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【解析版】胜利中学2022年九年级上第一次月考数学试卷
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这是一份【解析版】胜利中学2022年九年级上第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x+1=3 B． x2=0 C． 4x2﹣2x+1=4x2 D． x2+y=0
2．下列各点在抛物线y=﹣x2+1上的是（ ）
A． （1，0） B． （0，0） C． （0，﹣1） D． （1，1）
3．一元二次方程（x+1）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=3，则另一个一元二次方程是（ ）
A． x﹣1=﹣3 B． x﹣1=3 C． x+1=3 D． x+1=﹣3
4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
5．抛物线y=﹣x2﹣1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，三角形的周长为（ ）
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为 ．
8．某学生在解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，若他解得方程的解为x=1，则该同学丢掉的这个一元二次方程的解是 ．
9．将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
10．若关于x的方程x2+8x+c=0有实数根，则c的值可能是 （填一个符合要求的数即可）．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（2，y1），（3，y2）．试比较y1和y2的大小：y1 y2（真“＞”，“＜”或“=”）．
12．若a是方程x2+x﹣2012=0的一个实数根，则a2+a+2的值为 ．
13．若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣3），则该抛物线的函数表达式是 ．
14．二次函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折得到的二次函数的顶点坐标是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2=x．
16．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．
17．用公式法解方程：2x2﹣6x﹣1=0．
18．已知抛物线y=﹣x2+2x+2，求该抛物线的对称轴及顶点坐标．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．若代数式2x2+7x﹣1的值比代数式4x+1的值大3，求x的值．
20．已知抛物线y=ax2经过点A，且点A的坐标为（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
21．吉林省某县2011年玉米产量为100万吨，2013年玉米产量为121万吨．若每年玉米产量的年平均增长率相同，求该县玉米产量的年平均增长率．
22．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，7×8网格的每个小正方形边长均为1，将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2．
（1）请直接写出抛物线y2的函数解析式 ．
（2）图中阴影部分的面积为 ；
（3）若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线解析式．
24．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同的蔬菜，求实验田的边长AB、BC各为多少米？
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AC=4cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B匀速运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（S）（0＜t＜4），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）CP= cm，CQ= cm（用含t的代数式表示）；
（2）当PQ=4cm时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值．
2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2014秋•镇赉县校级月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x+1=3 B． x2=0 C． 4x2﹣2x+1=4x2 D． x2+y=0
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答： 解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2014秋•镇赉县校级月考）下列各点在抛物线y=﹣x2+1上的是（ ）
A． （1，0） B． （0，0） C． （0，﹣1） D． （1，1）
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 分别计算自变量为1和0时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
解答： 解：∵当x=1时，y=﹣x2+1=0；当x=0，y=﹣x2+1=1，
∴点（1，0）在抛物线y=﹣x2+1上．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．（2014秋•镇赉县校级月考）一元二次方程（x+1）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=3，则另一个一元二次方程是（ ）
A． x﹣1=﹣3 B． x﹣1=3 C． x+1=3 D． x+1=﹣3
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 利用直接开平方法可得出x+1=±3，即可得出另一个一元一次方程．
解答： 解：∵（x+1）2=9，
∴x+1=±3，
∴x+1=3或x+1=﹣3，
故选D．
点评： 本题考查了解一元一次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
4．（2015•邵阳县二模）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解答： 解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．（2014•肥东县模拟）抛物线y=﹣x2﹣1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象．
分析： 可根据解析式确定抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为直线x=0（y轴），且a=﹣1＜0，开口向下，然后对图象直接判断．
解答： 解：∵a=﹣1＜0
∴抛物线开口向下
∵二次函数解析式为y=﹣x2﹣1
∴顶点坐标为（0，﹣1），对称轴x=0，即y轴，
观察选项可知B符合，故选B．
点评： 判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据与x轴交点情况和对称轴确定图象位于哪些象限．
6．（2012秋•沈阳期中）三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，三角形的周长为（ ）
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，求出周长即可．
解答： 解：x2﹣12x+35=0，
分解因式得：（x﹣7）（x﹣5）=0，
解得：x=7或x=5，
当x=7时，三角形三边为2，5，7，不合题意，舍去；
当x=5时，三角形三边为2，5，5，周长为2+5+5=12．
故选B．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2014秋•镇赉县校级月考）抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为 （0，2） ．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标．
解答： 解：当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（2014秋•镇赉县校级月考）某学生在解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，若他解得方程的解为x=1，则该同学丢掉的这个一元二次方程的解是 x=3 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 利用因式分解法求出已知方程的解，即可得到结果．
解答： 解：x（x﹣3）=x﹣3，
整理得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
可得x﹣1=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3，
则丢掉的解为x=3，
故答案为：x=3
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2008•南昌）将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 y=﹣3x2+1 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解答： 解：根据题意，y=﹣3x2向上平移一个单位得y=﹣3x2+1．故得到的抛物线解析式是y=﹣3x2+1．
点评： 考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（2014秋•镇赉县校级月考）若关于x的方程x2+8x+c=0有实数根，则c的值可能是 1（答案不唯一，只需c≤16即可） （填一个符合要求的数即可）．
考点： 根的判别式．
专题： 开放型．
分析： 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围，写出一个适当的c的值．
解答： 解：∵关于x的方程x2+8x+c=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=64﹣4c≥0
∴c≤16
∴c取小于等于16的数就满足方程有实数根．
故可等于1．（答案不唯一）
故答案为：1（答案不唯一，只需c≤16即可）．
点评： 此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（2，y1），（3，y2）．试比较y1和y2的大小：y1 ＜ y2（真“＞”，“＜”或“=”）．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，于是利用点（2，y1）离直线x=1比点（3，y2）离直线x=1要近可判断y1与y2的大小．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）开口向上，对称轴为直线x=1，
而点（2，y1）离直线x=1比点（3，y2）离直线x=1要近，
∴y1＜y2）．
故答案为：＜．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（2014秋•镇赉县校级月考）若a是方程x2+x﹣2012=0的一个实数根，则a2+a+2的值为 2014 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+a）的值．
解答： 解：根据题意，得
a2+a﹣2012=0，
解得，a2+a=2012，
所以a2+a+2=2012+2=2014．
故答案是：2014．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．（2014秋•镇赉县校级月考）若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣3），则该抛物线的函数表达式是 y=﹣2x2﹣3 ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，得出a=﹣2，再把（0，﹣3）代入y=ax2+c，即可求出c的值，从而确定该抛物线的函数表达式．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反
∴a=﹣2
∵其顶点坐标是（0，﹣3）
∴c=﹣3
则该抛物线的函数表达式是y=﹣2x2﹣3．
点评： 主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
14．（2014秋•镇赉县校级月考）二次函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折得到的二次函数的顶点坐标是 （﹣1，2） ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折的函数解析式，再利用二次函数的性质即可求出顶点坐标．
解答： 解：∵y=﹣3（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y=﹣3（﹣x﹣1）2+2，即y=﹣3（x+1）2+2，
∴顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确关于y轴翻折得到的图象与原图象关于y轴对称是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2014秋•镇赉县校级月考）解方程：x2=x．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：x2﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣）=0，
解得：x1=0，x2=．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
点评： 本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
17．（2014秋•镇赉县校级月考）用公式法解方程：2x2﹣6x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
分析： 先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答： 解：2x2﹣6x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x=
x1=，x2=．
点评： 本题考查了解一元二方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式法解一元二次方程．
18．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=﹣x2+2x+2，求该抛物线的对称轴及顶点坐标．
考点： 二次函数的性质．
分析： 把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
解答： 解：y=﹣x2+2x+2
=﹣（x2﹣2x+1﹣1﹣2）
=（x﹣1）2+3，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3）．
点评： 本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理顶点式形式求解更加简便．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2014秋•镇赉县校级月考）若代数式2x2+7x﹣1的值比代数式4x+1的值大3，求x的值．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解答： 解：根据题意得：2x2+7x﹣1﹣（4x+1）=3，
整理得：2x2+3x﹣5=0，
分解因式得：（x﹣1）（2x+5）=0，
解得：x=1或﹣．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=ax2经过点A，且点A的坐标为（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： （1）把A坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）把x=﹣1代入解析式求出y的值，即可做出判断．
解答： 解：（1）把A（﹣2，﹣8）代入解析式得：﹣8=4a，即a=﹣2，
则解析式为y=﹣2x2；
（2）不在，理由为：
把x=﹣1代入解析式得：y=﹣2，﹣2≠﹣4，
则点（﹣1，﹣4）步骤此抛物线上．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（2014秋•镇赉县校级月考）吉林省某县2011年玉米产量为100万吨，2013年玉米产量为121万吨．若每年玉米产量的年平均增长率相同，求该县玉米产量的年平均增长率．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设该县玉米产量的年平均增长率是x，根据等量关系：2013年玉米产量为121万吨，可列出方程求解．
解答： 解：设该县玉米产量的年平均增长率是x，依题意有
100（1+x）2=121
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该县玉米产量的年平均增长率是10%．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，关键是找到增长的结果这个等量关系，列方程求解．
22．（2014秋•镇赉县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： （1）将x=﹣2代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再解方程求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解答： 解：（1）将x=﹣2代入方程x2+ax+a﹣2=0得，4﹣2a+a﹣2=0，
解得，a=2；
方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2，
即方程的另一根为0；
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点评： 本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，7×8网格的每个小正方形边长均为1，将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2．
（1）请直接写出抛物线y2的函数解析式 y2=x2﹣4x+3 ．
（2）图中阴影部分的面积为 8 ；
（3）若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线解析式．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： （1）根据左加右减的平移规律即可求解；
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中4个方格的面积=2×4=8；
（3）根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案．
解答： 解：（1）将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2，则y2=（x﹣2）2﹣1，即y2=x2﹣4x+3；
（2）由题意，得图中阴影部分的面积为2×4=8；
（3）将抛物线y2沿x轴翻折，翻折后的抛物线解析式为﹣y=x2﹣4x+3，即y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y2=x2﹣4x+3；8．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
24．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同的蔬菜，求实验田的边长AB、BC各为多少米？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 设AB的长度为x，则BC的长度为（120﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（120﹣4x）米．
根据题意得 （120﹣4x）x=800，
解得 x1=20，x2=10．
则120﹣4x=40或120﹣4x=80．
∵80＞50，
∴x2=10舍去．
即AB=20，BC=40．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、40米．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
分析： （1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标；
（2）利用D点坐标得出△ABD的面积；
（3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标．
解答： 解：（1）当x=0，则y=﹣3，
故C（0，﹣3），
y=x2﹣2x﹣3
=（x﹣1）2﹣4，
故D（1，﹣4）；
（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=×4×4=8；
（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的，
∴S△ABP=4，
∵AB=4，
∴P点纵坐标为2或﹣2，
当P点纵坐标为2，则2=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
此时P点坐标为：（1+，2）或（1﹣，2），
当P点纵坐标为﹣2，则﹣2=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
此时P点坐标为：（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2），
综上所述：点P的坐标为：（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）．
点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．
26．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AC=4cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B匀速运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（S）（0＜t＜4），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）CP= 4﹣t cm，CQ= 2t cm（用含t的代数式表示）；
（2）当PQ=4cm时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）根据三角形的边长和点的移动速度表示出两条线段的长即可；
（2）利用勾股定理表示出线段PQ的长即可求得t值；
（3）根据三角形的面积公式直接列出函数关系式即可；
（4）根据三角形的面积公式列出一元二次方程求解即可．
解答： 解：（1）CP=4﹣t，CQ=2t；
（2）∵CP=4﹣t，CQ=2t，
∴PQ2=（4﹣t）2+（2t）2=42，
解得：t=，
∴PQ=4cm时，求t的值为；
（3）S=CP•CQ=（4﹣t）•2t=﹣t2+4t；
（4）由题意得：﹣t2+4t=×4×8×，
解得：t=2+或t=2﹣．
答：当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值为（2+）秒或（2﹣）秒．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出线段的长，难度不大．
2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x+1=3 B． x2=0 C． 4x2﹣2x+1=4x2 D． x2+y=0
2．下列各点在抛物线y=﹣x2+1上的是（ ）
A． （1，0） B． （0，0） C． （0，﹣1） D． （1，1）
3．一元二次方程（x+1）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=3，则另一个一元二次方程是（ ）
A． x﹣1=﹣3 B． x﹣1=3 C． x+1=3 D． x+1=﹣3
4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
5．抛物线y=﹣x2﹣1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，三角形的周长为（ ）
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为 ．
8．某学生在解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，若他解得方程的解为x=1，则该同学丢掉的这个一元二次方程的解是 ．
9．将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
10．若关于x的方程x2+8x+c=0有实数根，则c的值可能是 （填一个符合要求的数即可）．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（2，y1），（3，y2）．试比较y1和y2的大小：y1 y2（真“＞”，“＜”或“=”）．
12．若a是方程x2+x﹣2012=0的一个实数根，则a2+a+2的值为 ．
13．若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣3），则该抛物线的函数表达式是 ．
14．二次函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折得到的二次函数的顶点坐标是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2=x．
16．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．
17．用公式法解方程：2x2﹣6x﹣1=0．
18．已知抛物线y=﹣x2+2x+2，求该抛物线的对称轴及顶点坐标．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．若代数式2x2+7x﹣1的值比代数式4x+1的值大3，求x的值．
20．已知抛物线y=ax2经过点A，且点A的坐标为（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
21．吉林省某县2011年玉米产量为100万吨，2013年玉米产量为121万吨．若每年玉米产量的年平均增长率相同，求该县玉米产量的年平均增长率．
22．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，7×8网格的每个小正方形边长均为1，将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2．
（1）请直接写出抛物线y2的函数解析式 ．
（2）图中阴影部分的面积为 ；
（3）若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线解析式．
24．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同的蔬菜，求实验田的边长AB、BC各为多少米？
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AC=4cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B匀速运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（S）（0＜t＜4），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）CP= cm，CQ= cm（用含t的代数式表示）；
（2）当PQ=4cm时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值．
2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2014秋•镇赉县校级月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x+1=3 B． x2=0 C． 4x2﹣2x+1=4x2 D． x2+y=0
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答： 解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2014秋•镇赉县校级月考）下列各点在抛物线y=﹣x2+1上的是（ ）
A． （1，0） B． （0，0） C． （0，﹣1） D． （1，1）
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 分别计算自变量为1和0时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
解答： 解：∵当x=1时，y=﹣x2+1=0；当x=0，y=﹣x2+1=1，
∴点（1，0）在抛物线y=﹣x2+1上．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．（2014秋•镇赉县校级月考）一元二次方程（x+1）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=3，则另一个一元二次方程是（ ）
A． x﹣1=﹣3 B． x﹣1=3 C． x+1=3 D． x+1=﹣3
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 利用直接开平方法可得出x+1=±3，即可得出另一个一元一次方程．
解答： 解：∵（x+1）2=9，
∴x+1=±3，
∴x+1=3或x+1=﹣3，
故选D．
点评： 本题考查了解一元一次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
4．（2015•邵阳县二模）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解答： 解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．（2014•肥东县模拟）抛物线y=﹣x2﹣1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象．
分析： 可根据解析式确定抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为直线x=0（y轴），且a=﹣1＜0，开口向下，然后对图象直接判断．
解答： 解：∵a=﹣1＜0
∴抛物线开口向下
∵二次函数解析式为y=﹣x2﹣1
∴顶点坐标为（0，﹣1），对称轴x=0，即y轴，
观察选项可知B符合，故选B．
点评： 判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据与x轴交点情况和对称轴确定图象位于哪些象限．
6．（2012秋•沈阳期中）三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，三角形的周长为（ ）
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，求出周长即可．
解答： 解：x2﹣12x+35=0，
分解因式得：（x﹣7）（x﹣5）=0，
解得：x=7或x=5，
当x=7时，三角形三边为2，5，7，不合题意，舍去；
当x=5时，三角形三边为2，5，5，周长为2+5+5=12．
故选B．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2014秋•镇赉县校级月考）抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为 （0，2） ．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标．
解答： 解：当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（2014秋•镇赉县校级月考）某学生在解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，若他解得方程的解为x=1，则该同学丢掉的这个一元二次方程的解是 x=3 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 利用因式分解法求出已知方程的解，即可得到结果．
解答： 解：x（x﹣3）=x﹣3，
整理得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
可得x﹣1=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3，
则丢掉的解为x=3，
故答案为：x=3
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2008•南昌）将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 y=﹣3x2+1 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解答： 解：根据题意，y=﹣3x2向上平移一个单位得y=﹣3x2+1．故得到的抛物线解析式是y=﹣3x2+1．
点评： 考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（2014秋•镇赉县校级月考）若关于x的方程x2+8x+c=0有实数根，则c的值可能是 1（答案不唯一，只需c≤16即可） （填一个符合要求的数即可）．
考点： 根的判别式．
专题： 开放型．
分析： 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围，写出一个适当的c的值．
解答： 解：∵关于x的方程x2+8x+c=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=64﹣4c≥0
∴c≤16
∴c取小于等于16的数就满足方程有实数根．
故可等于1．（答案不唯一）
故答案为：1（答案不唯一，只需c≤16即可）．
点评： 此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（2，y1），（3，y2）．试比较y1和y2的大小：y1 ＜ y2（真“＞”，“＜”或“=”）．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，于是利用点（2，y1）离直线x=1比点（3，y2）离直线x=1要近可判断y1与y2的大小．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）开口向上，对称轴为直线x=1，
而点（2，y1）离直线x=1比点（3，y2）离直线x=1要近，
∴y1＜y2）．
故答案为：＜．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（2014秋•镇赉县校级月考）若a是方程x2+x﹣2012=0的一个实数根，则a2+a+2的值为 2014 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+a）的值．
解答： 解：根据题意，得
a2+a﹣2012=0，
解得，a2+a=2012，
所以a2+a+2=2012+2=2014．
故答案是：2014．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．（2014秋•镇赉县校级月考）若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣3），则该抛物线的函数表达式是 y=﹣2x2﹣3 ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，得出a=﹣2，再把（0，﹣3）代入y=ax2+c，即可求出c的值，从而确定该抛物线的函数表达式．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反
∴a=﹣2
∵其顶点坐标是（0，﹣3）
∴c=﹣3
则该抛物线的函数表达式是y=﹣2x2﹣3．
点评： 主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
14．（2014秋•镇赉县校级月考）二次函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折得到的二次函数的顶点坐标是 （﹣1，2） ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出函数y=﹣3（x﹣1）2+2关于y轴翻折的函数解析式，再利用二次函数的性质即可求出顶点坐标．
解答： 解：∵y=﹣3（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y=﹣3（﹣x﹣1）2+2，即y=﹣3（x+1）2+2，
∴顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确关于y轴翻折得到的图象与原图象关于y轴对称是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2014秋•镇赉县校级月考）解方程：x2=x．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：x2﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣）=0，
解得：x1=0，x2=．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
点评： 本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
17．（2014秋•镇赉县校级月考）用公式法解方程：2x2﹣6x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
分析： 先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答： 解：2x2﹣6x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x=
x1=，x2=．
点评： 本题考查了解一元二方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式法解一元二次方程．
18．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=﹣x2+2x+2，求该抛物线的对称轴及顶点坐标．
考点： 二次函数的性质．
分析： 把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
解答： 解：y=﹣x2+2x+2
=﹣（x2﹣2x+1﹣1﹣2）
=（x﹣1）2+3，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3）．
点评： 本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理顶点式形式求解更加简便．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2014秋•镇赉县校级月考）若代数式2x2+7x﹣1的值比代数式4x+1的值大3，求x的值．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解答： 解：根据题意得：2x2+7x﹣1﹣（4x+1）=3，
整理得：2x2+3x﹣5=0，
分解因式得：（x﹣1）（2x+5）=0，
解得：x=1或﹣．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2014秋•镇赉县校级月考）已知抛物线y=ax2经过点A，且点A的坐标为（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： （1）把A坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）把x=﹣1代入解析式求出y的值，即可做出判断．
解答： 解：（1）把A（﹣2，﹣8）代入解析式得：﹣8=4a，即a=﹣2，
则解析式为y=﹣2x2；
（2）不在，理由为：
把x=﹣1代入解析式得：y=﹣2，﹣2≠﹣4，
则点（﹣1，﹣4）步骤此抛物线上．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（2014秋•镇赉县校级月考）吉林省某县2011年玉米产量为100万吨，2013年玉米产量为121万吨．若每年玉米产量的年平均增长率相同，求该县玉米产量的年平均增长率．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设该县玉米产量的年平均增长率是x，根据等量关系：2013年玉米产量为121万吨，可列出方程求解．
解答： 解：设该县玉米产量的年平均增长率是x，依题意有
100（1+x）2=121
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该县玉米产量的年平均增长率是10%．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，关键是找到增长的结果这个等量关系，列方程求解．
22．（2014秋•镇赉县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为﹣2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： （1）将x=﹣2代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再解方程求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解答： 解：（1）将x=﹣2代入方程x2+ax+a﹣2=0得，4﹣2a+a﹣2=0，
解得，a=2；
方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2，
即方程的另一根为0；
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点评： 本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，7×8网格的每个小正方形边长均为1，将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2．
（1）请直接写出抛物线y2的函数解析式 y2=x2﹣4x+3 ．
（2）图中阴影部分的面积为 8 ；
（3）若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线解析式．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： （1）根据左加右减的平移规律即可求解；
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中4个方格的面积=2×4=8；
（3）根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案．
解答： 解：（1）将抛物线y1=x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2，则y2=（x﹣2）2﹣1，即y2=x2﹣4x+3；
（2）由题意，得图中阴影部分的面积为2×4=8；
（3）将抛物线y2沿x轴翻折，翻折后的抛物线解析式为﹣y=x2﹣4x+3，即y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y2=x2﹣4x+3；8．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
24．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同的蔬菜，求实验田的边长AB、BC各为多少米？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 设AB的长度为x，则BC的长度为（120﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（120﹣4x）米．
根据题意得 （120﹣4x）x=800，
解得 x1=20，x2=10．
则120﹣4x=40或120﹣4x=80．
∵80＞50，
∴x2=10舍去．
即AB=20，BC=40．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、40米．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
分析： （1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标；
（2）利用D点坐标得出△ABD的面积；
（3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标．
解答： 解：（1）当x=0，则y=﹣3，
故C（0，﹣3），
y=x2﹣2x﹣3
=（x﹣1）2﹣4，
故D（1，﹣4）；
（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=×4×4=8；
（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的，
∴S△ABP=4，
∵AB=4，
∴P点纵坐标为2或﹣2，
当P点纵坐标为2，则2=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
此时P点坐标为：（1+，2）或（1﹣，2），
当P点纵坐标为﹣2，则﹣2=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
此时P点坐标为：（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2），
综上所述：点P的坐标为：（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）．
点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．
26．（2014秋•镇赉县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AC=4cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B匀速运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（S）（0＜t＜4），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）CP= 4﹣t cm，CQ= 2t cm（用含t的代数式表示）；
（2）当PQ=4cm时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）根据三角形的边长和点的移动速度表示出两条线段的长即可；
（2）利用勾股定理表示出线段PQ的长即可求得t值；
（3）根据三角形的面积公式直接列出函数关系式即可；
（4）根据三角形的面积公式列出一元二次方程求解即可．
解答： 解：（1）CP=4﹣t，CQ=2t；
（2）∵CP=4﹣t，CQ=2t，
∴PQ2=（4﹣t）2+（2t）2=42，
解得：t=，
∴PQ=4cm时，求t的值为；
（3）S=CP•CQ=（4﹣t）•2t=﹣t2+4t；
（4）由题意得：﹣t2+4t=×4×8×，
解得：t=2+或t=2﹣．
答：当△CPQ的面积等于△ABC的面积的时，求t的值为（2+）秒或（2﹣）秒．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出线段的长，难度不大．
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