2022年人教版七年级下册数学--期末复习典型试卷2

这是一份2022年人教版七年级下册数学--期末复习典型试卷2，共37页。试卷主要包含了分解因式x2﹣9x等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•桦甸市期末）若∠A＝130°，∠B＝50°，则下列说法中错误的是（　　）
A．∠A与∠B互补 B．∠A与∠B互余
C．∠B比∠A小80° D．∠A是钝角，∠B是锐角
2．（2分）（2014•泰安）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
3．（2分）（2018春•庐阳区校级期中）下列运算错误的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（ab）4÷（﹣ab）2＝ab2
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4 D．2a﹣3=2a3
4．（2分）（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）

A．90°-12n° B．90°+12n° C．45°+n° D．180°﹣n°
5．（2分）（2019秋•卧龙区校级月考）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（　　）
A．6 B．6或﹣6 C．12 D．12或﹣12
6．（2分）（2021•杭州模拟）已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C．a﹣1＞b+1 D．ac2＞bc2
7．（2分）（2020•高新区校级开学）若不等式2x+53-x2＜m解集中x的每一个值，都能使得关于x的不等式2x+3≤x+m2成立，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2417 B．m＜2417 C．m≥-2417 D．m＞-2417
8．（2分）（2017秋•江津区期末）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为28块时，白色瓷砖块数为（　　）

A．27 B．28 C．33 D．35
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2021•建阳区模拟）分解因式x2﹣9x：　 　．
10．（2分）（2020春•崆峒区期末）若x=-2y=9是方程5x+by＝35的解，则b＝　 　．
11．（2分）某车间生产同一件产品，日产量情况如下：2天是54件，5天是52件，15天是48件，3天是53件，3天是27件，2天是50件，那么该车间这个月的平均日产量是　 　，它的中位数是　 　，众数是　 　．
12．（2分）（2020春•太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有　 　（填序号）．
13．（2分）（2021•彭泽县模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，大意是：有大、小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶、1个小桶分别可以盛酒x斛，y斛，则可列二元一次方程组为 　 　．
14．（2分）（2021春•道里区期末）如图（图中长度单位：米），用含x的式子表示阴影部分的面积是 　 　平方米．

15．（2分）（2017秋•道外区期中）am＝8，an＝﹣0.125，则am+n＝　 　．
16．（2分）如图是一个风景区，A，B，C，D，E，F是这一风影区内的六个主要景点，现观光者聚于A点．假若你是导游，要带领游客欣赏这六个景点后再回到A点，但又不想多走“冤枉路”，你将选择的行走路线为 　 　．（只需填一种即可）

三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2020秋•资中县期中）（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．
（2）计算：20202﹣2019×2021．
18．（5分）（2021•武昌区模拟）计算：[a•a5+（2a3）2]÷a3．
19．（5分）（2018秋•安化县期末）解不等式x-32-3x-23≤-1，并将解集在数轴上表示出来．
20．（5分）解方程组x2-y3=5x4+y5=1．
21．（5分）（2021•河北模拟）定义新运算“★”和“#”如下：a★b＝ab+b，a#b＝ab﹣a2．例如：1★2＝1×2+2＝4，1#3＝1×3﹣12＝2．
（1）计算[(-12)★(-13)]#6；
（2）已知(-2)★x＜03#(-x)≥-21是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数．
22．（5分）（2021春•峄城区期末）（1）计算：2-1+|-5|-(1-π)0+(13)-1；
（2）先化简，再求值：[（2x﹣y）²﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2y），其中x=13，y＝2．
23．（6分）（2012•莱芜）某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数．
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“放学时我到校门口随机调查部分同学”；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”．请指出哪位同学的调查方式最合理．
类别
频数（人数）
频率
武术类

0.25
书画类
20
0.20
棋牌类
15
b
器乐类


合计
a
1.00
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图．
请你根据以上图表提供的信息解答下列问题：
①a＝　 　，b＝　 　；
②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是　 　；
③若该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程．

24．（6分）（2021春•长春期末）在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5．
（1）求k、b的值；
（2）当y＝0时，求x的值．
25．（6分）（2022春•亭湖区校级月考）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 　 　； 　 　；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．
【拓展】
①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 　 　；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
26．（6分）如图，已知∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，∠1＝35°，判断AB与CD的位置关系．

27．（7分）李明在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下：
时刻
12：00
13：00
16：00
公路里碑上的数
是一个两位数
十位与个位数字与12：00时
所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数
中间多了个0
求12：00时看到的两位数是多少？
28．（7分）（2021春•新吴区月考）小松同学在解方程|x+1|+|x﹣2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而当﹣1≤x≤2时，取到它的最小值3，即为﹣1和2对应的点的距离．由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在﹣1的左边或2的右边，若x的对应点在﹣1的左边，利用数轴分析可以看出x＝﹣2；同理，若x的对应点在2的右边，可得x＝3；故原方程的解是x＝﹣2或x＝3（如图）．
参考小松的解答过程，解答下列问题：
（1）求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解．
（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥15；
（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．


2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•桦甸市期末）若∠A＝130°，∠B＝50°，则下列说法中错误的是（　　）
A．∠A与∠B互补 B．∠A与∠B互余
C．∠B比∠A小80° D．∠A是钝角，∠B是锐角
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】A、根据互补的定义即可求解；
B、根据互余的定义即可求解；
C、根据大小比较的方法即可求解；
D、根据角的分类即可求解．
【解答】解：A、∠A+∠B＝130°+50°＝180°，∠A与∠B互补是正确的，不符合题意；
B、∠A+∠B＝130°+50°＝180°，∠A与∠B互余是错误的，符合题意；
C、∠A﹣∠B＝130°﹣50°＝80°，∠B比∠A小80°是正确的，不符合题意；
D、∠A是钝角，∠B是锐角是正确的，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°的性质，是需要熟记的知识．
2．（2分）（2014•泰安）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）（2018春•庐阳区校级期中）下列运算错误的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（ab）4÷（﹣ab）2＝ab2
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4 D．2a﹣3=2a3
【考点】同底数幂的除法；负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，运算正确，故本选项不合题意；
B．（ab）4÷（﹣ab）2＝a2b2，运算错误，故本选项符合题意；
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4，运算正确，故本选项不合题意；
D.2a﹣3=2a3，运算正确，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2分）（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）

A．90°-12n° B．90°+12n° C．45°+n° D．180°﹣n°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12(180-n)°=90°-12n°，
∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°-12n°，
故选：A．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．
5．（2分）（2019秋•卧龙区校级月考）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（　　）
A．6 B．6或﹣6 C．12 D．12或﹣12
【考点】完全平方式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：如果4x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为±12，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
6．（2分）（2021•杭州模拟）已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C．a﹣1＞b+1 D．ac2＞bc2
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不等式两边都乘以c，当c＜0时，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式两边都加上c，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
C、不等式的两边一边加1一边减1，不等号的方向不确定，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都乘以c2，当c＝0时，变为等式，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质．解题的关键宋掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
7．（2分）（2020•高新区校级开学）若不等式2x+53-x2＜m解集中x的每一个值，都能使得关于x的不等式2x+3≤x+m2成立，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2417 B．m＜2417 C．m≥-2417 D．m＞-2417
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】求出不等式2x+53-x2＜m的解集，再求出不等式2x+3≤x+m2的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式2x+53-x2＜m得：x＜6m﹣10，
解关于x的不等式2x+3≤x+m2得x≤m-63，
∵不等式2x+53-x2＜m解集中x的每一个值，都能使得关于x的不等式2x+3≤x+m2成立，
∴m-63≥6m﹣10，
解得：m≤2417，
故选：A．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
8．（2分）（2017秋•江津区期末）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为28块时，白色瓷砖块数为（　　）

A．27 B．28 C．33 D．35
【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；整式；推理能力．
【分析】根据题意得出第n个图形中有白色瓷砖n（n+2）块，共有瓷砖（n+2）（n+4）据此得出第n个图形中黑色瓷砖有（n+2）（n+4）﹣n（n+2）＝4n+8，再求出4n+8＝28时n的值，代入n（n+2）计算可得答案．
【解答】解：∵第1个图形中有白色瓷砖1×3块，共有瓷砖3×5块；
第2个图形中有白色瓷砖2×4块，共有瓷砖4×6块；
第3个图形中有白色瓷砖3×5块，共有瓷砖5×7块；
…
∴第n个图形中有白色瓷砖n（n+2）块，共有瓷砖（n+2）（n+4），
则第n个图形中黑色瓷砖有（n+2）（n+4）﹣n（n+2）＝4n+8，
当4n+8＝28，即n＝5时，白色瓷砖块数为5×7＝35，
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出第n个图形中白色和黑色瓷砖的块数．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2021•建阳区模拟）分解因式x2﹣9x：　x2﹣9x＝x（x﹣9）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（x﹣9），
故答案为：x2﹣9x＝x（x﹣9）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，找出各项的公因式是正确解答的关键．
10．（2分）（2020春•崆峒区期末）若x=-2y=9是方程5x+by＝35的解，则b＝　5　．
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出b的值．
【解答】解：把x=-2y=9代入方程得：﹣10+9b＝35，
解得：b＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
11．（2分）某车间生产同一件产品，日产量情况如下：2天是54件，5天是52件，15天是48件，3天是53件，3天是27件，2天是50件，那么该车间这个月的平均日产量是　47.6　，它的中位数是　48　，众数是　48　．
【考点】众数；加权平均数；中位数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可得到平均日产量，将这30天的日产量排序后处在第15、16位的平均数是中位数，日产量出现次数最多的众数．
【解答】解：x=54×2+52×5+48×15+53×3+27×3+50×22+5+15+3+3+2=47.6，
平均日产量的众数为48件，出现15次，
将这30天的日产量从小到大排列后处在第15、16位的数都是48，因此中位数是48，
故答案为：47.6，48，48．
【点评】考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，理解平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握计算方法是正确解答的关键，
12．（2分）（2020春•太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有　①③　（填序号）．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】利用垂线定义进行解答即可．
【解答】解：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，故原题说法正确；
②两条直线的交点叫交点，故原题说法错误；
③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB，故原题说法正确，
正确的说法有2个，
故答案为：①③．
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
13．（2分）（2021•彭泽县模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，大意是：有大、小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶、1个小桶分别可以盛酒x斛，y斛，则可列二元一次方程组为 　5x+y=3x+5y=2　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”列方程组即可．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组5x+y=3x+5y=2，
故答案为：5x+y=3x+5y=2．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
14．（2分）（2021春•道里区期末）如图（图中长度单位：米），用含x的式子表示阴影部分的面积是 　（x2+3x+6）　平方米．

【考点】列代数式．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；应用意识．
【分析】阴影部分的面积＝三个矩形的面积．
【解答】解：阴影部分的面积＝x2+3x+2×3＝（x2+3x+6）平方米．
故答案是：（x2+3x+6）．
【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是掌握矩形的面积公式和找到图中矩形的边长．
15．（2分）（2017秋•道外区期中）am＝8，an＝﹣0.125，则am+n＝　﹣1　．
【考点】同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵am＝8，an＝﹣0.125，
∴am+n＝am•an＝8×（﹣0.125）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
16．（2分）如图是一个风景区，A，B，C，D，E，F是这一风影区内的六个主要景点，现观光者聚于A点．假若你是导游，要带领游客欣赏这六个景点后再回到A点，但又不想多走“冤枉路”，你将选择的行走路线为 　A→E→D→C→F→B→A或
A→B→F→C→D→E→A或
A→E→D→C→B→F→A或
A→B→C→D→E→F→A或
A→F→E→D→C→B→A或
A→F→B→C→D→E→A　．（只需填一种即可）

【考点】推理与论证．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】根据题意分别得出符合题意的路径进而得出答案．
【解答】解：行走的路径有：A→E→D→C→F→B→A，
A→B→F→C→D→E→A，
A→E→D→C→B→F→A，
A→B→C→D→E→F→A，
A→F→E→D→C→B→A
A→F→B→C→D→E→A，
故共有6条路径．
故答案为：A→E→D→C→F→B→A或A→B→F→C→D→E→A或A→E→D→C→B→F→A或A→B→C→D→E→F→A或A→F→E→D→C→B→A或A→F→B→C→D→E→A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，利用列举法得出所有的可能是解题关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2020秋•资中县期中）（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．
（2）计算：20202﹣2019×2021．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先提公因式3，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）利用平方差计算乘法，再计算减法即可．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；

（2）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用，关键是掌握提取公因式法和公式法分解因式．
18．（5分）（2021•武昌区模拟）计算：[a•a5+（2a3）2]÷a3．
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：原式＝（a6+4a6）÷a3
＝5a6÷a3
＝5a3．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（5分）（2018秋•安化县期末）解不等式x-32-3x-23≤-1，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】去分母，去括号，移项，合并，系数化为1即可求解．
【解答】解：x-32-3x-23≤-1，
3（x﹣3）﹣2（3x﹣2）≤﹣6，
3x﹣9﹣6x+4≤﹣6，
﹣3x≤﹣1
x≥13；
在数轴上表示：

【点评】此题主要考查了不等式的解法，关键是解题过程中，在去分母时不要漏乘没有分母的项．
20．（5分）解方程组x2-y3=5x4+y5=1．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：3x-2y=30①5x+4y=20②，
①×2+②得：11x＝80，
解得：x=8011，
把x=8011代入①得：y=-4511，
则方程组的解为x=8011y=-4511．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（5分）（2021•河北模拟）定义新运算“★”和“#”如下：a★b＝ab+b，a#b＝ab﹣a2．例如：1★2＝1×2+2＝4，1#3＝1×3﹣12＝2．
（1）计算[(-12)★(-13)]#6；
（2）已知(-2)★x＜03#(-x)≥-21是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数．
【考点】中位数；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】实数；一次方程（组）及应用；统计的应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据定义的新运算的方法进行计算即可；
（2）根据新定义的运算方法将原不等式组转化为-2x+x＜0①-3x-9≥-21②，再求出整数解，最后求出整数解的中位数即可．
【解答】解：（1）原式＝[-12×(-13)+(-13)]#6
＝（-16）#6
＝（-16）×6﹣（-16）2
＝﹣1-136
=-3736．
（2）不等式组可变为，-2x+x＜0①-3x-9≥-21②，
解不等式①得，x＞0，
解不等式②得，x≤4，
所以不等式组的解集为0＜x≤4，
因此整数解为1，2，3，4，
所以不等式组的所有整数解的中位数为2+32=2.5．
【点评】本题考查一元一次不等式组，有理数的运算，理解新定义运算方法是正确计算的前提，求出不等式组的整数解是得出答案的关键．
22．（5分）（2021春•峄城区期末）（1）计算：2-1+|-5|-(1-π)0+(13)-1；
（2）先化简，再求值：[（2x﹣y）²﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2y），其中x=13，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂；绝对值．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数；整式；运算能力．
【分析】（1）先化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，然后再计算；
（2）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的计算法则计算括号里面的，然后再算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：（1）原式=12+5﹣1+3
=152；
（2）原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+2xy）÷（﹣2y）
＝（﹣2xy+y2）÷（﹣2y）
＝x-12y；
当x=13，y＝2时，
原式=13-12×2=13-1=-23．
【点评】本题考查负整数指数幂，零指数幂，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则及完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
23．（6分）（2012•莱芜）某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数．
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“放学时我到校门口随机调查部分同学”；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”．请指出哪位同学的调查方式最合理．
类别
频数（人数）
频率
武术类

0.25
书画类
20
0.20
棋牌类
15
b
器乐类


合计
a
1.00
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图．
请你根据以上图表提供的信息解答下列问题：
①a＝　100　，b＝　0.15　；
②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是　144°　；
③若该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程．

【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体．菁优网版权所有
【分析】（1）采用随机调查的方式比较合理，随机调查的关键是调查的随机性，这样才合理；
（2）①用喜欢书画类的频数除以喜欢书画类的频率即可求得a值，用喜欢棋牌类的人数除以总人数即可求得b值．
②求得器乐类的频率乘以360°即可．
③用总人数乘以喜欢武术类的频率即可求喜欢武术的总人数．
【解答】解：（1）∵调查的人数较多，范围较大，
∴应当采用随机抽样调查，
∵到六年级每个班随机调查一定数量的同学相对比较全面，
∴丙同学的说法最合理．

（2）①∵喜欢书画类的有20人，频率为0.20，
∴a＝20÷0.20＝100，
b＝15÷100＝0.15；
②∵喜欢器乐类的频率为：1﹣0.25﹣0.20﹣0.15＝0.4，
∴喜欢器乐类所对应的扇形的圆心角的度数为：360×0.4＝144°；
③喜欢武术类的人数为：560×0.25＝140人．
【点评】本题考查的用样本估计总体和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（6分）（2021春•长春期末）在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5．
（1）求k、b的值；
（2）当y＝0时，求x的值．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）将x＝1，时y＝3，x＝2时，y＝5代入等式y＝kx+b中，计算可求解k，b的值；
（2）由（1）得y＝2x+1，将y值代入等式计算可求求解．
【解答】解：（1）由题意得k+b=32k+b=5，
解得k=2b=1，
即k＝2，＝1；
（2）由（1）得y＝2x+1，
当y＝0时，2x+1＝0，
解得x＝﹣0.5．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代入计算是解题的关键．
25．（6分）（2022春•亭湖区校级月考）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 　a2﹣b2　； 　（a+b）（a﹣b）　；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　（用字母表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．
【拓展】
①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 　6　；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
【考点】平方差公式的几何背景；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）由图1、图2阴影部分的面积相等得出答案；
【应用】根据平方差公式计算即可；
【拓展】①配上因式（2﹣1），利用平方差公式求出结果，再根据2n的个位数字出现的规律进行判断即可；
②利用加法的交换律和平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即：a2﹣b2，图2的长是a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
【应用】（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2
＝4a2﹣b2+2bc﹣c2；
【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……而64÷4＝16，
∴264的个位数字为6，
故答案为：6；
【拓展】原式＝（2002﹣1992）+（1982﹣1972）+…+（42﹣32）（22﹣12）
＝（200+199）+（198+197）+…+（4+3）（2+1）
＝200+199+198+197+…+4+3+2+1
=200(200+1)2
＝20100．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
26．（6分）如图，已知∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，∠1＝35°，判断AB与CD的位置关系．

【考点】平行线的判定；角平分线的定义．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】由角平分线的定义得∠BAC=12∠DAB＝35°，再由∠1＝35°，得∠1＝∠BAC，然后由平行线的判定即可得出结论．
【解答】解：AB∥CD，理由如下：
∵∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC=12∠DAB＝35°，
∵∠1＝35°，
∴∠1＝∠BAC，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线定义，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
27．（7分）李明在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下：
时刻
12：00
13：00
16：00
公路里碑上的数
是一个两位数
十位与个位数字与12：00时
所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数
中间多了个0
求12：00时看到的两位数是多少？
【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，利用速度＝路程÷时间，结合汽车的行驶速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出2y＝7x，再结合x，y均为一位的正整数，即可得出x，y的值，将其代入（10x+y）中即可求出12：00时看到的两位数．
【解答】解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：(10y+x)-(10x+y)13-12=(100x+y)-(10x+y)16-12，
化简得：2y＝7x．
又∵x，y均为一位的正整数，
∴x＝2，y＝7，
∴10x+y＝10×2+7＝27．
答：12：00时看到的两位数是27．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
28．（7分）（2021春•新吴区月考）小松同学在解方程|x+1|+|x﹣2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而当﹣1≤x≤2时，取到它的最小值3，即为﹣1和2对应的点的距离．由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在﹣1的左边或2的右边，若x的对应点在﹣1的左边，利用数轴分析可以看出x＝﹣2；同理，若x的对应点在2的右边，可得x＝3；故原方程的解是x＝﹣2或x＝3（如图）．
参考小松的解答过程，解答下列问题：
（1）求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解．
（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥15；
（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．

【考点】解一元一次不等式；数轴；非负数的性质：绝对值；含绝对值符号的一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】阅读型；运算能力．
【分析】（1）数x到3的距离和到﹣4的距离之和为15；
（2）到3的距离和到﹣4的距离之和不小于15；
（3）|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，所以a是|x﹣3|﹣|x+4|的最大值．
【解答】解：（1）∵数x到3的距离和到﹣4的距离之和为15，且﹣4到3的距离为3﹣（﹣4）＝7，
∴x＞3或x＜﹣4，
当x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝x﹣3+x+4＝15，
解得x＝7，
当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝x﹣3+x+4＝15，
解得x＝﹣8．
（2）同（1）得x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝x﹣3+x+4≥15，
解得x≥7，
当x＜﹣4时，
则|x﹣3|+|x+4|＝3﹣x﹣x﹣4≥15，解得x≥﹣8．
（3）|x﹣3|﹣|x+4|为数轴上x到3的距离与x到﹣4的距离的差，
当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x+4|＝3﹣x﹣（x+4）＝﹣2x﹣1，
∴﹣7≤﹣2x﹣1≤7．
当x＜﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|＝3﹣x﹣（﹣x﹣4）＝7．
当x＞3时，|x﹣3|﹣|x+4|＝x﹣3﹣（x+4）＝﹣7，
∴x到3的距离与x到﹣4的距离的差最大值为7，
∴a≥7．
【点评】本题考查绝对值与不等式，解题关键是理解绝对值的含义，用分类讨论的思想求解．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
5．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
8．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
9．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
10．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
11．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
12．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
13．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
14．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
15．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
16．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
18．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
19．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
20．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
21．含绝对值符号的一元一次方程
解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
例如：解方程|x|＝2
解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2
方程的解为x1＝2或x2＝﹣2．
22．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
23．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
24．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
25．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
26．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
27．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
28．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
29．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
30．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
31．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
32．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
33．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
34．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
35．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
36．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
37．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
38．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
41．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
42．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
43．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
44．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．