江苏省泰州市2022届高三下学期第四次调研测试数学试题

这是一份江苏省泰州市2022届高三下学期第四次调研测试数学试题，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则，已知直线，，且，则的最小值为，若，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前江苏省泰州市2022届高三下学期第四次调研测试数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知复数z满足，则|z|＝（       ）A．1 B． C．2 D．22．已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（       ）A．{2，4} B．{0，3，5，6}C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}3．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（       ）A．77% B．77.5% C．78% D．78.5%4．已知，则（       ）A．2 B． C． D．5．已知直线，，且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．6．为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（       ）cm． A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（       ）A． B．4 C． D．68．已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（       ）A． B．C． D．评卷人得分  二、多选题9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布（108，25）、（97，64），人数保留整数，则（       ）参考数：若，则，，.A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小10．若，则（       ）A． B．C． D．11．在正四面体A－BCD中，，点O为的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （       ）A．四边形EFGH的周长为8B．四边形EFGH的面积为2C．直线AB和平面EFGH的距离为D．直线AC与平面EFGH所成的角为12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（       ）A．B．数列是等比数列C．数列不是递增数列D．数列的前n项和小于第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．已知抛物线，直线被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为___．14．某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需要射击___次才能使目标被击中的概率超过0.999，（参考数据：，）15．已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．16．平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．评卷人得分  四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且___．(1)求A；(2)若点D在边BC上，且，求AD．注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分18．已知数列的前项和是，且(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．19．手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表： 0~20002001~50005001~80008001~1000010001以上男58121213女10121369 若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．(1)根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关； 积极型懈怠型总计男   女   总计    附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 ，其中；(2)在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．20．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点． (1)当为的中点时，求证：平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．21．已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．22．已知函数，．(1)求的单调区间；(2)求证：存在极小值；(3)若的最小值等于，求的值．
参考答案：1．C【解析】【分析】由已知得，根据复数的模的计算可得答案.【详解】解：由已知得，则，∴，故选：C．2．B【解析】【分析】根据文氏图求解即可.【详解】，，阴影部分为.故选：B．3．C【解析】【分析】根据该球员点球射门进球的可能情况，即踢向球门左、右两侧时都有进球的可能，由此求得答案.【详解】由题意得：该球员进行点球射门时踢向球门左册时进球的概率为踢向右侧进球的概为，故该球员点球射门进球的概率为，故选：C．4．D【解析】【分析】由已知利用正切的二倍角公式可求解．【详解】，则，∴，故选：D．5．A【解析】【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：，则，∴，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，当时，取最小值.故选：A．6．C【解析】【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，可得，设△ABC外接圆圆心O，则由正弦定理可得半径r，利用勾股定理可得、从而端点答案.【详解】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，∴，，∴到平面DEF距离＝9，∴冠军奖杯的高度为，故选：C．7．B【解析】【分析】设，由将的坐标表示出来，再利用N在，M在上，求出点的坐标，由可求出离心率.【详解】设，已知、，∵，∴，∴N在，M在，∴，∴，即N，，，，∴，∴，故选：B．8．D【解析】【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以.所以当时，.因为，则关于对称，因为关于对称，有6个不相同的根，∴在有三个不同的根，表示过定点的直线系，.作出在上的图象,如图所示，时，，又,则；时，;时，显然不满足题意.∴m的取值范围.故选：D．9．AC【解析】【分析】根据正态分布的性质逐一判断即可得选项.【详解】解：对于A，因为甲校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布（108，25），则，，故A正确．对于B，，，故B不正确．对于C，甲校的，乙校的，∴乙更分散，故C正确．对于D，因为甲校数学学科的考试成绩服从正态分布（108，25），所以，乙校数学学科的考试成绩服从正态分布，所以，故D不正确．故选：AC.10．ABD【解析】【分析】令，可求得，判断A；写出的求解式子，结合组合数的性质化简，即可判断B；令，即可求得的值，判断C;对两边求导数，令，即可求得，判断D.【详解】当时，，故A对；，B对；令，则，∴，故C错；对等式两边求导，即令，则，∴，故D对，故选：ABD．11．BCD【解析】【分析】根据点式的重心和可以求出,同理可求出,则可以判断A，,则四边形的面积可求，可以判断B，将正四面体补成正方体，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再利用向量法求出距离和夹角，则可以判断CD【详解】O为 的垂心，连AO延长与CD交于M点，则∴，∴，，，∴，∴周长为6，A错．，则，B对．将四面体补成一个长方体，则正方体边长为，∴P，Q分别为AB，CD中点，PQ⊥平面EFGH，∴A到平面EFGH距离，C对AC与PQ夹角为，则AC与平面EFGH的夹角为，D对故选：BCD12．ABD【解析】【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.【详解】，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为共有个，∴又∵=，∴一定是单调增数列，C错；，的前n项和为，D对.故选：ABD．13．【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长可求得，即可求得答案.【详解】由题意得， ，消x可得， ，设，则，故，∴，则准线方程为，故答案为：14．8【解析】【分析】设某射手射击n次，表示出目标被击中的概率，列出相应不等式，结合对数运算，求得答案.【详解】设某射手射击n次，则目标被击中的概率，∴令， ，∴，∴，故,故答案为：815．10【解析】【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项，故答案为：1016．##【解析】【分析】设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，由于,∴，∴，即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,故，故答案为：17．(1)(2)【解析】【分析】（1）若选①，由已知得，再运用正弦的和角公式有，从而由角的范围可求得答案；若选②，由正弦的二倍角公式得，从而由角的范围可求得答案；若选③，由余弦的二倍公式得，从而由角的范围可求得答案；（2）由已知和向量的线性运算得，再运算向量的数量积运算求得，从而可求得答案.(1)解：若选①，，∴，又，∴，因为 ，所以．若选②，，又，∴，因为 ，所以 ，所以，．若选③，，，又，∴，因为 ，所以；(2)解： 因为，∴，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由，得到，即，即可证明；（2）根据（1）得，所以，再分组求和，利用等差数列求和及错位相减法求和即可求解.(1)当时，，解得；当时，因为，①所以，②①－②，所以，所以又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列．(2)由（1）知，所以，记的前项和为所以，，两式相减得：，所以所以19．(1)表格见解析，有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）首先根据题意完成下面的列联表，再计算，即可得到答案.（2）利用超几何分布求解即可.(1)列联表如下： 积极型懈怠型总计男252550女153550总计4060100 ∴有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．(2)100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人抽取比例为5∶3，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，，∴X的分布列如下X0123P .20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接，，为的中点，再根据条件证明四边形为平行四边形即可求解；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，再利用二面角的空间向量法求解即可.(1)取中点，连接，，为的中点，所以，且，又因为为的中点，，且，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．(2)如图建立空间直角坐标系，所以，，设，，，设平面的一个法向量，所以，所以，所以，平面的一个法向量为，所以，整理得，所以，所以，即．21．(1)(2)【解析】【分析】小问1：由离心率和通径公式即可得到椭圆方程；小问2：联立直线与椭圆方程，得到，由韦达定理得到与的关系，对进行整理，最后由函数性质来确定范围.(1)由题可知，解得.所以椭圆的方程为：.(2)由题可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，，.由题可知，整理得，解得.由韦达定理可得，.由(1)知，点设椭圆上顶点为，，且，∴∴的取值范围为．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，并且结合函数性质求取值范围，注意要考虑直线斜率不存在的情况.22．(1)的单调递增区间为，无递减区间(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据题意得，分析即可求解；（2）根据题意得，令，，所以 在上单调递增，又，，再根据单调性分析极值点即可；（3）由（2）知，且，，，即，设，，再分析单调性求解即可.(1)，因为，所以恒成立，所以的单调递增区间为，无递减区间．(2)令，，所以 在上单调递增，令，所以，因为，所以，即，所以在单调递增，所以，即当时，恒成立，因为，所以注意到，所以在上有唯一的零点，且当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以存在极小值(3)由（2）知，①且，，，且由①式得令，所以，当时，恒成立，所以在上单调递减，注意到，所以，所以．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.