模板11 圆与方程专项练习-备战2022年高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）

这是一份模板11 圆与方程专项练习-备战2022年高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用），文件包含模板11圆与方程解析版docx、模板11圆与方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
模板11圆与方程
专项练习
一、单选题
1.已知函数 y=loga(x−1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A，则过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为（    ）
A. (x−1)2+(y−2)2=1 B. (x−2)2+(y−2)2=2
C. (x+1)2+(y−2)2=5 D. (x−2)2+(y+2)2=10
【答案】 B
【解析】函数 y=loga(x−1)+2 ，当 x=2 时， y=2
所以函数 y=loga(x−1)+2(a>0,a≠1) 恒过定点A (2,2)
|AB|=(2−1)2+(2−1)2=2  
所以过点 B(1,1) 且以A点为圆心的圆的方程为 (x−2)2+(y−2)2=2
故答案为：B
2.在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ，A（1，0），B（3，0）， C(2,22) ，则 △ABC 的内切圆圆心到点O的距离为（    ）
A. 449                                      B. 322                                      C. 92                                      D. 2113
【答案】 B
【解析】设内切圆圆心为 O1 ， AC=BC=3 ， AB=2 ，
由等面积法可得内切圆半径 r=2S△ABC|AB|+|BC|+|CA| =428=22 ，
所以 O1(2，  22) ， OO1=4+12=322 ，
故答案为：B
3.过点 A(m,3m+24) 向圆 C:x2+y2−4x+6y+9=0 作切线，切点为 B ，若 |AB|>λ ，则实数 λ 的取值范围为（    ）
A. (−∞,23−2)                   B. (−∞,23)                   C. (−∞,3−1)                   D. (−∞,3)
【答案】 B
【解析】解：依题意，圆 C:(x−2)2+(y+3)2=4 ，则圆心 C(2，−3) ，半径 R=2 ，而点 A(m,3m+24) 在直线 3x−4y+2=0 上，
则 |AB|=|AC|2−|BC|2=|AC|2−4 ，而 |AC|≥|3×2+4×3+2|5=4 ，所以 |AC|2−4≥23 ，
故 |AB|≥23 ，则 232 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 A,P,B,M 四点共圆，且 AB⊥MP ，所以 |PM|⋅|AB|=2S△PAM=2×12×|PA|×|AM|=4|PA| ，而 |PA|=|MP|2−4 ，
当直线 MP⊥l 时， |MP|min=5 ， |PA|min=1 ，此时 |PM|⋅|AB| 最小．
∴ MP:y−1=12(x−1) 即 y=12x+12 ，由 {y=12x+122x+y+2=0 解得， {x=−1y=0 ．
所以以 MP 为直径的圆的方程为 (x−1)(x+1)+y(y−1)=0 ，即 x2+y2−y−1=0 ，
两圆的方程相减可得： 2x+y+1=0 ，即为直线 AB 的方程．
故答案为：D.
6.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1 ， C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（   ）
A. 17﹣1                              B. 5 2 ﹣4                              C. 6﹣2 2                              D. 17
【答案】 B
【解析】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，C2 ， C3 ， 三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1= (3−2)2+(−3−4)2 ﹣4= 50 ﹣4=5 2 ﹣4．
故选：B．

7.已知圆 x2+y2−6x=0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 B
【解析】圆 x2+y2−6x=0 化为 (x−3)2+y2=9 ，所以圆心 C 坐标为 C(3,0) ，半径为 3 ，
设 P(1,2) ，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 29−|CP|2=29−8=2 .
故答案为：B.
8.已知直线 l:3x+my+3=0 ，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0 ，则下列说法正确的是（    ）
A. “ m>1 ”是曲线C表示圆的充要条件
B. 当 m=33 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C. “ m=−3" 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D. 当 m=−2 时，曲线C与圆 x2+y2=1 有两个公共点
【答案】 C
【解析】对于A，曲线 C:x2+y2+4x+2my+5=0⇒(x+2)2+(y+m)2=m2−1 ，曲线 C 要表示圆，则 m2−1>0⇒m1 ，
所以“ m>1 ”是曲线 C 表示圆的充分不必要条件，A不符合题意；
对于B， m=33 时，直线 l:x+3y+1=0 ，曲线 C:(x+2)2+(y+33)2=26 ，
圆心到直线 l 的距离 d=|−2+3×(−33)+1|1+3=5 ，
所以弦长 =2r2−d2=226−25=2 ，B不符合题意；
对于C，若直线 l 与圆相切，圆心到直线 l 的距离 d=|−6−m2+3|9+m2=m2+1⇒m=±3 ，
所以“ m=−3" 是直线 l 与曲线 C 表示的圆相切的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，当 m=−2 时，曲线 C:(x+2)2+(y−2)2=3 ，其圆心坐标 (−2,2) ， r=3 ，
曲线C与圆 x2+y2=1 两圆圆心距离为 (−2−0)2+(2−0)2=22>3+1 ，故两圆相离，不会有两个公共点，D不符合题意.
故答案为：C.
二、多选题
9.已知圆 M:(x−3k)2+(y−4k−2)2=1+k2 ，则下列四个命题中正确的命题有（    ）
A. 若圆 M 与 y 轴相切，则 k=±24              B. 圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为 65
C. 若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 k=2           D. 圆 M 与圆 (x−3k)2+y2=4k2 可能外切
【答案】 A,B,D
【解析】圆 M:(x−3k)2+(y−4k−2)2=1+k2 的圆心坐标为： (3k,4k+2) ，半径为 r=1+k2 .
若圆 M 与 y 轴相切，则 |3k|=1+k2 ，解得 k=±24 ，所以A为真命题．
因为 (3k)2+(4k+2)2=25k2+16k+4=(5k+85)2+3625≥3625 ，
所以 |OM|≥65 ，所以B为真命题．
若直线 y=x 平分圆 M 的周长，则 3k=4k+2 ，即 k=−2 ，所以C为假命题．
若圆 M 与圆 (x−3k)2+y2=4k2 外切，则 |4k+2|=1+k2+4k2 ，
设函数 f(k)=|4k+2|−1+k2−4k2 ，因为 f(0)=1>0 ， f(−1)=−20 ，且 a,b 不同时为0）交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，下列结论正确的是（    ）
A. 2ax1+2by1=a2+b2
B. a(x1−x2)+b(y1−y2)=0
C. x1+x2=a,y1+y2=b
D. M，N为圆 C2 上的两动点，且 |MN|=3r ，则 |OM+ON| 的最大值为 a2+b2+r
【答案】 A,B,C
【解析】由 C2:(x−a)2+(y−b)2=r2 ，得 x2+y2+a2+b2−2ax−2by=r2 ，
两圆的方程相减得到直线AB的方程为 2ax+2by=a2+b2 ，
因为点 A(x1,y1) 在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax1+2by1=a2+b2 ，——①
因此A符合题意；又因为 B(x2,y2) 也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax2+2by2=a2+b2 ——②，
①-②，得 a(x1−x2)+b(y1−y2)=0 ，因此B符合题意；
因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为 C1C2 的中点，所以 x1+x2=a,y1+y2=b 成立，因此C符合题意；
设 MN 的中点为 H ，则 |OM+ON|=|2OH| ，当 C1,C2,H 三点共线时 |OM+ON| 最大，最大为 2a2+b2+r ,因此D不符合题意.
故答案为：ABC.
11.已知圆 O1:x2+y2−2x−3=0 和圆 O2:x2+y2−2y−1=0 的交点为 A ， B ，则（    ）
A. 圆 O1 和圆 O2 有两条公切线
B. 直线 AB 的方程为 x−y+1=0
C. 圆 O2 上存在两点 P 和 Q 使得 |PQ|>|AB|
D. 圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2
【答案】 A,B,D
【解析】解：对于A ， 因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B ， 将两圆方程作差可得 −2x+2y−2=0 ，即得公共弦 AB 的方程为 x−y+1=0 ，B符合题意；
对于C ， 直线 AB 经过圆 O2 的圆心 (0,1) ，所以线段 AB 是圆 O2 的直径，故圆 O2 中不存在比 AB 长的弦，C不符合题意；
对于D ， 圆 O1 的圆心坐标为 (1,0) ，半径为2，圆心到直线 AB:x−y+1=0 的距离为 |1+1|2=2 ，所以圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2+2 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
12.已知圆 C ： x2+y2−kx+2y+14k2−k+1=0 ，下列说法正确的是（    ）
A. k 的取值范围是 k>0
B. 若 k=4 ，过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，方程为 12x−5y−16=0
C. 若 k=4 ，圆 C 与圆 x2+y2=1 相交
D. 若 k=4 ， m>0 ， n>0 ，直线 mx−ny−1=0 恒过圆 C 的圆心，则 1m+2n≥8 恒成立
【答案】 A,C,D
【解析】对于A，方程表示圆可得 (−k)2+4−4(14k2−k+1)>0 ，
解得 k>0 ，A符合题意；
对于B，若 k=4 ，可得圆方程： (x−2)2+(y+1)2=4 ，
过 M(3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 23 ，
则圆心 (2,−1) 到直线的距离为 1 ，当直线的斜率不存在时， x=3 ，满足条件，B不正确；
对于C， (x−2)2+(y+1)2=4 ，圆心 (2,−1) ，半径 r1=2 ，
圆 x2+y2=1 ，圆心为 (0,0) ，半径 r2=1 ，
两圆心的距离为 r1−r2=10 ，解得 k=2 ，
圆 M 的圆心为 M(0,m2) ，半径为 |m2| ，
∵圆 M 与圆 C 外切，∴ |m2|+1=|m2−(−1)| ，∴ m>0 ，
∵圆 M 与直线 l 相切，∴ m2=|−m2+4|5 ，解得 m=25−2 .
故答案为： 25−2 .
14.设双曲线 x216−y2b2=1 的左右两个焦点分别为 F1 、 F2 ，P是双曲线上任意一点，过 F1 的直线与 ∠F1PF2 的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点 A(8,0) ， B(5,6) ，则 12|AM|+|BM| 的最小值________.
【答案】 x2+y2=16；35
【解析】如图所示：延长 F1Q 与 PF2 的延长线交于点M，


则 OQ=12MF2=12(PM−PF2)=12|PF1−PF2|=a=4 ，
故轨迹方程为 x2+y2=16 .
取点 C(2,0) ，则 OCOM=OMOA=12 ， ΔMOC∼ΔMOA ，故 MC=12PA ，
12|AM|+|BM|=|MC|+|BM|≤|BC|=35 ，当 BMC 共线时等号成立.
故答案为： x2+y2=16 ； 35
15.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P ， Q ， 使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________.
【答案】 −65≤ a≤0
【解析】解：由题意，圆 M:(x+a+3)2+(y−2a)2=1(a 为实数），圆心为 M(−a−3,2a)
圆 M 上任意一点Q向圆O作切线，切点为 P ， ∠PQO=30° ，
所以 x2+y2=4 与圆 M 有交点 1⩽(a+3)2+4a2⩽3 ，
解得 −65⩽a⩽0 ，
故答案为： −65⩽a⩽0 ，
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O:x2+y2=1 ， O1:(x−4)2+y2=4 ，动点 P 在直线 x+3y−b=0 上，过P点分别作圆 O,O1 的切线，切点分别为 A,B ，若满足 PB=2PA 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．
【答案】 (−203,4)
【解析】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则
∵PB=2PA， ∴(x−4)2+y2−4=2x2+y2−1 ，
∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，
∴x2+y2+ 83x−163 =0，
圆心坐标为 (−43,0) ,半径为 83 ，
∵动点P在直线x+ 3 y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x2+y2+ 83x−163 =0相交，
∴圆心到直线的距离 d=|−43−b|1+3