2021-2022学年江西省临川第二中学、临汝中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省临川第二中学、临汝中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省临川第二中学、临汝中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若，则是第（       ）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】由终边位置可得结果.【详解】，终边落在第三象限，为第三象限角.故选：C.2．已知向量，则（       ）A．(1，－2) B．(1，2)C．(5，6) D．(2，0)【答案】A【分析】由已知条件直接求解即可【详解】因为向量，所以，故选：A.3．若角α的终边过点A(2，1)，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义得到，由诱导公式得到，代入即可.【详解】因为角α的终边过点A(2，1)，则由三角函数定义，，则.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数定义、诱导公式，注意正负号的选取.4．已知向量 ，则 在 方向上的投影数量为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的几何意义进行求解即可.【详解】因为，所以，因此 在 方向上的投影数量为，故选：D5．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求解【详解】，则，由正弦定理化简得故选：B6．某数学兴趣小组要测量校园内国旗杆的高度，测量的同学在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示.在处测得国旗杆顶端的仰角为，在处测得国旗杆顶端的仰角为.若，则国旗杆的高度为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先在中，利用正弦定理求得BD，再在中，由求解.【详解】解：在中，由正弦定理得，即，所以，在中，，故选：A7．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：①三点共线；②为平面上任一点，三点共线，且.8．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（       ）A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6【答案】B【分析】由函数关系式分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.【详解】设时开始开放，时开始闭合，则又，解得，，由得，.故选：B. 二、多选题9．下列命题中，不正确的是（       ）A．若为单位向量，且，则B．若，，则C．D．若平面内有四点，则必有【答案】ABC【分析】由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确.【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误；对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABC.10．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【详解】解：，点在边上，，故选：．11．已知函数 的部分图象如图所示，把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，得到函数 的图象，则 （       ）A．为偶函数B．的最小正周期是C．的图象关于直线对称D．在区间 上单调递增【答案】AB【分析】根据函数图象的特殊点求出函数的表达式，再根据正弦型函数图象变换的性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、最小正周期公式逐一判断即可.【详解】由函数的图象可知，函数的最大值为，所以，由函数的图象可知：，由，由，因为，所以令，即，所以，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，所以.令.A： 因为，所以函数是偶函数，故本选项说法正确；B：的最小正周期为：，所以本选项说法正确；C：因为，所以的图像不关于直线对称，因此本选项说法不正确；D：因为，所以，显然，所以在区间 上单调递减，因此本选项说法不正确，故选：AB12．下列结论正确的是（       ）A．若 为锐角，则实数 的取值范围是 B．已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为C．点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则D．点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心【答案】BCD【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：对于A：因为，，，所以，，因为为锐角，所以，解得，当，即时，故且，故A错误；对于B：不妨设、，设，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，所以，故B正确；对于C：因为，取的中点，则，所以为的中点，连接，因为是的中点，所以，是的中点，所以，，所以，故C正确；对于D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上，，可得，所以在的平分线上，则点是的内心，故D正确，故选：BCD． 三、填空题13．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____________.【答案】【分析】直接利用扇形面积公式得到答案.【详解】 故答案为【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题.14．已知，则=__________．【答案】【分析】化为分式，利用齐次式求解即可【详解】故答案为【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，齐次式值，将原式化为分母为1 是关键，是基础题15．若非零向量满足，且，则向量和夹角为___________．【答案】【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果.【详解】，，即，又，，为非零向量，，又，.故答案为：.【点睛】本题考查根据平面向量数量积求解向量夹角的问题，涉及到平面向量的垂直关系；关键是利用向量垂直关系得到向量数量积为零.16．如图，在中，若，则面积的最大值为__________．【答案】2【分析】先求得面积的的表达式，再对其求最大值即可解决.【详解】中，令，则，又，则有，则则又，则，（当且仅当时等号成立）则面积的最大值为2故答案为：2 四、解答题17．已知．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.试题解析：（1）（2）由（1）得 所以 【解析】向量的坐标运算.18．设函数 .(1)求函数 的定义域;(2)求不等式 的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根据正切函数的性质计算可得；【详解】(1)解：函数，所以，，解得，；故函数的定义域为．(2)解：因为，，则，，解得，，故原不等式的解集为，19．如图，在圆内接四边形 中，.(1)求;(2)求 的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理求得.（2）结合余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式来求得 的面积的最大值.【详解】(1)在三角形中，由正弦定理得.(2)，设，为正数，在三角形中，由余弦定理得：，即，当且仅当时等号成立.所以，即 的面积的最大值为.20．如图，在四边形中，，且 .(1)求实数的值(2)已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案.（2）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.【详解】(1)因为，所以，所以，所以，所以，又，所以，即.(2)以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，因为，所以，则，设，则，因为是线段上的两个动点，所以，解得，所以，所以，所以当x=3时，有最小值21．在 中，内角 的对边分别为 ，且 .(1)求角(2)已知 为 边上靠近点 A 的三等分点，且 的面积为 ，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得角B .（2）根据题意，可得b=3，根据正弦定理，可得a，c的表达式，代入面积公式，可得，根据，代入化简可得角C，进而可得角A及a，结合余弦定理，即可得答案.【详解】(1)由正弦定理角化边可得，由余弦定理得，因为，所以.(2)因为，且 为 边上靠近点 A 的三等分点，所以，即，由正弦定理得，所以，所以的面积，所以，又，所以，所以，所以，因为，所以或，解得或，因为，所以，所以当时不满足题意，故舍去，所以，则，所以，在中，，所以．22．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据正弦函数的单调性得出，然后通过计算即可得出结果；（2）首先可通过解得或，然后绘出函数在区间上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，最后分为或、、、四种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）令，解得，故的单调递增区间为，（2）等价于，解得或，因为，所以，，如图，绘出函数的图像，方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，①当或时，无解，不符合题意； ②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；   ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意； ④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，综上，m的取值范围为．【点睛】本题考查三角函数单调区间的求解以及三角函数图像的综合应用，可借助正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性来求解三角函数的单调区间，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查推理能力，是难题.