广东省汕头市2022届高三三模数学试题-

这是一份广东省汕头市2022届高三三模数学试题-，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知数列中，，当时，，则，下列说法错误的是，已知，，则，关于曲线C等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
广东省汕头市2022届高三三模数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分






注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知全集为R，，，，则（       ）
A．1 B．2 C． D．0
2．2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（       ）
A．36 B．24 C．18 D．42
3．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（       ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．已知数列中，，当时，，则（       ）
A． B． C．5 D．
5．下列说法错误的是（       ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．在△ABC中，是的充要条件
C．若a，b，，则“”的充要条件是“，且”
D．“若，则”是真命题
6．已知，，则（       ）
A． B． C． D．
7．的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数，若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，下列说法中正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
10．关于曲线C：，下列说法正确的是（       ）
A．曲线C一定不过点
B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条
C．若，曲线C表示两条直线
D．若，则直线被曲线C截得弦长等于
11．已知函数，，若存在，使得对任意，，则（       ）
A．在单调递增
B．，，
C．，使得在上有且仅有1个零点
D．若在单调，则
12．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（       ）
A． B．是奇数
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．
14．已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
15．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
评卷人
得分



四、双空题
16．如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为__________；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．

评卷人
得分



五、解答题
17．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．

(1)求证：；
(2)若且，求△ABC的面积．
18．目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据，，2，3，4，5，…，10，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，令，则有，，，．
(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．
(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
回归模型
模型①
模型②
残差平方和
102.28
36.19

附：样本（，2，…，n）的最小二乘估计公式为，；相关指数，参考数据：．
19．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为和8，椭圆的短轴长大于焦距．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E．连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面交线段PB，PC分别于点G，H，且

(1)求证：；
(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正弦值为，求t的值．
22．已知函数．
(1)求在的极值；
(2)证明：函数在有且只有两个零点．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据集合的运算结果得到集合，从而可得的值.
【详解】
由题意，或，则，
由，可知，从而可知.
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.
【详解】
第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故选：.
3．A
【解析】
【分析】
注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.
【详解】





∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，       
故选：
4．B
【解析】
【分析】
直接由递推关系式得出数列的周期，再利用周期性即可求解.
【详解】
由题意得：，则数列的周期为3，则.
故选：B.
5．C
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定可判断A,由正弦定理和充要条件可判断B，通过举特例可判断C,通过特殊角的三角函数值可判断D.
【详解】
A.命题“，”的否定是“，”,正确；
B. 在△ABC中，，由正弦定理可得(R为外接圆半径)，，由大边对大角可得；反之，可得，由正弦定理可得，即为充要条件，故正确；
C. 当时满足，但是得不到“，且”，则不是充要条件，故错误；
D. 若，则与则的真假相同，故正确；
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数关系和角变换及正弦二倍角公式求解即可.
【详解】
因为，，，
所以，，

.
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
二项式项的公式，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值
【详解】
由题意的展开式的 ，
令 ，得，当时，取到最小值.
故选：B．
8．C
【解析】
【分析】
把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】
当时，，
当时，，当时，，
所以当时，在上单调递减，在上单调递增.
又当时，，
所以根据周期为1可得时的图象，故的图象如图所示：

将方程，转化为方程有四个不同的实根，
令，其图象恒过，
因为与的图象有四个不同的交点，所以或，
又由，，，，，
故，，，，
所以或，即或，
故选：C.
【点睛】
方法点拨：把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，结合图象，列出相应的不等关系式是解答的关键.
9．ABC
【解析】
【分析】
A. 利用复数的几何意义求解判断； B.利用向量的数量积运算求解判断； C.设求解判断； D. 举例判断.
【详解】
A. 因为，所以，则，即，则，故正确；
B.因为，所以，即，则，故正确；
C.设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，则，所以，则，故正确；
D. 如，满足，而，故错误；
故选：ABC
10．AB
【解析】
【分析】
直接将点代入曲线C方程，由方程无解即可判断A选项；先由原点到圆心的距离判断出原点在圆外即可判断B选项；代入曲线C解出即可判断C选项；先求出圆心在直线上结合直径即可判断D选项
【详解】
将点代入曲线C：可得，整理得，
即，显然此方程无解，即曲线C一定不过点，A正确；
时，易得曲线C是圆心为，半径为的圆，此时原点和圆心之间的距离为，
，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C相切，B正确；
时，曲线C：，则，解得，则曲线C表示一个点，C错误；
时，曲线C：，圆心在直线上，则直线被曲线C截得弦长即为圆的直径等于2，D错误.
故选：AB.
11．AD
【解析】
【分析】
先借助辅助角公式得，由分段函数得，再结合正弦函数的单调性、最值及零点依次判断即可.
【详解】
由题意得：，其中，则的最小正周期为，
由存在，使得对任意，，可得，则在单调递增，A正确；
，则，则，，，B错误；
由上知：，的最小正周期为，则在上，，，故不存在，使得在上有且仅有1个零点，C错误；
由，的最小正周期为知，，故在上单增，
在上单减，且在上，故在上单减，则，D正确.
故选：AD.
12．AD
【解析】
【分析】
选项ACD通过递推关系分析即可．选项B通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的．
【详解】
易知，数列满足递推关系．
选项A：；故A正确；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故B错误；
选项C：若选项C正确，又，则，
同理，，依次类推，可得，显然错误，故C错误；
选项D：，又，故D正确；
故答案为：AD．
13．9
【解析】
【分析】
先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.
【详解】
由题意得，则，切线方程为，即，
则，则，.
故答案为：9.
14．
【解析】
【分析】
画出图形，先求出，由建立方程解出离心率即可.
【详解】

如图：不妨设经过右焦点，由对称性可得经过另一个焦点，则，又由，解得，
则，则，即，整理得，解得，又离心率，则离心率为.
故答案为：.
15．59.9
【解析】
【分析】
利用的转换关系，再根据正态分布的对称性即可求出答案
【详解】
因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
16．          ##
【解析】
【分析】
第一空：先判断出平面平面时，三棱锥的体积最大，求出，找出四棱锥外接球的球心O，由勾股定理求出半径，即可求得表面积；第二空：先判断出当垂直于截面圆时，截面圆面积最小，即为截面圆的直径，再求面积即可.
【详解】

第一空：设到平面的距离为，易得，为定值，
要使三棱锥的体积最大，即最大，显然当平面平面时，最大，取中点，连接交于，
则为中点，连接，易得，又平面平面，则平面，
即最大为，易得，则为四边形的外心，
设的外心为，过作直线平面，易得，则共面，过作直线垂直于平面交直线于，
易得即为外接球球心，连接，即为外接球半径，易得四边形为矩形，则，
，则，故外接球O的表面积为；
第二空：要使截面圆面积最小，显然当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小，又都在球面上，M为EC中点，
显然为截面圆的直径，又，则截面圆的面积最小为.
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出，再由正弦定理即可证明；
（2）设，由可得，进而求出，再由面积公式求解即可.
(1)
由题意可得，因为BD为∠ABC的角平分线，则，
在△ABD中，，则，同理可得，因此，即．
(2)
设，则，因为，即，
又且，可得，因为，则，则，，可得，，
所以，，．
18．(1)
(2)回归模型②刻画的拟合效果更好
(3)17.33
【解析】
【分析】
（1）直接由参考公式及参考数据直接计算即可；
（2）直接由参考数据比较两个模型的相关指数即可；
（3）直接将15和30代入模型②，再作差计算即可.
(1)
由题意，知，，可得，，又由，则，所以，模型②中y关于x的回归方程；
(2)
由表格中的数据，可得，即，所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；
(3)
根据模型②，当连续用药30天后，，连续用药15天后，，∵，
∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．
19．(1)，
(2)11522
【解析】
【分析】
（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
(1)
由
得：
∵
是首项，公差为2的等差数列
∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)
依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
20．(1)
(2)是，
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的面积和周长分别为和8，列出的方程组，可直接求解；
（2）设点，、用坐标表示，直线PE方程用坐标表示，联立方程，韦达定理，带入直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积化简求解．
(1)
由题意可知，，且，
解得，
所以椭圆C的方程为．
(2)
设点，，
则，，
所，
所以直线PE的方程为，
联立
所以，
所以，，
所以，
，
而代入，，
可得，
所以直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值．
21．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得，根据线面平行的判定定理可得平面PBC，从而由线面平行的性质定理可得，由平行公理即可得证；
（2）由PD⊥平面ABCD，可得∠ADC为二面角的平面角，则，取BC中点O，连接OD，以D为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求出平面PBD的法向量与平面EFG的法向量为，从而利用向量法即可求解.
(1)
证明：∵E，F分别是PA，PD中点，
∴，
又∵，
∴，
又∵平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC，
又∵平面α，平面平面，
∴，
∴；
(2)
解：∵PD⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，
∴，，
∴∠ADC为二面角的平面角，则，
取BC中点O，连接OD，以D为原点，DA所在直线为x轴，DO所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，设点G坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设平面PBD的法向量为，则，
即，令，则，，则，
设平面EFG的法向量为，，，
∴，即，
令，则，，则，
设二面角E-FG-P的平面角为θ，
∵二面角E-FG-P的正弦值为，
∴，，
∴，
∴，解得或（舍去）.
22．(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数得出在的极值；
（2）利用导数得出的单调性，再由零点存在性定理证明即可.
(1)
由得，，
令得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，无极大值．
(2)
证明：，，则，
令，则．
当时，，则在上单调递减
∵，
所以，存在，使得．
当x变化时，，变化如下表：
x





0


单调递增
极大值
单调递减

而，，
则，又，
令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
则，所以，，
由零点存在定理可知，函数在上有两个零点．
【点睛】
关键点睛：在解决问题二时，关键是由导数得出的单调性，由，，结合零点存在性定理证明函数在有且只有两个零点．