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备战2022年广东高考数学仿真卷(10)
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备战2022年广东高考数学仿真卷(10)一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1.(5分)若复数,则 A.1 B.2 C. D.6【答案】【详解】解:复数,,,故选:.2.(5分)已知集合,,则 A. B. C. D.【答案】【详解】解:集合,或,,.故选:.3.(5分)“”是“函数在,上为增函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】【详解】解:若在,上为增函数,则在,上恒成立,即,,,,,是在,上为增函数的充分不必要条件.故选:.4.(5分)地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里氏震级标准.震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为:(其中(常数)是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅;是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅),地震的级数就是当地震发生时,以地震波的形式放出的能量的指示参数焦耳,其中为地震级数,它直接同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关,震源放出的能量越大,震级就越大.已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的倍,若玉树地震波产生的能量为,则汶川地震波产生的能量为 A. B. C. D.【答案】【详解】解:设玉树地震最大振幅为,则汶川地震最大振幅为,,,,,故选:.5.(5分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用的水泡制,再等到茶水温度降至时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律 A. B. C. D.,,【答案】【详解】解:由题意知茶水温度随时间的增大而减小,在,上是单调减函数,所以中的函数都不满足题意,只有选项满足题意.故选:.6.(5分)已知点为的外心,的边长为2,则 A. B.1 C.2 D.4【答案】【详解】解:点为的外心,的边长为2,如图:设的中点为,连接,则,,故选:.7.(5分)已知是边长为2的正三角形的边上的一点,则的取值范围是 A., B., C. D.【答案】【详解】解:由题意,如图:是边长为2的正三角形的边上的一点,过作于,,则,.故选:.8.(5分)已知函数,则不等式的解集是 A., B., C.,, D.,,【答案】【详解】解:的定义域为,,为上的奇函数,又.是上的增函数.由,得,则,即,解得:.不等式的解集是:,.故选:.二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9.(5分)已知双曲线的方程为,则下列说法正确的是 A.焦点为 B.渐近线方程为 C.离心率 D.焦点到渐近线的距离为4【答案】【详解】解:双曲线的方程为,焦点在轴上,焦点坐标,所以不正确;渐近线方程为所以正确;双曲线的离心率,所以正确;焦点到渐近线的距离为:,所以不正确;故选:.10.(5分)已知函数,下列说法正确的是 A.是周期函数 B.在区间,上是增函数 C.若,则 D.函数在区间,上有且仅有1个零点【答案】【详解】解:.其图象如图:由图可知,是周期为的周期函数,故正确;在区间,上不是单调函数,故错误;若,由,,则只有,即,只能是函数的最值点的横坐标,可得,故正确;函数的图象是把的图象向上平移1个单位得到的,则在区间,上有且仅有2个零点,故错误.说法正确的是.故选:.11.(5分)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为,若,则 A.的展开式中的常数项是56 B.的展开式中的各项系数之和为0 C.的展开式中的二项式系数最大值是70 D.,其中为虚数单位【答案】【详解】解:设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为,则圆柱的体积,球的体积,可得,圆柱的表面积,球的表面积为,则,可得.,其二项展开式的通项为,令,得,常数项为,故错误;各项系数和为(1),故正确;二项式系数的最大值为,故正确;,故错误.故选:.12.(5分)设,是抛物线上两个不同的点,为坐标原点,若直线与的斜率之积为,则下列结论正确的有 A. B. C.直线过抛物线的焦点 D.面积的最小值是2【答案】【详解】解:取,,满足,从而,故错误;由题意可知直线的斜率不为0,设直线的方程为,,,,,联立方程,消去整理可得:,则,,因为,所以,故直线过定点,正确;因为抛物线的焦点,所以直线过焦点,则由抛物线的性质可得,正确;由以上可知直线的方程为,则,原点到直线的距离为,则三角形的面积为,当且仅当时取等号,此时三角形的面积的最小值为2,故正确,故选:.三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)已知向量,的夹角为,,,则 .【答案】【详解】解:因为向量,的夹角为,,,所以,所以.故答案为:.14.(5分)写出一个对称中心为,的函数 .【答案】【详解】解:,答案不唯一,正确即可.15.(5分)若数列满足递推公式,且,,则 .【答案】2021【详解】解:,,且,,故答案为:2021.16.(5分)三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,已知是边长为2的正三角形,,则面积的最大值为 .【答案】【详解】解:由于为等边三角形,设中心为,设球的球心为,如图所示:所以,,则,点到的距离,所以,的最大值为.故答案为:.四.解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设的内角、、的对边分别为、、,,且为钝角.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ),【详解】解:(Ⅰ)由和正弦定理可得,,即又为钝角,,,,;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,,,由二次函数可知的取值范围为,18.(12分)已知数列满足,且.(1)证明:数列是等差数列;(2)记,为的前项和,求.【答案】(1)见解析(2)【详解】(1)证明:,且,,又,数列是首项为,公差为的等差数列;(2)解:由(1)可得:,,又,.19.(12分)茂名市是著名的水果之乡,“高农业”蓬勃发展,荔枝,华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外.某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品,成本为每份10元,然后以每份20元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的作垃圾处理.(1)若商铺一天准备170份这种产品,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量份的函数解析式.(2)商铺记录了100天这种产品的日需求量(单位:份),整理得图.若商铺计划一天准备170份或180份这种产品,用表示准备170份的利润,表示准备180份的利润,你认为应准备哪个数量更合理?请说明理由.(以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率)【答案】(1)(2)商铺应该准备170份【详解】解:(1)由题意可知,(2)若准备170份时,的可能取值为1100,1300,1500,1700,;;;;;若准备180份时,的可能取值为1000,1200,1400,1600,1800,;;;;;,以为,所以商铺应该准备170份.20.(12分)如图,四棱锥中,矩形,其中,,,点为矩形的边上一动点.(1)为线段上一点,,是否存在点,使得平面,若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由;(2)若,求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)存在(2)【详解】解:(1)存在点满足平面,此时证明如下:在线段上取一点,使得,因为,,所以且,又因为且,所以且,故四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2)因为平面,又平面,所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,设,因为,解得,即为的中点,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则有,即,令,则,,故,,所以直线与平面所成角的正弦值为,故直线与平面所成角的余弦值为.21.(12分)已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到右焦点的距离最长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线与椭圆交于,两点,的中垂线与轴交于点,试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【答案】(1)(2) 为定值,且定值为 4【详解】解:(1)由题意可设椭圆的半焦距为,则,解得.故椭圆的标准方程为.(2)当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,,,,,的中点为,,联立,整理得.由题意可知,则,从而,因为为的中点,所以,即.直线的方程可设为,令,得,则.故.当直线斜率的斜率为0时,,,则.综上, 为定值,且定值为 4.22.(12分)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,设函数的两个零点为,,试证明:.【答案】(1)在上单调递增;在上单调递增,在,上单调递减(2)见解析【详解】(1)解:函数的定义域为,,当时,恒成立,可得在上单调递增;当时,令,可得,令,可得,此时在上单调递增,在,上单调递减.(2)证明:当时,,,此时在上单调递增,在上单调递减,所以(1),由,(e),不妨设,则有,令,,,当时,,单调递增,因为,所以(1),所以,又因为,所以,因为,,在上单调递减,所以,即.
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