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2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（2﹣i）i的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．2i
2．（5分）先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，则 B．若||＝||，则
C．若∥，∥，则∥ D．若||＝||+||，则∥
4．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＝2 B．5，s2＞2 C．5，s2＜2 D．5，s2＜2
5．（5分）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，则（ ）
A．P（A）＜P（B） B．P（A）＝P（B）
C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝1
6．（5分）若向量（1，），（4，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0） B． C．1 D．2
7．（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．
以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
8．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2，||＝||，则•（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
（多选）10．（5分）下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z1，z2满足z1，则z1z2∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
（多选）11．（5分）已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了440人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%
D．估计高中学生的近视人数约为44000
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是（ ）
A．动点M轨迹的长度是2
B．三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是
D．存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0～50时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在51～100时，空气质量指数级别为二级（良）……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：
空气质量指数
[0，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
（70，80]
（80，100]
＞100
天数
8
21
22
18
17
8
5
1
依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是 ．
14．（5分）已知复数z（i是虚数单位），则|z|＝ ．
15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2bc，c＝4，则边a的取值范围是 ．
16．（5分）已知复数z满足|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是 ．
17．（5分）已知球O的球面面积为100π，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA＝6，∠ABC＝60°，则该四面体的体积的最大值是 ．
18．（5分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，则||+|23|的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN．
（Ⅰ）求M，N两地间的直线距离；
（Ⅱ）求观光线路PM+PN长的取值范围．
20．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
（Ⅲ）从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400）内的概率．
21．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为D'，此时ED'，M是AD'的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D'HE；
（Ⅱ）求二面角H﹣ED'﹣C的余弦值．
22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）已知b＝c（cosA﹣sinA），且____（在①，②B，③a1，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；
（Ⅱ）若，，AE与BD交于点F，过F的直线分别交线段AD，BE于M，N两点，设，，求p+q的最小值．
23．（12分）如图，已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC⊥BC，∠ABC＝60°，SA＝SB＝SC＝4，∠ASB＝90°．
（Ⅰ）求SC与平面SAB所成的角的正弦值；
（Ⅱ）棱SC上是否存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD？若存在，求SM的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（2﹣i）i的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．2i
【解答】解：复数（2﹣i）i＝1+2i，故它的虚部为2，
故选：C．
2．（5分）先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：先后抛掷质地均匀的硬币两次，
则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为：
p．
故选：B．
3．（5分）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，则 B．若||＝||，则
C．若∥，∥，则∥ D．若||＝||+||，则∥
【解答】解：如满足，得不出，∴A错误；
比如，满足，得不出，∴B错误；
比如，，，不共线，满足，得不出，∴C错误；
满足时，可得出，同向，从而得出，∴D正确．
故选：D．
4．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＝2 B．5，s2＞2 C．5，s2＜2 D．5，s2＜2
【解答】解：某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，
此时这20个数据的平均数为，方差为s2，
则5，
∴s2[19×2+（5﹣5）2]＝1.9＜2．
故选：C．
5．（5分）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，则（ ）
A．P（A）＜P（B） B．P（A）＝P（B）
C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝1
【解答】解：从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，
事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，
P（A），P（B），
∴P（A）＝P（B），故A错误，B正确；
P（A∪B）＝P（A），故C错误；
P（A）+P（B），故D错误．
故选：B．
6．（5分）若向量（1，），（4，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0） B． C．1 D．2
【解答】解：∵（1，），（4，0），
∴•4，
∴在上的投影为||cos，||•1，
∴在上的投影向量为（1，0）．
故选：A．
7．（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．
以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
【解答】解：对于A，57%×6%＜6%，故A错误；
对于B，57%×13%＞6%，故B错误；
对于C，16%＝40000亿，故C错误；
对于D，若“金融业”生产总值为41040亿元，
则第二产业生产总值为166500亿元，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2，||＝||，则•（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由2知，O为BC的中点，如图所示．
又O为△ABC外接圆的圆心，||＝||，
∴BC为直径，且∠ABC，
向量
．
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
【解答】解：设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则：
对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m∥n，α∥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥β，故B正确；
对于C，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z1，z2满足z1，则z1z2∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
【解答】解：若复数z满足z2∈R，则z可以为实数，也可为纯虚数，故A错误；
若复数z1，z2满足z1，则z1z2z2，为实数，故B正确；
若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，故C错误；
（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则不一定有z1＝z2＝z3，例如z1＝1+z2，z3＝z2+i 时，
故D错误，
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了440人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%
D．估计高中学生的近视人数约为44000
【解答】解：从高中生中抽取人数为2000＝440，∴A对；
每名学生被抽到的概率为，∴B对；
该地区中小学生总体的平均近视率为100%＝53%，∴C错；
中学生的近视人数约为55000×0.8＝44000，∴D对．
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是（ ）
A．动点M轨迹的长度是2
B．三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是
D．存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为
【解答】解：如图，取AD、AB的中点E、F，连接PD、D1E、EF、A1F、B1F、B1D1、BD1，
则D1E⊥PD，D1E⊥DC，则D1E⊥平面PCD，
则D1E⊥PC，同理可证，EF⊥PC，
则PC⊥平面D1EFB1，
则点M∈平面D1EFB1，又由点M∈平面AA1B1B，
则点M∈B1F，
即动点M轨迹为线段B1F，其长度为2，故A对，
三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F﹣A1B1D1，
其体积为4×4×4，故B对，
∵BC∥A1D1，∴直线D1M与BC所成的角即直线D1M与A1D1所成的角，即∠A1D1M＝α，
∵A1D1⊥平面AA1B1B，∴△A1D1M为直角三角形，
故tanαA1M，
且当A1M⊥B1F时，A1M最小，此时，A1M，
故tanα的最小值是A1M，故C对，
当点M与B1重合时，直线BD1与平面A1D1M所成的角最大，设
设直线BD1与平面A1D1B1所成的角为β，则sinβ，
故β，故D错，
故选：ABC．
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0～50时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在51～100时，空气质量指数级别为二级（良）……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：
空气质量指数
[0，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
（70，80]
（80，100]
＞100
天数
8
21
22
18
17
8
5
1
依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是 0.51 ．
【解答】解：根据已知表可得估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率为：
P0.51，
故答案为：0.51．
14．（5分）已知复数z（i是虚数单位），则|z|＝ 1 ．
【解答】解：，
∴|z|＝1，
故答案为：1
15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2bc，c＝4，则边a的取值范围是 （2，4） ．
【解答】解：因为b2+c2﹣a2bc，
所以由余弦定理可得cosA，
因为A为锐角，
所以A，
因为在锐角△ABC中，，可得C，
所以sinC∈（，1），
由正弦定理，可得a∈（2，4）．
故答案为：（2，4）．
16．（5分）已知复数z满足|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是 7 ．
【解答】解：∵|z+3+4i|＝2≥|z|﹣|3+4i|∴|z|≤2+|3+4i|＝2+5＝7，
故|z|的最大值是7，
故答案为：7．
17．（5分）已知球O的球面面积为100π，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA＝6，∠ABC＝60°，则该四面体的体积的最大值是 ．
【解答】解：如图，设球的半径为R，∵球面面积为100π，即4πR2＝100π，∴R＝5，
∵SA⊥平面ABC，SA＝6，满足侧棱⊥底面，可转化为直棱柱外接球计算，
设△ABC外接球的半径为r，锥高h＝SA＝6，
由题可知，，即52＝32+r2，解得r＝4，
由正弦定理可知，，∴AC＝2r•sinB，
由余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB≥2AB•BC﹣2AB•BC•cosB，
即AB•BC≤48，当且仅当AB＝BC时取等号，
当△ABC面积最大时，四面体的体积取最大值，
，
∴四面体的体积的最大值为Vmax，
故答案为：．
18．（5分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，则||+|23|的最大值是 ．
【解答】解：设，
则，
令，则8m2+n2＝54，
设，其中α为锐角，
因为，所以，
则，其中，且，
当时，的值随着α的增大而增大，
所以当时，取得最大值．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN．
（Ⅰ）求M，N两地间的直线距离；
（Ⅱ）求观光线路PM+PN长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）在△AMN中，由余弦定理得
MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcos120°＝7，
解得MN（千米）；
（Ⅱ）设∠MNP＝α，∠MPN＝60°，∴∠PMN＝120°﹣α，
在△PMN中，由正弦定理，得，
∵，∴PMsinα，PNsin（120°﹣α），
∴PM+PNsinαsin（120°﹣α）（sinαcosαsinα）
（sinαcosα）sin（α+30°）
又因为α∈（0°，120°），所以sin（α+30°）∈
所以PM+PN∈，
即观光线路PM+PN长的取值范围为．
20．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
（Ⅲ）从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400）内的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：
（x+0.0036+0.0060+0.0044+x+0.0008+0.0004）×50＝1，
解得x＝0.0024．
∴直方图中x的值为0.0024．
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值为：
75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.0044×50+275×0.0024×50+325×0.0008×50+375×0.0004×50＝187，
[50，150）的频率为：（0.0024+0.0036）×50＝0.3，
[150，200）的频率为0.0060×50＝0.3，
∴估计该小区居民用电量的中位数为150．
（Ⅲ）用电量落在区间[300，350）内的用户有100×0.0008×50＝4户，
用电量落在区间[350，400）内的用户有100×0.0004×50＝2户，
从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，
基本事件总数n15，
至少有1户落在区间[350，400）内包含的基本事件个数m9，
∴至少有1户落在区间[350，400）内的概率P．
21．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为D'，此时ED'，M是AD'的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D'HE；
（Ⅱ）求二面角H﹣ED'﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在图1中取AH中点F，连接MF，BF，可得MB∥DE，
在图2中可得MF∥D′H，BF∥HE，且MF∩BF＝F，MF、BF⊂面MBF，HE、HD′⊂面D′HE，
∴面MBF∥面D′HE，
∴BM∥平面D'HE；
（2）在图（1）中∵tan∠CAD＝tan∠CDH，∴∠DAC+∠ADE＝90°，
∴DE⊥AC，CH⊥面D′HE，
又F为AH中点，∴CH，DH，HE，
在图2中，可得D′H⊥AC，
过H点作HS⊥D′E于S点，连结CS，可得∠HSC为二面角H﹣ED'﹣C的平面角，
又D′H，HE，ED'，∴ED'2＝D′H2+HE2，
∴D′H⊥HE，HS．∴tan∠HSC，
∴cos，
∴二面角H﹣ED'﹣C的余弦值为．
22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）已知b＝c（cosA﹣sinA），且____（在①，②B，③a1，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；
（Ⅱ）若，，AE与BD交于点F，过F的直线分别交线段AD，BE于M，N两点，设，，求p+q的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得sinB＝sinC（cosA﹣sinA），
所以sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，
所以sinAcosC+cosAsinC＝sinCcosA﹣sinCsinA，
所以cosC＝﹣sinC，
所以C，
若选①②，由•1，
得bacosC＝1，
所以ab，
由B，得A＝π﹣B﹣C，
所以由2R，得2R，
所以aR，b＝R，
所以abR2，得R，
所以c＝2RsinC＝2sin2，
若选②③，由B＝30°，得A＝π﹣B﹣C，
又因为a1，
由正弦定理可得，得2，
所以c＝2，
若选①③，由•1，
得bacosC＝1，
所以ab，
又a1，所以b，
所以c2＝a2+b2﹣2abcosC
＝（1）22﹣2（）•（）＝4，
所以c＝2．
（Ⅱ）设λμ，
则4λμλ2μ，
因为A，F，E三点共线，B，F，D三点共线，
所以，解得λ，μ，
所以，
由M，N，F三点共线，得1，
所以p+q＝（p+q）（），
当且仅当p，q时，p+q有最小值．
23．（12分）如图，已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC⊥BC，∠ABC＝60°，SA＝SB＝SC＝4，∠ASB＝90°．
（Ⅰ）求SC与平面SAB所成的角的正弦值；
（Ⅱ）棱SC上是否存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD？若存在，求SM的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接SO，过C作CH⊥AB于H，连接SH，
∵AC⊥BC，∴O为△ABC的外心，
∵SA＝SB＝SC，∴点S在平面ABCD内的投影为△ABC的外心，
∴SO⊥平面ABCD，
∵SO⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD，
又平面SAB∩平面ABCD＝AB，CH⊂平面ABCD，
∴CH⊥平面SAB，
∴∠CSH为SC与平面SAB所成的角，
在Rt△CSH中，SC＝4，CH，∴sin∠CSH，
故SC与平面SAB所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）过O作OF⊥CD于F，连接SF，作MN∥CD交SD于点N，交SF于点G，则A，B，M，N四点共面，
由（Ⅰ）得，SO⊥CD，
∵OF∩SO＝O，OF、SO⊂平面SOF，
∴CD⊥平面SOF，∴CD⊥OG，且平面SCD⊥平面SOF，
要使平面MAB⊥平面SCD，即平面MNAB⊥平面SCD，则需OG⊥SF，
∵OF＝CH，∴SF，
在Rt△SOF中，由射影定理知，SG，
∵MN∥CD，∴，即SM，
故棱SC上存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD，且SM的值为．
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2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（2﹣i）i的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．2i
2．（5分）先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，则 B．若||＝||，则
C．若∥，∥，则∥ D．若||＝||+||，则∥
4．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＝2 B．5，s2＞2 C．5，s2＜2 D．5，s2＜2
5．（5分）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，则（ ）
A．P（A）＜P（B） B．P（A）＝P（B）
C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝1
6．（5分）若向量（1，），（4，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0） B． C．1 D．2
7．（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．
以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
8．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2，||＝||，则•（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
（多选）10．（5分）下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z1，z2满足z1，则z1z2∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
（多选）11．（5分）已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了440人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%
D．估计高中学生的近视人数约为44000
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是（ ）
A．动点M轨迹的长度是2
B．三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是
D．存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0～50时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在51～100时，空气质量指数级别为二级（良）……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：
空气质量指数
[0，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
（70，80]
（80，100]
＞100
天数
8
21
22
18
17
8
5
1
依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是 ．
14．（5分）已知复数z（i是虚数单位），则|z|＝ ．
15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2bc，c＝4，则边a的取值范围是 ．
16．（5分）已知复数z满足|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是 ．
17．（5分）已知球O的球面面积为100π，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA＝6，∠ABC＝60°，则该四面体的体积的最大值是 ．
18．（5分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，则||+|23|的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN．
（Ⅰ）求M，N两地间的直线距离；
（Ⅱ）求观光线路PM+PN长的取值范围．
20．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
（Ⅲ）从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400）内的概率．
21．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为D'，此时ED'，M是AD'的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D'HE；
（Ⅱ）求二面角H﹣ED'﹣C的余弦值．
22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）已知b＝c（cosA﹣sinA），且____（在①，②B，③a1，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；
（Ⅱ）若，，AE与BD交于点F，过F的直线分别交线段AD，BE于M，N两点，设，，求p+q的最小值．
23．（12分）如图，已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC⊥BC，∠ABC＝60°，SA＝SB＝SC＝4，∠ASB＝90°．
（Ⅰ）求SC与平面SAB所成的角的正弦值；
（Ⅱ）棱SC上是否存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD？若存在，求SM的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（2﹣i）i的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．2i
【解答】解：复数（2﹣i）i＝1+2i，故它的虚部为2，
故选：C．
2．（5分）先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：先后抛掷质地均匀的硬币两次，
则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为：
p．
故选：B．
3．（5分）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，则 B．若||＝||，则
C．若∥，∥，则∥ D．若||＝||+||，则∥
【解答】解：如满足，得不出，∴A错误；
比如，满足，得不出，∴B错误；
比如，，，不共线，满足，得不出，∴C错误；
满足时，可得出，同向，从而得出，∴D正确．
故选：D．
4．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＝2 B．5，s2＞2 C．5，s2＜2 D．5，s2＜2
【解答】解：某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，
此时这20个数据的平均数为，方差为s2，
则5，
∴s2[19×2+（5﹣5）2]＝1.9＜2．
故选：C．
5．（5分）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，则（ ）
A．P（A）＜P（B） B．P（A）＝P（B）
C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A）+P（B）＝1
【解答】解：从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，
事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，
P（A），P（B），
∴P（A）＝P（B），故A错误，B正确；
P（A∪B）＝P（A），故C错误；
P（A）+P（B），故D错误．
故选：B．
6．（5分）若向量（1，），（4，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0） B． C．1 D．2
【解答】解：∵（1，），（4，0），
∴•4，
∴在上的投影为||cos，||•1，
∴在上的投影向量为（1，0）．
故选：A．
7．（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．
以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
【解答】解：对于A，57%×6%＜6%，故A错误；
对于B，57%×13%＞6%，故B错误；
对于C，16%＝40000亿，故C错误；
对于D，若“金融业”生产总值为41040亿元，
则第二产业生产总值为166500亿元，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2，||＝||，则•（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由2知，O为BC的中点，如图所示．
又O为△ABC外接圆的圆心，||＝||，
∴BC为直径，且∠ABC，
向量
．
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
【解答】解：设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则：
对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m∥n，α∥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥β，故B正确；
对于C，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z1，z2满足z1，则z1z2∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
【解答】解：若复数z满足z2∈R，则z可以为实数，也可为纯虚数，故A错误；
若复数z1，z2满足z1，则z1z2z2，为实数，故B正确；
若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，故C错误；
（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则不一定有z1＝z2＝z3，例如z1＝1+z2，z3＝z2+i 时，
故D错误，
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了440人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%
D．估计高中学生的近视人数约为44000
【解答】解：从高中生中抽取人数为2000＝440，∴A对；
每名学生被抽到的概率为，∴B对；
该地区中小学生总体的平均近视率为100%＝53%，∴C错；
中学生的近视人数约为55000×0.8＝44000，∴D对．
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是（ ）
A．动点M轨迹的长度是2
B．三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是
D．存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为
【解答】解：如图，取AD、AB的中点E、F，连接PD、D1E、EF、A1F、B1F、B1D1、BD1，
则D1E⊥PD，D1E⊥DC，则D1E⊥平面PCD，
则D1E⊥PC，同理可证，EF⊥PC，
则PC⊥平面D1EFB1，
则点M∈平面D1EFB1，又由点M∈平面AA1B1B，
则点M∈B1F，
即动点M轨迹为线段B1F，其长度为2，故A对，
三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F﹣A1B1D1，
其体积为4×4×4，故B对，
∵BC∥A1D1，∴直线D1M与BC所成的角即直线D1M与A1D1所成的角，即∠A1D1M＝α，
∵A1D1⊥平面AA1B1B，∴△A1D1M为直角三角形，
故tanαA1M，
且当A1M⊥B1F时，A1M最小，此时，A1M，
故tanα的最小值是A1M，故C对，
当点M与B1重合时，直线BD1与平面A1D1M所成的角最大，设
设直线BD1与平面A1D1B1所成的角为β，则sinβ，
故β，故D错，
故选：ABC．
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0～50时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在51～100时，空气质量指数级别为二级（良）……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：
空气质量指数
[0，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
（70，80]
（80，100]
＞100
天数
8
21
22
18
17
8
5
1
依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是 0.51 ．
【解答】解：根据已知表可得估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率为：
P0.51，
故答案为：0.51．
14．（5分）已知复数z（i是虚数单位），则|z|＝ 1 ．
【解答】解：，
∴|z|＝1，
故答案为：1
15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2bc，c＝4，则边a的取值范围是 （2，4） ．
【解答】解：因为b2+c2﹣a2bc，
所以由余弦定理可得cosA，
因为A为锐角，
所以A，
因为在锐角△ABC中，，可得C，
所以sinC∈（，1），
由正弦定理，可得a∈（2，4）．
故答案为：（2，4）．
16．（5分）已知复数z满足|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是 7 ．
【解答】解：∵|z+3+4i|＝2≥|z|﹣|3+4i|∴|z|≤2+|3+4i|＝2+5＝7，
故|z|的最大值是7，
故答案为：7．
17．（5分）已知球O的球面面积为100π，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA＝6，∠ABC＝60°，则该四面体的体积的最大值是 ．
【解答】解：如图，设球的半径为R，∵球面面积为100π，即4πR2＝100π，∴R＝5，
∵SA⊥平面ABC，SA＝6，满足侧棱⊥底面，可转化为直棱柱外接球计算，
设△ABC外接球的半径为r，锥高h＝SA＝6，
由题可知，，即52＝32+r2，解得r＝4，
由正弦定理可知，，∴AC＝2r•sinB，
由余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB≥2AB•BC﹣2AB•BC•cosB，
即AB•BC≤48，当且仅当AB＝BC时取等号，
当△ABC面积最大时，四面体的体积取最大值，
，
∴四面体的体积的最大值为Vmax，
故答案为：．
18．（5分）已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，则||+|23|的最大值是 ．
【解答】解：设，
则，
令，则8m2+n2＝54，
设，其中α为锐角，
因为，所以，
则，其中，且，
当时，的值随着α的增大而增大，
所以当时，取得最大值．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN．
（Ⅰ）求M，N两地间的直线距离；
（Ⅱ）求观光线路PM+PN长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）在△AMN中，由余弦定理得
MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcos120°＝7，
解得MN（千米）；
（Ⅱ）设∠MNP＝α，∠MPN＝60°，∴∠PMN＝120°﹣α，
在△PMN中，由正弦定理，得，
∵，∴PMsinα，PNsin（120°﹣α），
∴PM+PNsinαsin（120°﹣α）（sinαcosαsinα）
（sinαcosα）sin（α+30°）
又因为α∈（0°，120°），所以sin（α+30°）∈
所以PM+PN∈，
即观光线路PM+PN长的取值范围为．
20．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
（Ⅲ）从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400）内的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：
（x+0.0036+0.0060+0.0044+x+0.0008+0.0004）×50＝1，
解得x＝0.0024．
∴直方图中x的值为0.0024．
（Ⅱ）估计该小区居民用电量的平均值为：
75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.0044×50+275×0.0024×50+325×0.0008×50+375×0.0004×50＝187，
[50，150）的频率为：（0.0024+0.0036）×50＝0.3，
[150，200）的频率为0.0060×50＝0.3，
∴估计该小区居民用电量的中位数为150．
（Ⅲ）用电量落在区间[300，350）内的用户有100×0.0008×50＝4户，
用电量落在区间[350，400）内的用户有100×0.0004×50＝2户，
从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，
基本事件总数n15，
至少有1户落在区间[350，400）内包含的基本事件个数m9，
∴至少有1户落在区间[350，400）内的概率P．
21．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为D'，此时ED'，M是AD'的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D'HE；
（Ⅱ）求二面角H﹣ED'﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在图1中取AH中点F，连接MF，BF，可得MB∥DE，
在图2中可得MF∥D′H，BF∥HE，且MF∩BF＝F，MF、BF⊂面MBF，HE、HD′⊂面D′HE，
∴面MBF∥面D′HE，
∴BM∥平面D'HE；
（2）在图（1）中∵tan∠CAD＝tan∠CDH，∴∠DAC+∠ADE＝90°，
∴DE⊥AC，CH⊥面D′HE，
又F为AH中点，∴CH，DH，HE，
在图2中，可得D′H⊥AC，
过H点作HS⊥D′E于S点，连结CS，可得∠HSC为二面角H﹣ED'﹣C的平面角，
又D′H，HE，ED'，∴ED'2＝D′H2+HE2，
∴D′H⊥HE，HS．∴tan∠HSC，
∴cos，
∴二面角H﹣ED'﹣C的余弦值为．
22．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）已知b＝c（cosA﹣sinA），且____（在①，②B，③a1，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；
（Ⅱ）若，，AE与BD交于点F，过F的直线分别交线段AD，BE于M，N两点，设，，求p+q的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得sinB＝sinC（cosA﹣sinA），
所以sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，
所以sinAcosC+cosAsinC＝sinCcosA﹣sinCsinA，
所以cosC＝﹣sinC，
所以C，
若选①②，由•1，
得bacosC＝1，
所以ab，
由B，得A＝π﹣B﹣C，
所以由2R，得2R，
所以aR，b＝R，
所以abR2，得R，
所以c＝2RsinC＝2sin2，
若选②③，由B＝30°，得A＝π﹣B﹣C，
又因为a1，
由正弦定理可得，得2，
所以c＝2，
若选①③，由•1，
得bacosC＝1，
所以ab，
又a1，所以b，
所以c2＝a2+b2﹣2abcosC
＝（1）22﹣2（）•（）＝4，
所以c＝2．
（Ⅱ）设λμ，
则4λμλ2μ，
因为A，F，E三点共线，B，F，D三点共线，
所以，解得λ，μ，
所以，
由M，N，F三点共线，得1，
所以p+q＝（p+q）（），
当且仅当p，q时，p+q有最小值．
23．（12分）如图，已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC⊥BC，∠ABC＝60°，SA＝SB＝SC＝4，∠ASB＝90°．
（Ⅰ）求SC与平面SAB所成的角的正弦值；
（Ⅱ）棱SC上是否存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD？若存在，求SM的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接SO，过C作CH⊥AB于H，连接SH，
∵AC⊥BC，∴O为△ABC的外心，
∵SA＝SB＝SC，∴点S在平面ABCD内的投影为△ABC的外心，
∴SO⊥平面ABCD，
∵SO⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD，
又平面SAB∩平面ABCD＝AB，CH⊂平面ABCD，
∴CH⊥平面SAB，
∴∠CSH为SC与平面SAB所成的角，
在Rt△CSH中，SC＝4，CH，∴sin∠CSH，
故SC与平面SAB所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）过O作OF⊥CD于F，连接SF，作MN∥CD交SD于点N，交SF于点G，则A，B，M，N四点共面，
由（Ⅰ）得，SO⊥CD，
∵OF∩SO＝O，OF、SO⊂平面SOF，
∴CD⊥平面SOF，∴CD⊥OG，且平面SCD⊥平面SOF，
要使平面MAB⊥平面SCD，即平面MNAB⊥平面SCD，则需OG⊥SF，
∵OF＝CH，∴SF，
在Rt△SOF中，由射影定理知，SG，
∵MN∥CD，∴，即SM，
故棱SC上存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD，且SM的值为．
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