安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-20解答题基础必刷60题②

这是一份安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-20解答题基础必刷60题②，共28页。试卷主要包含了两点，与x轴交于点C，的性质时，，且对称轴为直线x＝1等内容，欢迎下载使用。
20解答题基础必刷60题②

一十一．规律型：点的坐标（共2小题）
21．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…
（1）由题意可知：P1＝3、S1＝；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3＝；则P4＝　 　、S4＝　 　；
（2）P7﹣S7＝　 　；
（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．
【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x＝】

22．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 　 　，An的坐标为 　 　用含n的代数式表示；
（2）若护栏长为2020，则需要小正方形 　 　个，大正方形 　 　个．
一十二．一次函数的性质（共1小题）
23．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…
猜想并填空：
（1）S5＝　 　；
（2）Sn＝　 　（用含n的式子表示）；
（3）S1+S2+S3+…+Sn＝　 　（用含n的式子表示，要化简）．

一十三．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
24．（2022•东至县模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，点B（12，4）．若反比例函数的图象经过A，M两点，求：
（1）点M的坐标及反比例函数的解析式；
（2）△AOM的面积；
（3）平行四边形OABC的周长．

一十四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
25．（2022•蜀山区二模）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k、b、m的值；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．

26．（2022•来安县一模）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（a，8），过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝的图象交于点B，连接OA，OB，且△AOB的面积为10．
（1）求k1，k2的值；
（2）已知点M是x轴上一点，且位于点C的右侧，若S△MOB＝S△MAB，求点M的坐标．

27．（2022•安徽模拟）如图，正比例函数y＝2x的图象与双曲线y＝（其中x＞0）交于点A，点B在该双曲线上，分别过点A，B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，梯形AMNB的面积为15．求点B的坐标．

一十五．二次函数的性质（共1小题）
28．（2022•包河区二模）在函数学习中，我们经历了列表，描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y＝ax3+x2（a≠0）的性质时．列表和描点的部分过程．请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0

m

n

0

…
（1）表格中m＝　 　；n＝　 　；并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；
（2）结合图象，直接写出x+3≤ax3+x2的解集为：　 　．

一十六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
一十七．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
30．（2022•涡阳县二模）已知直线与x轴交于A点、与y轴交于B点，点P是线段AB上任意一点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设P点的坐标为（m，n），且以P为顶点的抛物线W经过C（﹣2，0）和D（d，0），求m与n的函数关系式及△PCD面积的最大值．
一十八．二次函数的应用（共3小题）
31．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
32．（2022•安庆模拟）如图所示，“大跳台滑雪”运动中，运动员的起跳高度OA为86米，在平面直角坐标系xOy中，运动员自“起跳点A”起跳后的运行轨迹（图中虚线部分）的表达式为y＝ax2+x+86（a＜0），线段MN为“着落坡”，其表达式为y＝﹣x+110，“着落坡”上的起评分点为“K点”，“K点”离y轴的水平距离是115米．
评分规则规定：当运动员的着落点H离y轴的水平距离与“K点”离y轴的水平距离之差为m米时，该运动员所得的“距离分”为60+1.8m．
（1）某运动员的“距离分”为69分，求该运动员的将落点H离y轴的水平距离；
（2）当运动员的“距离分”为69分时，a的值是多少？
（3）当运动员的“距离分”为69分时，运动员运行的最高点离x轴的距离是多少？

33．（2022•东至县模拟）为了疫情防控需求，某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元时，则每周可售出160个．后经调查发现，销售定价每增加1元时．每周的销售量将减少10个．若商店准备把这种额温枪销售价定为每个x元（x≥42），每周的销售获利为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售额温枪获利最大；
（2）若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元，求这种额温枪的销售单价．
一十九．勾股定理（共2小题）
34．（2022•安庆模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E，直线AM与⊙O相切于点A，交CB延长线于M，弦BD∥AM．
（1）求证：∠MAB＝∠ACD；
（2）若AB＝5，BD＝8，求⊙O的半径．

35．（2021•淮南一模）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．

二十．三角形中位线定理（共1小题）
36．（2022•定远县模拟）如图，已知△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB＝GD；
（2）当CG＝EG时，且AB＝2，求CE．

二十一．垂径定理（共1小题）
37．（2022•安徽模拟）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．
（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．

二十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
38．（2022•宣城模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE．
（1）证明：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长．

二十三．切线的性质（共2小题）
39．（2022•涡阳县二模）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC＝6，CD＝3．
（1）求⊙A的半径；
（2）用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．

40．（2022•安徽模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．





【参考答案】
一十一．规律型：点的坐标（共2小题）
21．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…
（1）由题意可知：P1＝3、S1＝；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3＝；则P4＝　15　、S4＝　8　；
（2）P7﹣S7＝　　；
（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．
【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x＝】

【解析】解：（1）∵P1＝1+2＝3、S1＝＝；P2＝1+2+3＝6、S2＝＝2；P3＝1+2+3+4＝10、S3＝＝...，
∴可以发现规律，Pn＝1+2+3+...+（n+1）＝，Sn＝，
∴P4＝15，S4＝8，
故答案为：15，8；
（2）根据规律可知，P7＝＝36，S7＝＝，
∴P7﹣S7＝36﹣＝，
故答案为：；
（3）∵Pn﹣Sn＝﹣＝，
∴2022＝，
∴n＝，
∵不是整数，
∴Pn﹣Sn的值不会等于2022．
22．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 　（8，2）　，An的坐标为 　（3n﹣1，2）　用含n的代数式表示；
（2）若护栏长为2020，则需要小正方形 　674　个，大正方形 　673　个．
【解析】解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），
∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3，
∴A3（5+3，2），An（2+，2），
即A3（8，2），An（3n﹣1，2），
故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；

（2）∵2020÷3＝673…1，
∴需要小正方形674个，大正方形673个．
一十二．一次函数的性质（共1小题）
23．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…
猜想并填空：
（1）S5＝　7×6﹣6×5　；
（2）Sn＝　（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；　（用含n的式子表示）；
（3）S1+S2+S3+…+Sn＝　n2+3n　（用含n的式子表示，要化简）．

【解析】解：（1）根据题意，得S5＝7×6﹣6×5；
故答案为：7×6﹣6×5；
（2）根据题意，得Sn＝（n+2）（n+1）﹣（n+1）n，
故答案为：（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；
（3）S1+S2+S3+…+Sn＝3×2﹣2×1+4×3﹣3×2+...+（n+2）（n+1）﹣（n+1）n
＝（n+2）（n+1）﹣2×1
＝n2+3n，
故答案为：n2+3n．
一十三．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
24．（2022•东至县模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，点B（12，4）．若反比例函数的图象经过A，M两点，求：
（1）点M的坐标及反比例函数的解析式；
（2）△AOM的面积；
（3）平行四边形OABC的周长．

【解析】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，对角线AC，OB交于点M，点B（12，4），
∴点M（6，2）．
将点M（6，2）代入y＝kx（x＞0）中，得k＝6×2＝12．
∴反比例函数解析式为y＝．
（2）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是平行四边形，点B（12，4），
∴点A的纵坐标为4，即AD＝4．
将y＝4代入y＝12x中，得x＝3，即点A（3，4）．
∴AB＝OC＝12﹣3＝9．
∴S△OAC＝OC⋅AD＝×9×4＝18．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝CM，
∴S△AOM＝S△OAC＝9．
（3）∵点A（3，4），AD⊥OC，
∴OD＝3，AD＝4．
在Rt△ODA中，．
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝9，
∴平行四边形OABC的周长为（9+5）×2＝28．

一十四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
25．（2022•蜀山区二模）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k、b、m的值；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．

【解析】解：（1）把A（1，6）代入y2＝得：
m＝6，
即反比例函数的表达式为y2＝（x＞0），
把B（3，n）代入y2＝得：n＝2，
即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，解得，
即一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）根据图象，当y1＞y2时x的取值范围：1＜x＜3；
（3）∵一次函数y＝﹣2x+8与x轴交于点 C，
∴C（4，0），
∵A（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，
∴CP＝4，
∴P（4，0）或（0，0）．
26．（2022•来安县一模）如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（a，8），过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝的图象交于点B，连接OA，OB，且△AOB的面积为10．
（1）求k1，k2的值；
（2）已知点M是x轴上一点，且位于点C的右侧，若S△MOB＝S△MAB，求点M的坐标．

【解析】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象过点A（a，8），
∴8＝2a，解得a＝4，
∴A（4，8），
∵过点A，
∴k1＝4×8＝32，
∴S△AOC＝＝16，
∵△AOB的面积为10，
∴S△BOC＝k2＝6，
∴k2＝12；
（2）设点M的坐标为（m，0），由S△MOB＝S△MAB，得，即，
解得m＝10，
故M的坐标为（10，0）．
27．（2022•安徽模拟）如图，正比例函数y＝2x的图象与双曲线y＝（其中x＞0）交于点A，点B在该双曲线上，分别过点A，B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，梯形AMNB的面积为15．求点B的坐标．

【解析】解：由解得或，
∴A（2，4），
∴OM＝2，AM＝4，
设B（m，），
∴ON＝m，BN＝，
∴MN＝m﹣2，
∵梯形AMNB的面积为15，
∴（AM+BN）•MN＝15，即（4+）×（m﹣2）＝15，
解得m＝8或m＝﹣1（舍去），
∴B（8，1）．
一十五．二次函数的性质（共1小题）
28．（2022•包河区二模）在函数学习中，我们经历了列表，描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y＝ax3+x2（a≠0）的性质时．列表和描点的部分过程．请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0

m

n

0

…
（1）表格中m＝　4　；n＝　2　；并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；
（2）结合图象，直接写出x+3≤ax3+x2的解集为：　﹣6＜x＜﹣2　．

【解析】解：（1）把x＝﹣1，y＝代入y＝ax3+x2（a≠0）得，﹣a+＝，
解得a＝，
∴y＝x3+x2，
当x＝﹣4时，y＝x3+x2＝4；
当x＝﹣2时，y＝x3+x2＝2；
∴m＝4，n＝2，
函数y＝x3+x2的图象如图所示：

故答案为：4，2；
（2）由图象可知，不等式x+3≤ax3+x2的解集为﹣6≤x≤﹣2．
故答案为：﹣6≤x≤﹣2．
一十六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），
∴9﹣6﹣c＝0，
∴c＝3，
∴b+c＝1；
（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣4≤x≤3，
∴当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，
∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，
∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，
则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h﹣）2﹣，
∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为﹣．
一十七．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
30．（2022•涡阳县二模）已知直线与x轴交于A点、与y轴交于B点，点P是线段AB上任意一点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设P点的坐标为（m，n），且以P为顶点的抛物线W经过C（﹣2，0）和D（d，0），求m与n的函数关系式及△PCD面积的最大值．
【解析】解：（1）当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，即＝0，
解得x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）．
（2）∵P在线段AB上，
∴n＝，
∴m与n的关系式为：n＝，
以P为顶点的抛物线W的对称轴为x＝m，
∵C（﹣2，0），D（d，0）是抛物线与x轴的两交点，
∴CD＝2（m+2），
∴＝，
∴当m＝＝2时，S△PCD取得最大值，最大面积为﹣2+4+6＝8．
∴△PCD面积的最大值是8．
一十八．二次函数的应用（共3小题）
31．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【解析】解：（1）根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克，
∴选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式．
故设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（1，380）、（2，400）代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝20x+360．
（2）设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是（100+a）千克，根据题意，
得＝+2，
整理，得，
a2+100a﹣300000＝0，
解方程，得，
a1＝500，a2＝﹣600，
经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
∴a＝500．
即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．
32．（2022•安庆模拟）如图所示，“大跳台滑雪”运动中，运动员的起跳高度OA为86米，在平面直角坐标系xOy中，运动员自“起跳点A”起跳后的运行轨迹（图中虚线部分）的表达式为y＝ax2+x+86（a＜0），线段MN为“着落坡”，其表达式为y＝﹣x+110，“着落坡”上的起评分点为“K点”，“K点”离y轴的水平距离是115米．
评分规则规定：当运动员的着落点H离y轴的水平距离与“K点”离y轴的水平距离之差为m米时，该运动员所得的“距离分”为60+1.8m．
（1）某运动员的“距离分”为69分，求该运动员的将落点H离y轴的水平距离；
（2）当运动员的“距离分”为69分时，a的值是多少？
（3）当运动员的“距离分”为69分时，运动员运行的最高点离x轴的距离是多少？

【解析】解：（1）由60+1.8m＝69，得m＝5，
该运动员的着落点H离y轴的水平距离为：115+5＝120（米）．
（2）当x＝120时，y＝﹣x+110＝﹣×120+110＝14，
∴H（120，14），
把H点坐标代入y＝ax2+x+86，
得14＝a×1202+×120+86，
解得：a＝﹣．
（3）由（1）（2）知，当运动员的“距离分”为69分时，运动员的运行轨迹为抛物线y＝﹣x2+x+86，
配方得y＝﹣（x2﹣48x）+86，
＝（x﹣24）2+90.8．
当x＝24时，取得最大值90.8，
即运动员运行的最高点离x轴的距离是90.8米．
33．（2022•东至县模拟）为了疫情防控需求，某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元时，则每周可售出160个．后经调查发现，销售定价每增加1元时．每周的销售量将减少10个．若商店准备把这种额温枪销售价定为每个x元（x≥42），每周的销售获利为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售额温枪获利最大；
（2）若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元，求这种额温枪的销售单价．
【解析】解：（1）根据题意知y＝（x﹣30）[160﹣（x﹣42）×10]，
整理，得y＝﹣10x2+880x﹣17400，
化为顶点式，得y＝﹣10（x﹣44）2+1960，
∵﹣10＜0，
∴当x＝44时，y有最大值，最大值为1960，
答：当销售定价为44元时，这周销售额温枪获利最大；
（2）当y＝1600时，代入y＝﹣10（x﹣44）2+1960中，
得﹣10（x﹣44）2+1960＝1600，
解得x＝50或x＝38（不符合题意舍去）．
答：该商店在某周销售这种额温枪共获利1600元时，其销售单价为50元．
一十九．勾股定理（共2小题）
34．（2022•安庆模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E，直线AM与⊙O相切于点A，交CB延长线于M，弦BD∥AM．
（1）求证：∠MAB＝∠ACD；
（2）若AB＝5，BD＝8，求⊙O的半径．

【解析】（1）证明：∵BD∥AM，
∴∠MAB＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠MAB＝∠ACD；
（2）连接OA，OB，设OA与BD交于点F，

∵直线AM与⊙O相切于点A，
∴∠OAM＝90°，
∵BD∥AM，
∴∠OAM＝∠OFB＝90°，
∴FB＝DF＝BD＝4，
∵AB＝5，
∴AF＝＝＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OBF中，BF2+OF2＝OB2，
∴42+（r﹣3）2＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
35．（2021•淮南一模）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．

【解析】证明：（1）连接OC，交BD于H，连接BO，

∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，
∵BD∥MN，
∴OC⊥BD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CBD；
（2）∵OC⊥BD，
∴BH＝HD＝BD＝4，
∴CH＝＝＝3，
∵OB2＝OH2+BH2，
∴OB2＝（OB﹣3）2+16，
∴OB＝，
∴⊙O的半径为．
二十．三角形中位线定理（共1小题）
36．（2022•定远县模拟）如图，已知△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB＝GD；
（2）当CG＝EG时，且AB＝2，求CE．

【解析】（1）证明：∵D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴∠ABF＝∠DGF，
在△ABF和△DGF中，
，
∴△ABF≌△DGF（AAS）
∴AB＝GD；
（2）解：∵AB＝2，
∴CD＝2，DE＝1，
∴GE＝3，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵CG＝EG，
∴∠GEC＝∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC＝∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得，CE＝．
二十一．垂径定理（共1小题）
37．（2022•安徽模拟）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．
（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．

【解析】（1）解：如图，连接OD，

∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，
∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，
由勾股定理得，OM＝＝＝4，
即OM的长为4；
（2）证明：如图，连接AC，

∵AG⊥BD，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DFG+∠D＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CEA＝90°，
∴∠C+∠EAC＝90°，
∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，
∴∠C＝∠AFC，
∴AF＝AC，
∵AB⊥CD，
∴CE＝EF．
二十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
38．（2022•宣城模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE．
（1）证明：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长．

【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AD⊥BC，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠AEB+∠BAF＝90°，
∴∠AEB＝∠AFD；
（2）解：过点B作BH⊥AE于H，
∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，
∴∠BFE＝∠AEB，
∴BE＝BF＝5，
在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝90°，
则AE＝＝＝5，
∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BH，
∴BH＝＝＝2，
∴EH＝FH＝＝，
∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣2EH＝3．

二十三．切线的性质（共2小题）
39．（2022•涡阳县二模）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC＝6，CD＝3．
（1）求⊙A的半径；
（2）用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．

【解析】解：（1）设⊙A的半径为r，则AB＝r，AC＝r+3，
∵BC与⊙A相切于点B，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝；
（2）如图所示，BE即为所求，
作法：①以B为圆心，AB长为半径画弧，
②以A为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接BP交⊙A于点E，
线段BE即为所求；

连接AE，过点A作AH⊥BE于点H，
则∠AEB＝90°，BE＝2BH，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAC，
∵∠AHB＝∠ABC＝90°，
∴△ABH∽△CAB，
∴＝，
∵AB＝，AC＝+3＝，
∴BH＝＝＝，
∴BE＝2BH＝．
40．（2022•安徽模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．

【解析】（1）证明：由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∵∠E＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴BC∥DE，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BF＝FC，
∵BO＝OA，
∴OF＝AC＝3，
∴DF＝r﹣3，
∴BF＝CF＝2DF＝2（r﹣3），
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，即r2＝32+（2r﹣6）2，
解得：r1＝5，r2＝3（舍去），
答：⊙O的半径r为5．