2021-2022学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）双曲线的焦点坐标为（　　）
A． B．（±2，0） C． D．（0，±2）
2．（5分）等比数列{an}满足a3，a5＝3，则a4＝（　　）
A．1 B．±1 C．9 D．±9
3．（5分）下列各式正确的是（　　）
A．（lnx）′＝lnx
B．（（x+1）2）′＝2x
C．（ex•sinx）′＝ex（sinx+cosx）
D．
4．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，点在抛物线上，则|AF|＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．（5分）下列对动直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）的四种表述不正确的是（　　）
A．与曲线C：x2+y2＝20可能相离，相切，相交
B．恒过定点（﹣3，3）
C．m＝﹣3时，直线斜率是0
D．m＝1时，直线的倾斜角是135°
6．（5分）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．
7．（5分）若a＞b＞0，alna＝blnb，clnc＞0，则a，b，c与1的大小关系是（　　）
A．b＜1＜a＜c B．1＜c＜b＜a C．b＜a＜1＜c D．1＜b＜c＜a
8．（5分）已知数列{an}满足：，数列{an}的前n项和为Tn，若恒成立，则λ的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，4）
二、多选题
（多选）9．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝﹣13，S3＝﹣33，则下列结论正确的是（　　）
A．an＝2n﹣15
B．{an}是先递减后递增的数列
C．a12是a8和a48的等比中项
D．Sn的最小值为﹣49
（多选）10．（5分）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；高三年级有13个班，每班50人．甲同学就读于高一，乙同学就读于高二．学校计划从这三个年级中共抽取300人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二、高三年级应分别抽取100人、135人和65人
C．乙同学被抽到的可能性比甲同学大
D．该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力
（多选）11．（5分）如图，点A（2，0），B（1，1），C（﹣1，1），D（﹣2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω则下列结论正确的是（　　）

A．曲线Ω与x轴围成的图形的面积等于π+2
B．过点的直线l与所在圆相交所得弦长为，则l的直线方程为
C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为x﹣y＝0
D．过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为x+y﹣2＝0
（多选）12．（5分）已如函数f（x）＝ex•x3，则以下结论正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）存在极大值和极小值
B．f（e﹣2）＜f（1）＜f（lnπ）
C．函数y＝f（x）存在最小值
D．对于任意实数k，方程f（x）＝kx最多有4个实数解
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）直线2ax﹣3y+8＝0与直线x﹣y﹣1＝0垂直，则a＝　 　．
14．（5分）已知等比数列{an}满足，a1，公比q，则{an}的前2021项和S2021＝　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则函数y＝f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为　 　．
16．（5分）直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M（1，t）（t∈R），直线l'是线段AB的垂直平分线，若OD⊥l'，D为垂足，则D点的轨迹方程是 　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l1：3x﹣4y+6＝0，直线l2：3x﹣4y+c＝0．
（1）若l1，l2之间的距离为3，求c的值；
（2）求直线l1截圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0所得弦长|AB|．
18．（12分）为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组[10，30），第二组[30，50），…，第五组[90，110）．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．

19．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，点P（x，y）是该椭圆上任意一点，当PF2⊥x轴时，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记m＝x+y，求实数m的最大值．
20．（12分）已知等差数列{an}满足；正项等比数列{bn}满足，b2•b8＝b10，b2+b4＝20．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn＝（4﹣2an）•bn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最大项的值．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝2px，点C（1，0），过点P（2，0）的直线l与抛物线Γ交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，AB＝4．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点A在第一象限，记△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，求S1+2S2的最小值．

22．（12分）已知函数，f'（x）为f（x）的导函数．
（1）求f（x）的定义域和导函数；
（2）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若对，都有f（x1）≥1成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．

2021-2022学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）双曲线的焦点坐标为（　　）
A． B．（±2，0） C． D．（0，±2）
【解答】解：∵双曲线，∴c2＝4，∴F（±2，0），
故选：B．
2．（5分）等比数列{an}满足a3，a5＝3，则a4＝（　　）
A．1 B．±1 C．9 D．±9
【解答】解：由题意，．
故选：B．
3．（5分）下列各式正确的是（　　）
A．（lnx）′＝lnx
B．（（x+1）2）′＝2x
C．（ex•sinx）′＝ex（sinx+cosx）
D．
【解答】解：对于A：（lnx）′，故A错误；
对于B：（（x+1）2）′＝（x2+2x+1）′＝2x+2，故B错误；
对于C：（ex•sinx）′＝（ex）′sinx+ex（sinx）′＝exsinx+excosx＝ex（sinx+cosx），故C正确；
对于D：（x﹣5）′＝﹣5x﹣6，故D错误．
故选：C．
4．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，点在抛物线上，则|AF|＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，点在抛物线上，
可得1＝2p，
解得p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x，准线方程为：x＝﹣1，
则|AF|＝1．
故选：D．
5．（5分）下列对动直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）的四种表述不正确的是（　　）
A．与曲线C：x2+y2＝20可能相离，相切，相交
B．恒过定点（﹣3，3）
C．m＝﹣3时，直线斜率是0
D．m＝1时，直线的倾斜角是135°
【解答】解：对于直线l：（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，（m∈R）．整理得：m（x+3）+（3x+4y﹣3）＝0，
故，整理得，即经过定点（﹣3，3），故B正确；
又（﹣3）2+32＜20，∴点（﹣3，3）在圆x2+y2＝20内，所以直线与圆恒有两个交点，故A不正确；
当m＝﹣3时，直线方程为y，∴直线斜率是0，故C正确；
当m＝1时，直线方程为y＝﹣x，∴直线斜率是﹣1，∴直线倾斜角是135°，故D正确．
故选：A．
6．（5分）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．
【解答】解：设椭圆C1：的离心率为e1，则，
依题意，双曲线C2；的离心率为，而，
于是得，解得：，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：C．
7．（5分）若a＞b＞0，alna＝blnb，clnc＞0，则a，b，c与1的大小关系是（　　）
A．b＜1＜a＜c B．1＜c＜b＜a C．b＜a＜1＜c D．1＜b＜c＜a
【解答】令f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，如图，
又f（1）＝0，clnc＞0，
∴b＜a＜1＜c．
故选：C．

8．（5分）已知数列{an}满足：，数列{an}的前n项和为Tn，若恒成立，则λ的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，4）
【解答】解：[]，
所以Tn[（1）+（）+…+（）]（1）•，
因为恒成立，
所以•，即λ，
设f（n）••[（n+1）10]•（210）＝4，
当且仅当n+1，即n＝2时，等号成立，
所以f（n）的最小值为4，
所以λ＜4，即λ的取值范围是（﹣∞，4）．
故选：D．
二、多选题
（多选）9．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝﹣13，S3＝﹣33，则下列结论正确的是（　　）
A．an＝2n﹣15
B．{an}是先递减后递增的数列
C．a12是a8和a48的等比中项
D．Sn的最小值为﹣49
【解答】解：因为等差数列{an}中，a1＝﹣13，S3＝﹣13×3+3d＝﹣33，
所以d＝2，
所以an＝﹣13+2（n﹣1）＝2n﹣15，A正确；
因为d＝2＞0，数列{an}单调递增，B错误；
a12＝9，a8＝1，a48＝81，
则，即a12是a8和a48的等比中项，C正确；
因为Sn＝﹣13n+n（n﹣1）＝n2﹣14n，
当n＝7时，Sn取得最小值﹣49，D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；高三年级有13个班，每班50人．甲同学就读于高一，乙同学就读于高二．学校计划从这三个年级中共抽取300人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二、高三年级应分别抽取100人、135人和65人
C．乙同学被抽到的可能性比甲同学大
D．该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力
【解答】解：由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法，故选项A正确，
由于比例为，
所以高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，高三年级650人中应抽取65人，故选项B正确，
因为甲、乙被抽到的可能性都是，故选项C错误，
该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力，故选项D正确，
故选：ABD．
（多选）11．（5分）如图，点A（2，0），B（1，1），C（﹣1，1），D（﹣2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω则下列结论正确的是（　　）

A．曲线Ω与x轴围成的图形的面积等于π+2
B．过点的直线l与所在圆相交所得弦长为，则l的直线方程为
C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为x﹣y＝0
D．过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为x+y﹣2＝0
【解答】解：，，所在圆的方程分别为（x+1）2+y2＝1，x2+（y﹣1）2＝1，（x﹣1）2+y2＝1，
曲线Ω与x轴围成的图形为一个半圆一个矩形和两个圆，其面积为2+2π+2，故A错误；
当斜率不存在时，x，圆心到直线的距离为，弦长＝2，所以x符合题意，故B错误；
由x2+（y﹣1）2＝1 及（x﹣1）2+y2＝1，
两式相减得x﹣y＝0，
即公共弦所在直线方程为x﹣y＝0，故C正确；
当直线的截距为0时，直线方程为y＝x，
当直线的截距不为0时，1，又直线过点B（1，1），
所以1，解得a＝2，所以直线方程为x+y﹣2＝0；
综上所述：过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，故D错误；
故选：AC．
（多选）12．（5分）已如函数f（x）＝ex•x3，则以下结论正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）存在极大值和极小值
B．f（e﹣2）＜f（1）＜f（lnπ）
C．函数y＝f（x）存在最小值
D．对于任意实数k，方程f（x）＝kx最多有4个实数解
【解答】解：f′（x）＝ex•x3+3x2ex＝x2ex（x+3），
当x＞﹣3时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜﹣3时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，函数在x＝﹣3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；
当x＞﹣3时，函数f（x）单调递增，且﹣3＜e﹣2＜1＜lnπ，
所以f（e﹣2）＜f（1）＜f（lnπ），B正确；
由f（x）＝kx得ex•x3＝kx有一零点x＝0，
令h（x）＝ex•x2，则h′（x）＝exx（x+2），
当x＞0或x＜﹣2时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当﹣2＜x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
又h（﹣2），h（0）＝0，
当0＜k时，h（x）与y＝k有3个交点，此时f（x）＝kx有4个实数解，D满足题意．
故选：BCD．

三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）直线2ax﹣3y+8＝0与直线x﹣y﹣1＝0垂直，则a＝　　．
【解答】解：直线2ax﹣3y+8＝0与直线x﹣y﹣1＝0垂直，
所以2a×1﹣3×（﹣1）＝0，解得a．
故答案为：．
14．（5分）已知等比数列{an}满足，a1，公比q，则{an}的前2021项和S2021＝　1　．
【解答】解：因为等比数列{an}满足，a1，公比q，
则{an}的前2021项和S20211．
故答案为：1．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则函数y＝f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为　y＝2x﹣1　．
【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x，则f′（x）1，
则f（1）＝ln1+1＝1，f′（1）1＝2，
则切线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1；
故答案为：y＝2x﹣1．
16．（5分）直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M（1，t）（t∈R），直线l'是线段AB的垂直平分线，若OD⊥l'，D为垂足，则D点的轨迹方程是 　　．
【解答】解：根据题意可得M（1，t）在椭椭圆的内部，
所以，且直线l的斜率不为0，
当直线l的斜率存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y12＝1，y22＝1，
两式相减得（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
由线段AB的中点为M（1，t），
所以x1+x2＝2，y1+y2＝2t，
所以直线l的斜率为k，
因为直线l'是线段AB的垂直平分线，
所以直线l'的方程为y﹣t＝4t（x﹣1），即y＝t（4x﹣3），
令4x﹣3＝0，
所以x，y＝0，
所以直线l'过定点（，0），
OD⊥l'，D为垂足，则D点的轨迹方程是以定点与坐标原点的中点为圆心，
定点与坐标原点距离为直径的圆，．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l1：3x﹣4y+6＝0，直线l2：3x﹣4y+c＝0．
（1）若l1，l2之间的距离为3，求c的值；
（2）求直线l1截圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0所得弦长|AB|．
【解答】解：（1）因为两条平行线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+c＝0间的距离为3，
所以，解得c＝21或c＝﹣9；
（2）圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
则圆心C（2，2）到直线l1的距离d′，
所以直线l1截圆C所得弦长为|AB|＝2．
18．（12分）为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组[10，30），第二组[30，50），…，第五组[90，110）．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．

【解答】解：（1）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x，
依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08＝1，
所以x＝0.02，
所以第一组数据的频率为3x＝0.06，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得n＝50，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间．
（2）平均数＝20×0.06+40×0.16+60×0.38+80×0.32+100×0.08＝64．
19．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，点P（x，y）是该椭圆上任意一点，当PF2⊥x轴时，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记m＝x+y，求实数m的最大值．
【解答】解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4＝2a，a＝2，
所以，∴c＝1，
可得b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
所以椭圆标准方程为：；
（2）法（一）设x＝2cosθ，，
，最大值是．
法（二）因为m＝x+y，可得y＝﹣x+m，
联立方程：，整理可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12＝0，
Δ＝64m2﹣28（4m2﹣12）＝48（7﹣m2）≥0，
可得，
所以m的最大值为．
20．（12分）已知等差数列{an}满足；正项等比数列{bn}满足，b2•b8＝b10，b2+b4＝20．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn＝（4﹣2an）•bn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最大项的值．
【解答】解：（1）因为，
所以nan（n≥2），即，
因为a11满足上式，所以（n∈N*），
设等比数列{bn}的公比为q（q＞0），
因为b2⋅b8＝b10，所以b1q⋅b1q7＝b1q9，即b1＝q，
又b2+b4＝20，所以b1q+b1q3＝20，即q2+q4＝20，解得q＝±2（舍负），
所以．
（2）由（1）知，，
所以c1＞0，c2＞0，c3＝0，cn＜0（n＞3），
而T2＝c1+c2＝8，T3＝c1+c2+c3＝8，
所以Tn的第2项或者第3项最大，最大值是8．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝2px，点C（1，0），过点P（2，0）的直线l与抛物线Γ交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，AB＝4．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点A在第一象限，记△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，求S1+2S2的最小值．

【解答】解：（1）令，，则代入抛物线方程则8＝4p，
所以抛物线方程是y2＝4x．
（2）（法一）设直线AB为x＝ty+2，联立抛物线整理得：y2﹣4ty﹣8＝0，Δ＝16t2+32＞0，t∈R，
∴y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8，
有，由A在第一象限，则y1＞0，即y2＜0，
∴，可得，
又O到AB的距离，
∴，而，
∴，，，
f'（t）＜0；，f'（t）＞0，
∴S1+2S2的最小值为．
（法二2）设A（x1，y1），B（x2，y2），，，S1+2S2＝y1﹣2y2，
∵y1y2＝﹣8，，当且仅当y1＝4，y2＝﹣2时，取到最小值．
22．（12分）已知函数，f'（x）为f（x）的导函数．
（1）求f（x）的定义域和导函数；
（2）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若对，都有f（x1）≥1成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数，
∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），．
（2）当a＝2时，0恒成立，
所以f（x）在（0，1）单减，（1，+∞）也单减，无增区间．
（3）若对，都有f（x1）≥1成立，即，即，
令，x∈[e，e2]，则．
对于函数，，
当x＝4时，φ（x）取最大值为ln4﹣2＜0，所以，
所以（lnx）2＜x，故h'（x）＜0恒成立，h（x）在x∈[e，e2]为减函数，最小值为，所以；
由（1）知，，所以，记，
令，则原式的值域为，，，．
综上，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 10:08:13；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983