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2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56° B．34° C．36° D．24°
5．（2分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
6．（2分）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三条高线所在直线交于一点
④如果x2＞0，那么x＞0
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3
8．（2分）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．（2分）用科学记数法表示：0.00002021＝ ．
10．（2分）计算（x+3）（x+4）﹣2（x+6）的结果为 ．
11．（2分）比较大小：430 340（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（2分）若am＝4，an＝2，则a2m﹣n的值为 ．
13．（2分）命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为 ．
14．（2分）已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正 边形．
15．（2分）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 °．
16．（2分）若n满足（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，则（n﹣2020）（2022﹣n）＝ ．
17．（2分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
18．（2分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC＝40°，∠E＝60°，∠F＝45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2．
20．（6分）先化简，再求值：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
21．（6分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 ；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCPS△DEF．（画出一个即可）
22．（6分）已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点G、H，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
（1）EC∥BF；
（2）∠A＝∠D．
23．（6分）如图，数学活动课上有A、B、C卡片各若干张，其中卡片A、C是边长分别为a、b的正方形，卡片B是长为a、宽为b的长方形．
（1）若用这些卡片拼成长为2a+b、宽为a+b的长方形，请画出示意图，并直接写出所需B卡片的张数；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成一个大正方形，则m＝ ．
24．（7分）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（1）如图，连接CE．①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
25．（8分）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
26．（9分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
【解答】解：A、2x2、3x3不是同类项，不能合并，故A式子错误；
B、2x2•3x3＝6x5，故B式子错误；
C、2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故C式子正确；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D式子错误；
故选：C．
2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
3．（2分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：（x﹣m）（x+1）＝x2+x﹣mx﹣m＝x2+（1﹣m）x﹣m．
∵运算结果中不含x的一次项，
∴1﹣m＝0，
∴m＝1，
故选C．
4．（2分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56° B．34° C．36° D．24°
【解答】解：如图，
∵∠1＝54°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°．
∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，
∴∠A＝58°﹣24°＝34°．
故选：B．
5．（2分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
6．（2分）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三条高线所在直线交于一点
④如果x2＞0，那么x＞0
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③三角形的三条高线所在直线交于一点，正确，是真命题，符合题意；
④如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有1个，
故选：A．
7．（2分）若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【解答】解：∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1，
∴y＝＝4m﹣3＝22m﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
故选：D．
8．（2分）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
【解答】解：如图，
由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，
∵∠BDG是△BDA是外角，
∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，
∴∠ABE＝∠ABE＝21°，
∴∠ABG＝3×21°＝63°，
即原三角形的∠B为63°，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．（2分）用科学记数法表示：0.00002021＝ 2.021×10﹣5 ．
【解答】解：0.00002021＝2.021×10﹣5．
故答案为：2.021×10﹣5．
10．（2分）计算（x+3）（x+4）﹣2（x+6）的结果为 x2+5x ．
【解答】解：（x+3）（x+4）﹣2（x+6）
＝x2+4x+3x+12﹣2x﹣12
＝x2+5x．
故答案为：x2+5x．
11．（2分）比较大小：430 ＜ 340（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：430＝（43）10＝6410，
340＝（34）10＝8110，
∵64＜81，
∴6410＜8110，
即430＜340，
故答案为：＜．
12．（2分）若am＝4，an＝2，则a2m﹣n的值为 8 ．
【解答】解：当am＝4，an＝2时，
a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）2÷an＝42÷2＝16÷2＝8．
故答案为：8．
13．（2分）命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为 四个角都为直角的四边形是正方形 ．
【解答】解：命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为四个角都为直角的四边形是正方形，
故答案为：四个角都为直角的四边形是正方形．
14．（2分）已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正 十 边形．
【解答】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为：4n，
n+4n＝180，
解得：n＝36，
即这个多边形是：10．
故答案为：十．
15．（2分）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 40 °．
【解答】解：延长FC交AD于点G．
∵∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F
＝180°﹣80°﹣60°
＝40°．
∵AB∥CF，AD∥CE
∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．
∴∠A＝∠FCE＝40°．
故答案为：40．
16．（2分）若n满足（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，则（n﹣2020）（2022﹣n）＝ 1.5 ．
【解答】解：设n﹣2020＝x，2022﹣n＝y，
∴x+y
＝n﹣2020+2022﹣n
＝2，
∵（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，
∴x2+y2＝1，
∵x+y＝2，
∴（x+y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝4，
∴xy＝1.5，
∴（n﹣2020）（2022﹣n）＝1.5．
故答案为：1.5．
17．（2分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
18．（2分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC＝40°，∠E＝60°，∠F＝45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA＝ 65 度．
【解答】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，
∵∠BDC＝∠A+∠ABE，
∠EGF＝∠BDC+∠ACF＝∠A+∠ABE+∠ACF，
∴∠ABE+∠EMF+∠FCA+∠A＝∠BEM+∠CFM＝105°，
∴∠ABE+∠EMF+∠FCA＝105°﹣∠A＝65°，
故答案为：65．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2．
【解答】解：（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1
＝1﹣9﹣2
＝﹣10；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5
＝27a6+2a•（﹣32a5）
＝27a6﹣64a6
＝﹣37a6；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
＝（a﹣b）2﹣1
＝a2﹣2ab+b2﹣1；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2
＝[（3m﹣2）（3m+2）]2
＝（9m2﹣4）2
＝81m4﹣72m2+16．
20．（6分）先化简，再求值：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
【解答】解：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x）
＝2（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）
＝2x2﹣8xy+8y2﹣x2+4y2
＝x2﹣8xy+12y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝（﹣1）2﹣8×（﹣1）×（﹣2）+12×（﹣2）2
＝1﹣16+48
＝33．
21．（6分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 28 ；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCPS△DEF．（画出一个即可）
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）平行四边形ABED的面积＝平行四边形ABMN的面积＝7×4＝28．
故答案为：28．
（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．
22．（6分）已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点G、H，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
（1）EC∥BF；
（2）∠A＝∠D．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，
∴∠1＝∠AHB，
∴EC∥BF；
（2）∵EC∥BF，
∴∠B＝∠AEC，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
23．（6分）如图，数学活动课上有A、B、C卡片各若干张，其中卡片A、C是边长分别为a、b的正方形，卡片B是长为a、宽为b的长方形．
（1）若用这些卡片拼成长为2a+b、宽为a+b的长方形，请画出示意图，并直接写出所需B卡片的张数；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成一个大正方形，则m＝ 12 ．
【解答】解：（1）画出示意图如下：
由图形可以看出所需B卡片3张；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成的面积为：4a2+mab+9b2，
∵拼成一个大正方形，
∴4a2+mab+9b2＝（2a+3b）2．
∵（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，
∴m＝12．
故答案为：12．
24．（7分）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（1）如图，连接CE．①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
【解答】解：（1）①∵∠A＝60°，∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝84°．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝42°．
∵CE∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE＝42°；
②∵∠A＝60°，∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝84°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝144°．
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE∠ABC＝42°，∠ECD∠ACD＝72°
∴∠BEC＝∠ECD﹣∠CBE＝30°；
（2）如图1，当CE⊥AB，垂足为N时，
则∠CNB＝90．
由（1）知，∠ABE＝42°，
∴∠BEC＝∠BEN+∠CNB
＝42°+90°
＝132°；
如图2，当CE⊥AC，则∠ACE＝90°．
由（1）知，∠CBE＝42°，∠ACB＝36°，
∴∠ENC＝∠CBE+∠ACB，
＝42°+36°
＝78°．
∴∠BEC＝90°﹣∠CNE
＝12°；
如图3，当CE⊥BC，则∠BCE＝90°．
由（1）知，∠CBE＝42°，
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE
＝48°．
所以∠BEC的度数为48°或132°或12°．
25．（8分）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ 4 ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ （x﹣2） ※ [（y+1）（y﹣3）] （结果化成最简形式）．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝62，
∴a．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
26．（9分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
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2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56° B．34° C．36° D．24°
5．（2分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
6．（2分）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三条高线所在直线交于一点
④如果x2＞0，那么x＞0
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3
8．（2分）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．（2分）用科学记数法表示：0.00002021＝ ．
10．（2分）计算（x+3）（x+4）﹣2（x+6）的结果为 ．
11．（2分）比较大小：430 340（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（2分）若am＝4，an＝2，则a2m﹣n的值为 ．
13．（2分）命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为 ．
14．（2分）已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正 边形．
15．（2分）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 °．
16．（2分）若n满足（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，则（n﹣2020）（2022﹣n）＝ ．
17．（2分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
18．（2分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC＝40°，∠E＝60°，∠F＝45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2．
20．（6分）先化简，再求值：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
21．（6分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 ；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCPS△DEF．（画出一个即可）
22．（6分）已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点G、H，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
（1）EC∥BF；
（2）∠A＝∠D．
23．（6分）如图，数学活动课上有A、B、C卡片各若干张，其中卡片A、C是边长分别为a、b的正方形，卡片B是长为a、宽为b的长方形．
（1）若用这些卡片拼成长为2a+b、宽为a+b的长方形，请画出示意图，并直接写出所需B卡片的张数；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成一个大正方形，则m＝ ．
24．（7分）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（1）如图，连接CE．①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
25．（8分）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
26．（9分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
2021-2022学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
【解答】解：A、2x2、3x3不是同类项，不能合并，故A式子错误；
B、2x2•3x3＝6x5，故B式子错误；
C、2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故C式子正确；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D式子错误；
故选：C．
2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
3．（2分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：（x﹣m）（x+1）＝x2+x﹣mx﹣m＝x2+（1﹣m）x﹣m．
∵运算结果中不含x的一次项，
∴1﹣m＝0，
∴m＝1，
故选C．
4．（2分）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56° B．34° C．36° D．24°
【解答】解：如图，
∵∠1＝54°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°．
∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，
∴∠A＝58°﹣24°＝34°．
故选：B．
5．（2分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
6．（2分）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三条高线所在直线交于一点
④如果x2＞0，那么x＞0
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③三角形的三条高线所在直线交于一点，正确，是真命题，符合题意；
④如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有1个，
故选：A．
7．（2分）若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【解答】解：∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1，
∴y＝＝4m﹣3＝22m﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
故选：D．
8．（2分）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
【解答】解：如图，
由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，
∵∠BDG是△BDA是外角，
∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，
∴∠ABE＝∠ABE＝21°，
∴∠ABG＝3×21°＝63°，
即原三角形的∠B为63°，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．（2分）用科学记数法表示：0.00002021＝ 2.021×10﹣5 ．
【解答】解：0.00002021＝2.021×10﹣5．
故答案为：2.021×10﹣5．
10．（2分）计算（x+3）（x+4）﹣2（x+6）的结果为 x2+5x ．
【解答】解：（x+3）（x+4）﹣2（x+6）
＝x2+4x+3x+12﹣2x﹣12
＝x2+5x．
故答案为：x2+5x．
11．（2分）比较大小：430 ＜ 340（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：430＝（43）10＝6410，
340＝（34）10＝8110，
∵64＜81，
∴6410＜8110，
即430＜340，
故答案为：＜．
12．（2分）若am＝4，an＝2，则a2m﹣n的值为 8 ．
【解答】解：当am＝4，an＝2时，
a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）2÷an＝42÷2＝16÷2＝8．
故答案为：8．
13．（2分）命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为 四个角都为直角的四边形是正方形 ．
【解答】解：命题“正方形的4个角都是直角”的逆命题为四个角都为直角的四边形是正方形，
故答案为：四个角都为直角的四边形是正方形．
14．（2分）已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正 十 边形．
【解答】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为：4n，
n+4n＝180，
解得：n＝36，
即这个多边形是：10．
故答案为：十．
15．（2分）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 40 °．
【解答】解：延长FC交AD于点G．
∵∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F
＝180°﹣80°﹣60°
＝40°．
∵AB∥CF，AD∥CE
∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．
∴∠A＝∠FCE＝40°．
故答案为：40．
16．（2分）若n满足（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，则（n﹣2020）（2022﹣n）＝ 1.5 ．
【解答】解：设n﹣2020＝x，2022﹣n＝y，
∴x+y
＝n﹣2020+2022﹣n
＝2，
∵（n﹣2020）2+（2022﹣n）2＝1，
∴x2+y2＝1，
∵x+y＝2，
∴（x+y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝4，
∴xy＝1.5，
∴（n﹣2020）（2022﹣n）＝1.5．
故答案为：1.5．
17．（2分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
18．（2分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC＝40°，∠E＝60°，∠F＝45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA＝ 65 度．
【解答】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，
∵∠BDC＝∠A+∠ABE，
∠EGF＝∠BDC+∠ACF＝∠A+∠ABE+∠ACF，
∴∠ABE+∠EMF+∠FCA+∠A＝∠BEM+∠CFM＝105°，
∴∠ABE+∠EMF+∠FCA＝105°﹣∠A＝65°，
故答案为：65．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2．
【解答】解：（1）30﹣（﹣3）2﹣（）﹣1
＝1﹣9﹣2
＝﹣10；
（2）（3a2）3+2a•（﹣2a）5
＝27a6+2a•（﹣32a5）
＝27a6﹣64a6
＝﹣37a6；
（3）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
＝（a﹣b）2﹣1
＝a2﹣2ab+b2﹣1；
（4）（3m﹣2）2（3m+2）2
＝[（3m﹣2）（3m+2）]2
＝（9m2﹣4）2
＝81m4﹣72m2+16．
20．（6分）先化简，再求值：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
【解答】解：2（x﹣2y）2﹣（2y+x）（﹣2y+x）
＝2（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）
＝2x2﹣8xy+8y2﹣x2+4y2
＝x2﹣8xy+12y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝（﹣1）2﹣8×（﹣1）×（﹣2）+12×（﹣2）2
＝1﹣16+48
＝33．
21．（6分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 28 ；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCPS△DEF．（画出一个即可）
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）平行四边形ABED的面积＝平行四边形ABMN的面积＝7×4＝28．
故答案为：28．
（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．
22．（6分）已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点G、H，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
（1）EC∥BF；
（2）∠A＝∠D．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，
∴∠1＝∠AHB，
∴EC∥BF；
（2）∵EC∥BF，
∴∠B＝∠AEC，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
23．（6分）如图，数学活动课上有A、B、C卡片各若干张，其中卡片A、C是边长分别为a、b的正方形，卡片B是长为a、宽为b的长方形．
（1）若用这些卡片拼成长为2a+b、宽为a+b的长方形，请画出示意图，并直接写出所需B卡片的张数；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成一个大正方形，则m＝ 12 ．
【解答】解：（1）画出示意图如下：
由图形可以看出所需B卡片3张；
（2）用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成的面积为：4a2+mab+9b2，
∵拼成一个大正方形，
∴4a2+mab+9b2＝（2a+3b）2．
∵（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，
∴m＝12．
故答案为：12．
24．（7分）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（1）如图，连接CE．①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
【解答】解：（1）①∵∠A＝60°，∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝84°．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝42°．
∵CE∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE＝42°；
②∵∠A＝60°，∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝84°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝144°．
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE∠ABC＝42°，∠ECD∠ACD＝72°
∴∠BEC＝∠ECD﹣∠CBE＝30°；
（2）如图1，当CE⊥AB，垂足为N时，
则∠CNB＝90．
由（1）知，∠ABE＝42°，
∴∠BEC＝∠BEN+∠CNB
＝42°+90°
＝132°；
如图2，当CE⊥AC，则∠ACE＝90°．
由（1）知，∠CBE＝42°，∠ACB＝36°，
∴∠ENC＝∠CBE+∠ACB，
＝42°+36°
＝78°．
∴∠BEC＝90°﹣∠CNE
＝12°；
如图3，当CE⊥BC，则∠BCE＝90°．
由（1）知，∠CBE＝42°，
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE
＝48°．
所以∠BEC的度数为48°或132°或12°．
25．（8分）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ 4 ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ （x﹣2） ※ [（y+1）（y﹣3）] （结果化成最简形式）．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝62，
∴a．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
26．（9分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
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