专题04 立体几何（文科专用）-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

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专题04 立体几何立体几何作为高考数学必考大题，一般出现在19或20题左右，文科方面主要是分两问，第一问主要考查线面间位置关系，第二问主要考查空间距离问题，表面积体积问题，主要牵涉到方法等体积法求距离问题。类型一：空间几何体体积问题例题1．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，∠SCA=90°，D为SA的中点，SC=BD=2. (1)如图，过BD画出三棱锥S—ABC的一个截面，使得这个截面与侧面SAC垂直，并进行证明；(2)求（1）中的截面将三棱锥S—ABC分割成两个棱锥的体积之比.【答案】(1)答案见解析  (2)1:3【解析】(1)：取的中点，连接BE、DE，则即为所作的截面，如图所示.下面证明：因为是的中位线，所以，又，所以.因为是等边三角形，所以.又，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)：由是的中位线，得；由是边长为2的等边三角形，得；又，所以，由勾股定理的逆定理，得，即，由（1）得平面平面，平面平面，所以平面.；，故截面将三棱锥分割成两个棱锥的体积之比为.   类型二：折叠问题例题 2 边长为2的正方形ABCD中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P.(1)证明：平面平面PMN；(2)求多面体APCMN的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】证明：在正方形中有，∴，，又平面PMN,所以平面PMN，而平面APN，所以平面平面PMN.(2)：易知，，∴∴由得（其中h为点P到底面AMN的距离）即，∴.因此该多面体的体积.   类型三： 存在性问题 例题 3  如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【解析】三棱柱中，平面，则，底面为正三角形，且是的中点，则，，则平面，平面，平面平面.(2)，底面为边长为2的正三角形，是的中点，，, ，解得，即，在侧棱上是存在一点，且，使得三棱锥的体积是.  类型四： 空间几何体综合问题例题 4 如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．(1)试确定点的位置，并证明平面；(2)若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．【答案】(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；(2).【解析】(1)延长，交的延长线于点N．∵，平面，∴平面．又∵，∴平面，点N即为所求．连接，交直线于点O，连接OM．∵，∴．又∵M为线段的中点，∴，即M为线段NB的中点．在三棱柱中，四边形为平行四边形，∴O为线段中点，∴OM为中位线，∴．又∵平面，平面，∴平面．(2)取线段的中点G，连接．由条件知，为等边三角形，∴，且．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是三棱锥的高．又∵，∴．由（1）知，，，∴，∴四面体的体积． 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形为等腰梯形，，，四边形为矩形，点，分别是线段，的中点，点在线段上．(1)探究：是否存在点，使得平面∥平面？并证明；(2)若，线段在平面内的投影与线段重合，求多面体的体积．【答案】(1)存在点I为线段AD的中点时，平面GHI∥平面ACN；证明见解析；(2).【解析】(1)当点为线段的中点时，平面∥平面．证明过程如下：在矩形中，，分别是线段，的中点，，又平面，平面，故∥平面．在中，，分别为，的中点，，又平面，平面，∥平面．，，，平面∥平面；(2)如图，过点作于，线段在平面内的投影与线段重合，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，同理，平面．在(1)的条件下，连接，，在中，，，，同理可得．又，故等边三角形的高为，即．连接．故．2．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为垂足．(1)当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由；(2)若，当点是的中点，且时，求三棱锥的体积．【答案】(1)是直角三角形；理由见解析(2)【解析】(1)解：是直角三角形．理由如下：平面，，又底面是矩形，，且，平面，又平面，，又，且，平面，又平面，，即，当点在线段上移动时，是直角三角形．(2)：平面平面，，又，平面，又平面，，，又是矩形，，，，，，又，点是的中点，所以，又因为平面，取的中点，连接，则有，且，平面，即为三棱锥的高，，，三棱锥的体积为．3．（2022·山西运城·高三期末（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．(1)证明：平面PAB；(2)若点N到平面PCM的距离为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：连接AC在中，因为，，，所以，因为，，所以是等边三角形．因为点是的中点，所以，在中，，，，满足，所以，而，所以平面；(2)过点作，垂足为，由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面，平面平面，所以平面．由得，，解得，所以.4．（2022·河南·模拟预测（文））如图，直四棱柱的底面为菱形，，，，分别为，的中点．(1)证明：平面；(2)平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为，较小的体积为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)证明：连接，交于点，连接，，因为，分别为，的中点，所以，且，因为为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，故平面．(2)：延长，交于点，则，分别为，的中点，，，再连接，交于点，则为的中点，，连接，所以平面将该直四棱柱分成两部分中体积较小的部分为三棱台．因为三棱台的体积等于三棱锥的体积减去三棱锥的体积，所以．又直四棱柱的体积为，所以，故．5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，在菱形ABCD中，，，E为AD的中点，将折起至使，如图②所示.(1)求证：平面平面；(2)若P为上一点，且平面BPD.求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)，，，又，，，，，，即，又平面，又平面，∴平面平面.(2)连接CE，得平面平面，如图，又平面BPD，，由知，即，，，即.6．（2022·甘肃靖远·高三期末（文））如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，． (1)证明：平面平面．(2)若为的中点，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见详解；(2).【解析】(1)证明：因为圆所在的面，即平面，而平面，所以，因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，又，所以平面，而平面，则，因为，，所以，又，所以，又为线段的中点，所以，又，所以平面，而平面，故平面平面.(2)解：由（1）得，平面，平面，则，平面，由题可知，为的中点，，则，，由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而，，由于平面，则点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由，即，则，解得：，所以点到平面的距离为. 1．（2021·全国·）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法  由（1）可知．于是，故．因为，所以，即．故四棱锥的体积．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法     由（2）知,所以．建立如图所示的平面直角坐标系，设．因为，所以，，，．从而．所以，即．下同方法一.2．（2021·全国·）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，则，为等腰直角三角形，，.（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.3．（2020·全国·）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.   4．（2020·全国·）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）分别为，的中点，又在等边中，为中点，则又侧面为矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图平面平面，平面平面又为的中心.故：，则，平面平面，平面平面，平面平面又在等边中即由（1）知，四边形为梯形四边形的面积为：，为到的距离，.5．（2020·全国·）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，因此在平面内