黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022届高三第三次模拟数学（文）试题-f0152568ab3d41f0937fb2bec2b70f2d

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绝密★启用前黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022届高三第三次模拟数学（文）试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分    注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．2．设复数，满足，，则（       ）A． B． C． D．43．下列说法正确的是（       ）A．“，”的否定为“，”B．“”是“”的必要条件C．若，则的逆命题为真命题D．若“”是“”的充分条件，则4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．5．若满足约束条件则的最小值为（       ）A．18 B．10 C．6 D．46．（       ）A． B． C． D．7．在区间上任取一个实数，则使得直线与圆有公共点的概率是（       ）A． B． C． D．8．设，，若，则的最小值为（       ）A． B． C． D．9．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（       ）A． B． C． D．10．已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．11．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题13．已知球的直径为2，则该球的体积是______.14．在△ABC中，已知，，，则等于______．15．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且△ABC的面积为，则a等于______．16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.评卷人得分  三、解答题17．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：（1）通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)（2）根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩(单位：分)等级合格中等良好优秀 现已从高一､高二两个年级成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出位同学参加座谈会，要再从这位同学中任意选出人发言，求这人来自不同年级的概率.18．设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.19．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点．（1）证明：平面；（2）若，，求三棱锥的体积．20．已知函数，为的导数．(1)求；(2)证明：在区间上存在唯一零点．21．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)已知点，设曲线与曲线的交点为、，当时，求的值.23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若，求的最小值.
参考答案：1．B【解析】【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B .2．A【解析】【分析】设利用已知条件求得：，ac+bd=-2.由模的计算公式得到.【详解】设因为,所以.又,所以则ac+bd=-2，所以故选:A.3．C【解析】【分析】根据命题的否定，四种命题以及命题的充分必要性逐一进行判断.【详解】对于A，，的否定为，，故A错误；对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，若，则的逆命题为若，则，因为时，所以成立，故C正确；对于D，由得，若是的充分条件，则，故D错误，故选：C.4．B【解析】【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.5．C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.6．D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.7．C【解析】【分析】先根据直线与圆由公共点求出k的范围，利用几何概型求概率.【详解】解：圆的圆心为，半径为1．要使直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得：．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为：．故选：C．【点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：①几何法：比较d（圆心到直线的距离）与r（半径）的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式判断；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比进行计算.8．B【解析】【分析】利用基本不等式计算求解即可.【详解】，当且仅当，即，时“＝”成立．故选：B.【点睛】思路点睛:（1）已知，求的最值的方法是＝，然后展开，结合基本不等式求得；（2）已知，求的最值的方法类似上面解法，即＝，然后结合基本不等式求解．9．A【解析】【分析】首先判断的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由得的图象关于对称，因为，定义域为，且，所以为奇函数，即也关于对称，则函数与图象的交点关于对称，则不妨设关于点对称的坐标为，则，则，即，故选：．10．B【解析】【分析】易证平面，得到为直线与平面所成角求解.【详解】如图所示:设正方体的边长为，则，故，即，∴，连接，，∴，则点在上且为中点，连接与交于，连接，可知平面，则为直线与平面所成角，在直角三角形中，∴.故选：B.11．A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.12．C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．13．【解析】【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：,故答案为：14．6【解析】【分析】先判断出△ABC为直角三角形，再利用表示，从而可求的值.【详解】因为，故，故，化简，又，所以即，故，故答案为：6.15．【解析】【分析】利用面积公式求出c，再用余弦定理即可求出a.【详解】在△ABC中，，，且△ABC的面积为，所以,即，解得：.由余弦定理得：.故答案为：.16．##【解析】【分析】作出异面直线和所成角，利用余弦定理计算出其余弦值.【详解】如图，连接AD1，CD1，则∠D1AC(或其补角)就是异面直线AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝，CD1＝，由余弦定理得cos ∠D1AC＝＝.故答案为：17．（1）高二年级的学生学习效果更好；（2）.【解析】【分析】（1）根据茎叶图的特点，结合平均数、数据的集中情况进行分析即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式用列法法进行求解即可.【详解】（1）由图知：高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级考核成绩的平均分；高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的同学成绩比较分散.高二年级的学生学习效果更好.（2）由图知：高一､高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为，，若用分层抽样法抽出人，则应从高一､高二两个年级各抽出人､人.设“位同学任意选出人发言，这人是来自不同年级的同学”为事件.将高一选出的人记为；､，高二选出的人记为：，，.可得，，，，，，，，，共有10种选法，事件包含､､､､､共有种..选出的人是来自不同班的同学的概率等于.18．（1）（）（2）【解析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前项和,难度不大.19．（1）证明见解析   （2）【解析】【分析】（1）连接BD交AC于F，连接EF，证明EF∥PB得到结论.（2）先确定AP⊥BP且△ABC为正三角形，取AB中点M，连接PM、CM，证明PM⊥平面ABCD，根据得到答案.【详解】（1）连接BD交AC于F，连接EF∵四边形ABCD为菱形，∴F为AC中点，那么EF∥PB又∵平面ACE，平面ACE∴PB∥平面ACE；（2）由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC为正三角形，∵E为DP中点，∴，取AB中点M，连接PM、CM，由几何性质可知PM＝1，，又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB，∴PM⊥平面ABCD，∴，∴．【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．(1)0(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）直接代入求解；（2）利用导数判断出在区间上的单调性，利用零点存在定理证明出在区间上存在唯一零点．(1)因为，所以.(2)函数的导函数为.而的导函数为.,随x的变化而变化的情况如下表：x0 + - 0单增单减-2 由于,,根据函数零点存在定理,，使.结合单调性可知在区间上没有零点,在区间上有唯一零点.因此, 在区间上存在唯一零点21．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：       联立得：则       ，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则       ，              ，       则【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.22．(1)；椭圆；(2).【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答.（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，利用几何意义计算作答.(1)把代入得：，即，所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.(2)由（1）知，把方程代入并整理得：，设点、所对参数分别为，于是得，，由直线参数方程的几何意义知：，解得，而，于是得，所以的值是.23．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解时对应的不等式即可；（2）由得，利用绝对值三角不等式处理即可.【详解】当时，不等式转化为:或或解得: 或无解或所以的解集为：（2）由得：由，得：得（当且仅当或时等号成立），故的最小值为.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.