2020-2021学年浙江省绍兴一中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省绍兴一中八年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省绍兴一中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝1
3．（3分）小明的作业上有如下的题目，计算错误的是（　　）
A．4a2 B．5a C． D．325
4．（3分）学习组织“超强大脑”答题赛，参赛的12名选手得分情况如表所示，那么这12名选手得分的中位数和众数分别是（　　）
分数（分）
60
80
90
95
人数（人）
3
2
3
4
A．80和90 B．90和95 C．86.5和90 D．90和90
5．（3分）已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a﹣b|等于（　　）

A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a
7．（3分）给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　）
①解方程（x﹣2）2＝16，两边同时开方，得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；
②解方程x（x）＝（x），两边同时除以（x）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；
③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；
④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m，x2＝m．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
9．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（　　）

A．四条边相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
10．（3分）现有12块完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块，如果这12块巧克力可以平均分给n名同学，则n不可以为（　　）
A．20 B．18 C．15 D．14
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）计算（a≥0）的结果是　 　．
13．（3分）若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则a＝　 　．
14．（3分）我们知道若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一根是1，则a+b+c＝0，那么如果9a+c＝3b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为　 　．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是　 　．

16．（3分）如图：在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∠A＝150°，则∠C+∠E＝　 　．

17．（3分）如图，在▱ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点P作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连接AP，CP，已知AE＝4，EP＝2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是 　 　．

18．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（3m，4m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标　 　．
三、解答题：（共6小题，其中第19.21.22.23每题6分，第20题12分，第24题10分，共46分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（12分）解下列一元二次方程：
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0．
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
（3）x2+x﹣1＝0．
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．

22．（6分）某商贸公司10名销售员3月份完成的销售额情况如下表：
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
16
销售员人数
1
1
3
2
1
1
1
（1）销售额的中位数是 　 　万元，众数 　 　万元，平均每人完成的销售额 　 　万元．
（2）其中有位销售员甲3月份的销售额是8万元，计划到5月份增长到12.5万元，求每月的平均增长率．
23．（6分）宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆　 　间房有游客居住（用含x的代数式表示）；
（2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
24．（10分）我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

【发现与证明】（1）如图1：结论①△AGC是等腰三角形；结论②B′D∥AC．请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）．
【应用与解答】（2）如图2：如果BC＝1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积．
【拓展与探索】（3）直接写出结论，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

2020-2021学年浙江省绍兴一中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝1
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：C．
3．（3分）小明的作业上有如下的题目，计算错误的是（　　）
A．4a2 B．5a C． D．325
【解答】解：A、4a2，正确；
B、5a，正确；
C、不是同类二次根式，不能合并，错误；
D、325，正确．
故选：C．
4．（3分）学习组织“超强大脑”答题赛，参赛的12名选手得分情况如表所示，那么这12名选手得分的中位数和众数分别是（　　）
分数（分）
60
80
90
95
人数（人）
3
2
3
4
A．80和90 B．90和95 C．86.5和90 D．90和90
【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数的第6、第7个数的平均数，
则这12名选手得分的中位数是90（分）；
∵95出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是95分．
故选：B．
5．（3分）已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×a＞0，
解得a＜4．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
6．（3分）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a﹣b|等于（　　）

A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a
【解答】解：观察数轴可知：
，当b＜0时，，
所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a．
故选：B．
7．（3分）给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　）
①解方程（x﹣2）2＝16，两边同时开方，得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；
②解方程x（x）＝（x），两边同时除以（x）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；
③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；
④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m，x2＝m．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①应先将系数化为1再开方．所以错．
②在不知道因式是否为零的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根．所以错．
③方程右边不为0，不能用因式分解法解．所以错．
④当n为负数时，不能直接开平方．所以错．
故选：A．
8．（3分）若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
【解答】解：∵x2﹣8x+m＝0，
∴x2﹣8x＝﹣m，
∴x2﹣8x+16＝﹣m+16，
∴（x﹣4）2＝﹣m+16，
依题意有n＝4，﹣m+16＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2+8x+m＝5是x2+8x+5＝0，
∴x2+8x+16＝﹣5+16，
∴（x+4）2＝11，
即（x+n）2＝11．
故选：D．
9．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（　　）

A．四条边相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【解答】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴平行四边形ABCD的对角线互相平分，
故选：D．
10．（3分）现有12块完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块，如果这12块巧克力可以平均分给n名同学，则n不可以为（　　）
A．20 B．18 C．15 D．14
【解答】解：12块巧克力均分给15名同学，每人应分得块，
因此，可将每块巧克力按4：1的比例分为两小块，
其中12位同学每人得1块大的，另3位同学每人得4快小的，
所以n可以为15；
12块巧克力均分给18名同学，每人应分得块，
因此，可将每块巧克力按2：1的比例分为两小块，
其中12位同学每人得1块大的，另6位同学每人得2快小的，
所以n可以为18；
12块巧克力均分给14名同学，每人应分得块，
因此，可将每块巧克力按6：1的比例分为两小块，
其中12位同学每人得1块大的，另2位同学每人得6快小的，
所以n可以为14；
故选：A．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥2　．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
12．（3分）计算（a≥0）的结果是　4a　．
【解答】解：（a≥0）
＝4a．
故答案为：4a．
13．（3分）若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则a＝　4　．
【解答】解：由题意得，
3，
解得a＝4，
故答案为：4．
14．（3分）我们知道若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一根是1，则a+b+c＝0，那么如果9a+c＝3b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为　x＝﹣3　．
【解答】解：根据题意知，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＝0，
∴9a+c＝3b，
∴x＝﹣3满足方程ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的另一根是x＝﹣3．
故答案是：x＝﹣3．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是　　．

【解答】解：∵点O是AC的中点，点F是DE的中点
∴OF∥DG，DG＝2OF＝4
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠ACD＝∠BAC且AO＝CO，∠AOE＝∠COG
∴△AEO≌△CGO（ASA）
∴AE＝CG，且AB＝CD
∴BE＝DG＝4
∵BE＝3CG
∴AE＝CG
故答案为：
16．（3分）如图：在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∠A＝150°，则∠C+∠E＝　210°　．

【解答】解：如图，连接BE，

∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3，
即∠ABC＝∠DEF，
同理，∠A＝∠D，∠C＝∠F，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A+∠C+∠DEF＝360°，
∵A＝150°，
∴∠C+∠DEF＝210°，
故答案为：210°．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点P作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连接AP，CP，已知AE＝4，EP＝2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是 　4　．

【解答】解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD，
∴S△ABD＝S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，
∴S△AEP＝S△AMP，S△DEP＝S△DNP，S△BMP＝S△BFP，S△CFP＝S△CNP，
∴S△AEP＝S△CFP，
∵MN∥BC，
∴∠AMP＝∠ABC＝60°，
∵四边形AEPM是平行四边形，
∴∠PEH＝60°，
∴sin60°，即，
∴PH，
∴S阴影部分＝2S△AEP＝2AE•PH＝244，
故答案是：4．

18．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（3m，4m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标　（，0）或（）或（）　．
【解答】解：由点C的坐标可以判断出点C在直线y上
已知A、B两点，所以以AB为边和对角线分类讨论
当AB为边时，AB∥CD，AB＝CD，如图
可证得△ABE≌△CDF
∴FC＝BE＝2，AE＝DF＝3
若点D在x轴正半轴时
∴点C坐标为（，﹣2）
∴点D坐标为（，0）

若点D在x轴负半轴时
点C坐标为（，2）
点D坐标为（，0）

当AB为对角线时
AB与CD相交于AB的中点（，2）
设点D（m，0）可得点C坐标为（1﹣m，4）
将点C坐标代入解析式可得m
点D坐标为（，0）

故点D的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．
三、解答题：（共6小题，其中第19.21.22.23每题6分，第20题12分，第24题10分，共46分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝21﹣29+1
＝11；
（2）原式＝323﹣1
2．
20．（12分）解下列一元二次方程：
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0．
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
（3）x2+x﹣1＝0．
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
（2x﹣1）2＝4，
2x﹣1＝±2，
所以x1，x2；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x，
x2﹣2x+11，
（x﹣1）2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1；
（3）x2+x﹣1＝0．
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
x，
所以x1，x2；
（4）（2x﹣1﹣x）（2x﹣1+x）＝0，
2x﹣1﹣x＝0或2x﹣1+x＝0，
所以x1＝1，x2．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．

【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，
∴AD＝23﹣10＝13，
∵AB＝13，
∴AB＝CD，
∵AE平分∠BAC，
∴DE＝BE，AE⊥BD，
∵BD＝10，
∴DE＝5，
∴AE12；
（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，
∴EFCD5．
22．（6分）某商贸公司10名销售员3月份完成的销售额情况如下表：
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
16
销售员人数
1
1
3
2
1
1
1
（1）销售额的中位数是 　5.5　万元，众数 　5　万元，平均每人完成的销售额 　6.5　万元．
（2）其中有位销售员甲3月份的销售额是8万元，计划到5月份增长到12.5万元，求每月的平均增长率．
【解答】解：（1）销售额的中位数是5.5（万元），众数为5万元，
平均销售额为（3×1+4×1+5×3+6×2+7×1+8×1+16×1）÷（1+1+3+2+1+1+1）＝6.5（万元）．
故答案为：5.5；5；6.5．
（2）设每月的平均增长率为x，
依题意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：每月的平均增长率为25%．
23．（6分）宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆　（50）　间房有游客居住（用含x的代数式表示）；
（2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
【解答】解：（1）当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆会空闲间房，
∴此时宾馆（50）间房有游客居住．
故答案为：（50）．
（2）依题意，得：（180+x﹣20）（50）＝9450，
整理，得：x2﹣340x+14500＝0，
解得：x1＝50，x2＝290．
当x＝50时，180+x＝230，190×1.5＝285（元），230＜285，符合题意；
当x＝290时，180+x＝470，470＞285，不符合题意，舍去．
答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元．
24．（10分）我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

【发现与证明】（1）如图1：结论①△AGC是等腰三角形；结论②B′D∥AC．请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）．
【应用与解答】（2）如图2：如果BC＝1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积．
【拓展与探索】（3）直接写出结论，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
【解答】【发现与证明】
（1）①证明：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACB′，
∴AG＝CG，
∴△AGC是等腰三角形．
②如图1，由翻折得B′C＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝B′C，
∴AD﹣AG＝B′C﹣CG，
∴DG＝B′G，
∴∠GDB′＝∠GB′D，
∴∠CGD＝∠GDB′+∠GB′D＝2∠GDB′，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴∠CGD＝∠GAC+∠GCA＝2∠GAC，
∴2∠GDB′＝2∠GAC，
∴∠GDB′＝∠GAC，
∴B′D∥AC．
【应用与解答】
（2）解：如图2，作CF⊥AB′于点F，则∠B′FC＝∠AFC＝90°，
∵∠CB′F＝∠B＝30°，B′C＝BC＝1，AB′＝AB＝2，
∴CFB′C，
∴B′F，
∴AF＝2，
由（1）得AE＝CE，
∵CF2+EF2＝CE2，EFAE，
∴（）2+（AE）2＝AE2，
∴AE，
∴S△AECAE•CF，
∴△AEC的面积为，
【拓展与探索】
（3）解：如图3，∠B′AD＝90°，且点B′与点A在CD的异侧，
∵∠ADG＝∠B＝30°，DG＝B′G＝2AG，
∴DG＝2AG＝2AG，
∴AG，
∴DG，
∴BC＝AD2；
如图4，∠ADB′＝90°，
∵B′D∥AC，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADB′＝90°，
∴∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴ACAB，
∴BC3；
如图5，∠AB′D＝90°，
∵B′D∥AC，
∴∠B′AC＝180°﹣∠AB′D＝90°，
由翻折得∠BAC＝∠B′AC＝90°，
∴ACBC，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴（2）2+（BC）2＝BC2，
∴BC＝4；
如图6，∠B′AD＝90°，且点B′与点A在CD的同侧，
由翻折得∠AB′G＝∠B＝30°，
∴B′G＝2AG，
∵AB′2+AG2＝B′G2，AB′＝AB＝2，
∴（2）2+AG2＝（2AG）2，
∴AG＝2，
∴CG＝AG＝2，B′G＝4，
∴BC＝B′C＝CG+B′G＝6，
综上所述，当BC＝2或BC＝3或BC＝4或BC＝6时，△AB′D是直角三角形．






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