2022届四川省成都市第七中学高三下学期三诊模拟考试数学（文）含解析

  成都七中高2019级三诊模拟数学（文科）答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集是实数集，已知集合，，则C

A.  B.  C.  D.

2.已知i为虚数单位，则B

A. –1 B. 1 C.  D.

【详解】，故本题选B.

3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是

A. 已知函数在区间内有零点，则

B. 是与的等比中项

C. 若是不共线的向量，且，则∥

D. 已知角终边经过点，则

【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能，所以该选项错误.

B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且 ，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C

4.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,

矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，故该几何体的侧视图为D

5．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（     ）

A．     B．     C．     D．

【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.

6.已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件  C. 充分必要条件  D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】.

显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件，故本题选B.

7．已知，满足约束条件，若的最大值是16，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

解：画出，满足约束条件，的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数

在的交点处，目标函数最大值为16，

所以，所以．故选：．

8.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【详解】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，

可得，设，

由，可得，即，

则

，

当时，的最小值为．故选：D．

9．在正方体中，，，分别为，，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面.其中所有正确结论的编号是（  ）

A．① B．②③ C．①② D．①③

【答案】D

【解析】①计算出三边是否相等；②平移与，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面内是否有与平行的直线．

【详解】

易证的三边相等，所以它是正三角形.

平面截正方体所得截面为正六边形，且该截面与的交点为的中点，

易证，从而平面.取的中点，连接，，

则，易知，

所以与所成角不可能是，从而异面直线与所成角不是.

故①③正确.

10．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，其半焦距为，点在双曲线上，与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为与轴垂直，所以为直角三角形且直角顶点为，

因为，到直线的距离为，故．

因为为锐角，故，．

在中，，．

由双曲线的定义可得，故．

11．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A．B．  C．  D．

【答案】D

【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，

，，由，得，

，解得或，

，，

，，

，

解得，

直线的斜率的取值范围为.故选：D.

12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【解析】原不等式可化为，

设，则直线过定点，

由题意得函数的图象在直线的下方．

∵，∴．

设直线与曲线相切于点，

则有，消去整理得，解得或（舍去），

故切线的斜率为，解得．

又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时， ，由解得．

当直线绕着点旋转时可得，

故实数的取值范围是．选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是__________．（用具体数字作答）

【答案】10

14.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若，，且的面积是，则 __________.

【答案】  

【详解】因为，，所以,

又因为的面积是,所以,而,所以,,

由余弦定理可知：，而的面积是，所以有.

15．已知函数，则函数有的零点个数是______个．

【答案】3

【解析】分别画出和的图像，如图：

和图像由三个交点，的零点的个数为，

16．圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为______.

【答案】

【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，

侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,

则圆锥的体积为,

设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,

在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,

展开整理得R=所以外接球的体积为,

故所求体积比为

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.已知函数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）若，求的值．

解：（Ⅰ）由已知得，，则，所以．

又，所以，

又，所以. 所以，即，

所以.

（Ⅱ）因为，所以，

所以．

当时，；

当时，.

所以，或.

18．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.

附：，其中.

解：（1）由题意可得：

则，

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.

采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；

不经常阅读的有2人，记为、.

从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，

被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，

所求概率为.

19．如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积．

【解析】（1）证明：取的中点，连接，，

，，，，

，，，

，即，

又，、平面，平面，

平面，平面平面，

平面平面，平面平面．

（2）解：由（1）知，平面，三棱柱的高为，

而，

，，

四棱锥的体积．

20.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点.

（1）求的方程；

（2）设与轴正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标.

解：（1）由题意，设椭圆：，焦距为，

则，椭圆的另一个焦点为，

由椭圆定义得，，，

所以的方程.

（2）由已知得，由得，

当时，，，则，，

，，

由得，即，

所以，，解得或，

①当时，直线经过点，舍去；

②当时，显然有，直线经过定点.

21．已知函数．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；

（3）当时，设函数．证明：对于任意的，函数有且只有一个零点．

解：（1），，

切线的斜率，

，切线的方程为，即．

（2）对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立．

令，则．

由，得；由，得．

在上单调递减，在上单调递增，

，，故的取值范围为．

（3）证明：当时，，

，，

当时，，在上单调递增．

又，，，

由零点存在定理可得函数在上至少有一个零点，

又在上单调递增，在上有且只有一个零点．

当时，令，则．

，令，得；令，得，

在上单调递减，在上单调递增，

在上恒成立，

恒成立，即在上没有零点．

综上，对于任意的，函数有且只有一个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

（1）若，求线段中点的坐标；

（2）若，其中，求直线的斜率.

解：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

代入曲线的普通方程，得，则，

所以，点的坐标为．

（2）将代入，得，

因为，，所以．

得．由于，故．

所以直线的斜率为．

23．设函数，恒成立.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

解:（1）由题意知恒成立，即恒成立，

可得函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，则，

即，整理得，解得，

综上实数的取值范围是.

（2）由，知，即，

所以要证，

只需证，即证，

又

，成立.