在平面直角坐标系中有一个，顶点，，，若是轴上的动点，则的最小值为______．

20. 如图所示的四边形图案是用个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为，四边形的面积为，若用、表示直角三角形的两直角边；下列四个结论：
    ；；；．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三．计算题（本题共2小题，共24分）

21. 计算：
    ；
    ．
22. 先化简，再求值，其中．

四．解答题（本题共4小题，共46分）

23. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
    求证：是直角三角形；
    求四边形的面积．
     

24. 在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的矩形，求剩余部分图形的面积．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接．
    证明：≌；
    若，，求的长．
     

26. 阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
    一；
    二；
    三以上这种化简的方法叫分母有理化．
    请用不同的方法化简：
    参照二式化简______．
    参照三式化简______．
    化简：．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据算术平方根的计算方法可以判断；根据二次根式除法可以判断；根据二次根式的加法可以判断；根据二次根式的乘法可以判断．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、、为勾股数，
当最大时，此时，
当时最大时，，不能构成勾股数，
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数求解即可．
本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．
 

4.【答案】

【解析】解：设，
连接，，
在中，，
在中，，
，
，
即，
解得，即，
故选：．

连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值．
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
 

5.【答案】

【解析】解：



，
，
，
的整数部分是，
故选：．
先化简，再估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，分母有理化，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
可设 米，则 米，进而在 中，利用勾股定理求解 的值即可．
本题考查勾股定理的应用，能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形是本题解题的关键．
【解答】
解：设 米，则 米，
由题意可得， ，
即 ，解得 ，
所以旗杆原来的高度为 米，
故选 D ．   

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是坐标与图形的性质，勾股定理，根据题意利用勾股定理求出 的长是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出 的长，由于 ，故计算出 的长，再根据点 在 轴的负半轴上即可得出结论．
【解答】
解： 点 坐标为 ，
，
点 、 均在以点 为圆心，以 为半径的圆上，
，
点 在 轴的负半轴上，
点 的横坐标是 ．
故选 D ．   

8.【答案】

【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为尺，
竹梢到折断处的长度为尺．
依题意得：．
故选：．
由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意可得：，海里，，
故AB海里，
则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为：海里
故选：．
根据题意得出：，海里，，再利用勾股定理得出的长，求出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离为，
故选：．
在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
故答案为：，．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

12.【答案】或

【解析】解：，
且，
则，，
当是直角边时，斜边长，
当是斜边时，另一条直角边，
综上，第三条边长为或，
故答案为：或．
根据非负数的性质分别求出、，分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案．
本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：
且，
且，
函数的自变量的取值范围是：，
故答案为：．
根据以及分母不能为，进行计算即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握以及分母不能为，是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：



．
故答案为：．
根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
 

15.【答案】一

【解析】解：，
，，
，，
，
得：，
解得：，
把代入得：
，
，
原方程组的解为：，
点在第一象限，
故答案为：一．
根据绝对值和偶次方的非负性，列出关于，的二元一次方程组，解出方程组即可判断．
本题考查了解二元一次方程组，绝对值和偶次方的非负性，点的坐标，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，



，
故答案为：．
根据完全平方公式可得，然后把，的值代入进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：由题意，得，
则 ．
故答案为．
先根据数轴得出，再根据立方根、二次根式的性质化简即可．
此题考查了实数与数轴，立方根与二次根式的性质，得出是解题的关键，本题难度适中．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，
当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，
此时就是圆柱形的高，
即；
当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，
即线段的长，
在中，

，
此时，
所以．
故答案为：．
如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，此时就是圆柱形的高；当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在中即可求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则为的最小值．
分别过、作轴、轴的垂线交于点，
在中，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，则为的最小值．根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：为直角三角形，
根据勾股定理：，
故正确；
由图可知，，
故本正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即；
故本正确；
由可得，
又，
得，，
整理得，，
，
故正确．
正确结论有．
故答案为：．
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
本题考查了勾股定理的证明及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：

；



．

【解析】先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式


，
当时，
原式

．

【解析】【试题解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

23.【答案】证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
解：，，
．

【解析】根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答．
 

24.【答案】解：剩余部分的面积为：


 

【解析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
此题考查了二次根式的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：过点作于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．

【解析】根据角的和差得到，即可利用证明≌；
过点作于点，根据等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式、勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质是解题的关键．
 

26.【答案】 ；
   ；
原式．

【解析】解：；
故答案为：；
；

故答案为：；
见答案．
原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；
原式各项分母有理化，计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．